2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知，则下列不等式中成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：， ，故错误；‎ 两边同除得：，故错误；‎ ‎，故错误；‎ 两边同乘得：，故正确；‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档．‎ ‎2．设命题，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．‎ ‎【详解】‎ 解：解：由特称命题的否定为全称命题，可得 命题，，‎ 则，，‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化能力，属于基础题．‎ ‎3．在等差数列中，，（ ）‎ A．3 B．6‎ C．9 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的下标和性质解答，即在等差数列中，若则 ‎【详解】‎ 解：由等差数列下标和公式知，，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的下标和性质，若则，属于基础题．‎ ‎4．“”是“为2与8的等比中项”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】利用等比中项公式及充分必要条件判断求解．‎ ‎【详解】‎ 解：是两个正数2和8的等比中项，‎ ‎．‎ 故是的充分不必要条件，‎ 即“”是“为2与8的等比中项”的充分不必要条件，‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个．‎ ‎5．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，列出不等式组，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 所以解得即 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．‎ ‎6．网上购鞋常常看到下面的表格：脚长与鞋号对应表 脚长（单位：）‎ ‎220‎ ‎225‎ ‎230‎ ‎235‎ ‎240‎ ‎245‎ ‎250‎ ‎255‎ ‎260‎ ‎265‎ 鞋号 ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ 如果一个篮球运动员的脚长为，根据上表，他应该穿的鞋号为（ ）‎ A．46 B．47 C．48 D．49‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据表中数据分析可知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，求出函数解析式，解得．‎ ‎【详解】‎ 解：由表所给数据知脚的长度与鞋号是一次函数的关系，满足，即 当时解得 故脚长为，他应该穿的鞋号为，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查一次函数的应用问题，属于基础题．‎ ‎7．“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由数列的递推式和斐波那契数列的定义，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 解： ‎ ‎，，‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于基础题．‎ ‎8．若不等式的解集是，则不等式 的解集是（　　　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的解集求出a、b和c的关系，‎ 代入不等式中化简，即可求出该不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ 解：不等式的解集是，‎ 所以方程的解是-2和3，且；‎ 即，‎ 解得，；‎ 所以不等式化为，‎ 即，‎ 解得或，‎ 所以所求不等式的解集是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题．‎ ‎9．数列1，，，，，的前项和（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求出数列的通项公式，再用分组求和法求解．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意设题中数列为，‎ 当时，令，成立，‎ 所以 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列求和及分组求和，属于基础题．‎ ‎10．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】可解得点、坐标，由，得，把代入该式整理后两边同除以，得的方程，解出即可，注意的取值范围 ‎【详解】‎ 解：由，消可得得，解得，分别代入，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 把代入式并整理得，‎ 两边同除以并整理得，解得 ‎，‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．‎ ‎11．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A．9 B．12 C．16 D．20‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以利用不等式的性质，把不等式中的变量分离出来，变为，利用基本不等式求出的最小值，确定的取值范围，最后求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，，‎ ‎（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质、基本不等式、不等式恒成立问题，把变量分离出来，利用基本不等式是解题的关键.‎ ‎12．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为，.某同学根据所学知识，得到下列结论:‎ ‎①卫星向径的取值范围是 ‎②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 ‎③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 ‎④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 其中正确的结论是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．①③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么；‎ ‎②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论；‎ ‎③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断 ‎④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．‎ ‎【详解】‎ 解：如图所示，‎ 对于①，卫星向径的最小值为，最大值为，①正确；‎ 对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为，‎ 越小，就越大，就越小，椭圆轨道越扁，②错误；‎ 对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，③正确；‎ 对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，④错误；‎ 综上，正确结论的序号是①③，共2个．‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．已知命题“，” 是真命题，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为，函数的图象抛物线开口向上，所以只要判别式不大于0即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为命题“，”是真命题，‎ 所以不等式在上恒成立．‎ 由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知，‎ 判别式即解得 所以实数的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意的范围，如果，一定要注意数形结合；还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出的范围．本题是一道基础题．‎ ‎14．在等比数列中，，，则__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】根据等比数列的下标和公式可得，即若数列是等比数列，且则．‎ ‎【详解】‎ 解：因为数列是等比数列，‎ 所以 又，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎15．设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意-一点，点的坐标为，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由椭圆的定义可得，，由此可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，，‎ 由椭圆的定义可得，，‎ 当且仅当，，三点共线时取等号，‎ 故答案为：15．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎16．下列四个命题:‎ ‎①若，，则 ‎②函数，的最小值是3‎ ‎③用长为的铁丝围成--个平行四边形，则该平行四边形能够被直径为 的圆形纸片完全覆盖 ‎④已知正实数，满足，则的最小值为.‎ 其中所有正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】①利用不等式的性质即可得出；‎ ‎②取特殊值可排除②；‎ ‎③利用余弦定理及基本不等式判断；‎ ‎④利用基本不等式可证．‎ ‎【详解】‎ 解：对于①，，．‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同除得 同除得 综上得，故①正确；‎ 对于②，则，故②错误；‎ 对于③，设平行四边形的一组邻边分别为夹角为，，‎ 则对角线为 所以平行四边形的任何一边及对角线都小于，该平行四边形能够被直径为的圆形纸片完全覆盖，故③正确；‎ 对于④，正实数，满足，则，‎ 所以 当且仅当即取等号，故④正确；‎ 故答案为:①③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，及基本不等式的应用，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，点为椭圆的左顶点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若点在椭圆上， 且的面积为，求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知的值及离心率，可得，再由求出即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）由，可求得，代入方程，即可求得坐标．‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由已知得，，‎ 又，，‎ 则，‎ 所以椭圆标准方程为.‎ ‎（2）)由(1)知，‎ 的面积为，‎ 解得，‎ 代入椭圆的方程解得，‎ 所以点P的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，及三角形的面积计算，属于基础题．‎ ‎18．(1)求不等式的解集.‎ ‎(2)求关于的不等式 (其中)的解集.‎ ‎【答案】（1）或；（2）分类讨论，详见解析.‎ ‎【解析】（1）通分，将分式不等式转化为整式不等式，解整式不等式即可，需注意分母不能为零．‎ ‎（2）先利用十字相乘法因式分解，然后对分类讨论．‎ ‎【详解】‎ 解:(1)原不等式化为，即，‎ 所以，解得或，‎ 不等式解集为.‎ ‎(2)原不等式可化为，‎ 当，即时，解得或 当，即时，解得，‎ 当，即时，解得或.‎ 综上所述，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为;‎ 当时，不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎19．已知数列是公差不为的等差数列，是其前项和， ，且，，依次成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用前项和公式及等比中项的性质构造关于和的方程组，解得.‎ ‎（2）利用裂项相消法求和．‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设数列的首项为，公差为，‎ 由题意，即 ‎，解得 ‎，‎ ‎(2)由题意知，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式的求解，等差数列前项和公式的应用，以及裂项相消法求和，属于基础题．‎ ‎20．如图，已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意-一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，连接，记动点 的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若、是曲线上关于原点对称的两个点，点是曲线.上任意-一点(不同于点、)，当直线、的斜率都存在时，记它们的斜率分别为、，求证:的为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）根据中垂线的性质可得，可得，由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出轨迹方程．‎ ‎（2）设的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，表示出 ‎、，由、、在椭圆上，则满足椭圆方程，消去即可得为一个定值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解:在线段的中垂线上，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又 点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ ‎，，即，，‎ ‎，‎ 曲线的方程为.‎ ‎(2)设曲线上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，‎ 故，，‎ 由斜率公式得，‎ 又，，‎ 因此，斜率之积为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查动点的轨迹方程的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是设而不求的整体思想，属于中档题．‎ ‎21．为了提高职工的工作积极性，在工资不变的情况下，某企业给职工两种追加奖励性绩效奖金的方案:第一种方案 是每年年末(12月底)追加绩效奖金一次，第一年末追加的绩效奖金为万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多万元;第二种方案是每半年(6月底和12月底)各追加绩效奖金一次，第一年的6月底追加的绩效奖金为万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多万元.‎ 假设你准备在该企业工作年，根据上述方案，试问:‎ ‎(1)如果你在该公司只工作2年，你将选择哪一种追加绩效奖金的方案?请说明理由.‎ ‎(2)如果选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多，你至少在该企业工作几年?‎ ‎(3)如果把第二种方案中的每半年追加万元改成每半年追加万元，那么在什么范围内取值时，选择第二种方案的绩效奖金总额总是比选择第一种方案多?‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）至少在该公司工作3年；（3）.‎ ‎【解析】（1）将两种方案可得奖金分别计算出来，比较得出结论；‎ ‎（2）根据规则计算出第年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，解得；‎ ‎（3）根据规则计算出第年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，参变分离，求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解:(1)第2年末，依第一方案得到的奖金总额为 ‎（万元）.‎ 依第二方案得到的奖金总额为 ‎(万元).‎ 在该公司工作2年，选择第一方案和选择第二方案得到的绩效奖金一样多 ‎(2)第年末，依第一方案得到的奖金总额为:（万元）‎ 依第二方案得到的奖金总额为:‎ 由题意得:，‎ 解得:，‎ 因为，所以，‎ 所以至少在该公司工作3年才能保证选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多.‎ ‎(3)第年末，依第一方案，得到的绩效奖金总额为（万元)，‎ 依第二方案，得到的绩效奖金总额为 由题意对所有正整数恒成立，‎ 即对所有正整数恒成立，‎ 因为 所以当万元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案的绩效奖金总额多.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列求和的应用，关键是理解题意，属于基础题．‎ ‎22．已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设，求数列的前项和;‎ ‎(3)设，为数列的前项和，是否存在正整数，使得对任意的，均有若存在，求出值;若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在，.‎ ‎【解析】（1）根据，用作差法求出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用错位相减法求出数列的前项和；‎ ‎（3）将的通项求出，判断其增减性，即可得到．‎ ‎【详解】‎ 解（1）由 得 ‎，‎ 即，‎ 又，得，‎ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎.‎ ‎(2)由(1)得，‎ ‎，‎ 相减得 ‎.‎ 数列的前项和为.‎ ‎（3）由(1)得，‎ 计算得：，，，，，‎ 当时，，‎ 时，为递减数列，‎ 又时，，‎ 时，，‎ 时，，‎ 故 当时，使得对任意的，均有.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查作差法求数列的通项公式，错位相减法求差比数列的前项和，属于中档题．‎