2017-2018学年河北省邯郸市永年区第二中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河北省邯郸市永年区第二中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省邯郸市永年区第二中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则　　‎ A. B. C. 2， D. 1，2，‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．‎ 详解：∵集合A={x|0≤x≤5}，‎ B={x∈N|x﹣1≤2}={1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={1，2，3}．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查交集的求法，考查了自然数集的概念，属于基础题 ‎2．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】因，故复数对应的点在第三象限，应选答案C。‎ ‎3．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据零点存在性定理可知，，， ，零点在上。‎ 故选C.‎ ‎【考点】1、共线定理；2、向量模的计算;3、向量的线性运算.‎ ‎4．三个数，，的大小关系为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用指数函数、对数函数的单调性求解．‎ 详解：∵0＜0.76＜0.70=1，‎ ‎60.7＞60=1，‎ log0.7 6＜log0.71=0，‎ ‎∴log0.7 6＜0.7 6＜6 0.7．‎ 故选：A．‎ 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎5．已知命题p，q是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当是假命题时，是真命题，故是真命题；反之，当是真命题时，不一定是真命题．所以“是假命题”是“是真命题”的充分不必要条件．选A．‎ ‎6．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．‎ 点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．‎ ‎7．已知菱形ABCD的边长为2，，则　　‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由菱形可知2 =2，选A.‎ ‎8．设函数，则是( )‎ A. 奇函数，且在（0,1）上是增函数 B. 奇函数，且在（0,1）上是减函数 C. 偶函数，且在（0,1）上是增函数 D. 偶函数，且在（0,1）上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，‎ 又，所以函数的奇函数，‎ 由，令，又由，则 ‎，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.‎ ‎【考点】函数的单调性与奇偶性的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.‎ ‎9．已知cos2()＝cos()，则cosx等于(　　)‎ A. － B. － C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用降幂公式，两角和的余弦函数公式，诱导公式化简已知即可解得cosx的值．‎ 详解：∵cos2（+）=cos（x+），‎ ‎∴=cosx﹣sinx，‎ ‎∴=cosx﹣sinx，‎ ‎∴cosx=．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查了降幂公式，两角和的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，因此当 时 ；当 ‎ 时 ；所以选D.‎ ‎11．如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由所截几何体可知，被平面遮挡，可得B图，故选B．‎ ‎【考点】空间几何体的三视图．‎ ‎12．双曲线与椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线与椭圆共焦点，知为其焦点，‎ 可设双曲线为：，则双曲线为.‎ S所有，又.‎ 从而解得，所有方程为：.‎ 故选C.‎ 点睛：在双曲线中，‎ ‎（1）离心率为，‎ ‎（2）焦点为，其中；‎ ‎（3）渐近线为： .‎ 二、填空题 ‎13．已知函，则 ______ ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：利用分段函数直接进行求值即可．‎ 详解：由分段函数可知f（）=，‎ f（f（））=f（﹣2）=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎14．曲线上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则的面积为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化求解即可．‎ 详解：的焦点坐标（，0），曲线上一点M到它的焦点F的距离为，则M的横坐标为：3，纵坐标为：，‎ O为坐标原点，则△MFO的面积为：=2．‎ 故答案为：．‎ 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ ‎15．若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则 ______ ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设正方体的棱长为，正方体的表面积为；正方体的对角线的长为，就是球的直径，球的表面积为，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查外接球表面积的求法，属于简单题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ ‎16．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】分析：根据直线过圆心得到b+c=1，然后巧用“1”，利用均值不等式求最值即可.‎ 详解：已知直线ax+by+c﹣1=0（bc＞0）经过圆x2+y2﹣2y﹣5=0的圆心（0，1），‎ 故b+c=1，则+=（+）（b+c）=4+1++≥9，‎ 即+的最小值是9‎ 故答案为：9‎ 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ 三、解答题 ‎17．已知是公差为3的等差数列，数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 ‎【考点】等差数列与等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分满分100分，得到如图1所示茎叶图． ‎ ‎（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；‎ ‎（Ⅱ）如图2按照打分区间、、、、绘制的直方图中，求最高矩形的高；‎ ‎（Ⅲ）从打分在70分以下不含70分的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．‎ ‎【答案】（1）女生：78，男生：69；（2）0.045；（3） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散． （2）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高． （3）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．‎ 试题解析：‎ 解：（1）女生打分的平均分为：‎ ‎，‎ 男生打分的平均分为：‎ ‎，‎ 从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．‎ ‎（2）20名学生中，打分区间中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，‎ 打分区间的人数最多，有9人，所点频率为：，‎ ‎∴最高矩形的高．‎ ‎（3）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数，‎ 有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，‎ ‎∴有女生被抽中的概率．‎ ‎19．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求证：平面平面； ‎ ‎(3)求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（Ⅱ）证明OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥A-MOC的体积即可 试题解析：（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ ‎∴VB∥平面MOC；‎ ‎（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ 又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，‎ ‎∵OC⊂平面MOC，‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，‎ 所以.‎ 所以等边三角形的面积.‎ 又因为平面，‎ 所以三棱锥的体积等于.‎ 又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；用向量证明平行 ‎20．已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．‎ ‎(1)椭圆的方程；‎ ‎(2)已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两点的坐标可得直线方程,根据点到线的距离公式可得间的关系式,再结合离心率及可解得 的值．（2）将直线方程与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程．根据有2个交点可知其判别式大于0得的范围．由上式可得两根之和,两根之积．以为直径的圆过点时,根据直线垂直斜率相乘等于可得的值．若满足前边判别式大于0得的的范围说明存在,否则说明不存在．‎ 试题解析：解：解析：（1）直线方程为：．‎ 依题意解得 ‎∴ 椭圆方程为．‎ ‎（2）假若存在这样的值，由得 ．‎ ‎∴①‎ 设，、，，则②‎ 而．‎ 要使以为直径的圆过点，当且仅当时，则，即 ‎∴③‎ 将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．‎ 综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．‎ ‎【考点】1椭圆方程；2直线与椭圆的位置关系问题．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导数，利用导数大于0，可求函数的单调增区间；‎ ‎（2）构造新函数，证明在上单调递减，即可得到结论；‎ ‎（3）分类讨论，构造新函数，利用函数的单调性，可得实数的所有可能取值．‎ 试题解析：（1），由得解得．故的单调递增区间是．‎ ‎（2）令．‎ 则有．当时，，所以在上单调递减．故当时，，即当时，．‎ ‎（3）由（2）知，当时，不存在满足题意．‎ 当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．‎ 当时，令，则有，由得，解得 当时，，故在内单调递增．从而当时，，即．综上，的取值范围是．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的性质 ‎【名师点睛】本题考查导数知识的综合运用，函数的单调性，不等式的证明等，属中档题。解题过程贯穿构造新函数的思想，利用导数研究新函数的有关性质，从而达到解题的目的，这是导数题中最常用的方法．‎ ‎22．已知直线l的参数方程为(t为参数)曲线C的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为 ‎（Ⅰ）求直线l以及曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求三角形PAB的面积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）求直线l以及曲线C的普通方程，可得相应极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求出|AB|，P到直线y=x的距离，即可求三角形PAB的面积．‎ 详解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x，极坐标方程为θ=；‎ 曲线C的参数方程为，（θ为参数），普通方程为=4，‎ 极坐标方程为ρ2﹣2ρcosα﹣4ρsinα+6=0；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线联立，可得=0，∴|AB|=•=，‎ 点P的极坐标为（3，），即（0，3）到直线y=x的距离为=3，‎ ‎∴三角形PAB的面积==3．‎ 点睛：本题考查参数方程,极坐标方程,普通方程间的转化，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎