通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试 数学（理科）试卷参考答案及评分标准 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D C A B D C B C 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9． 10． 11． ‎ ‎12． 13． 14．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．　‎ ‎15．解：（Ⅰ）在中，因为， ‎ 所以． ……………………………………………………………2分 ‎ 由正弦定理， ……………………………………………3分 所以． …………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为， 　‎ ‎ 所以．　……………………6分 ‎ 所以 ． 　………………………………………7分 在中，由余弦定理， ……8分 7‎ ‎ 得， ‎ ‎ 　解得或（舍）．　 ………………………………………………11分 ‎ 所以的面积 ．　　　 13分 ‎ ‎16．解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，‎ 在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A中基本事件数为78-15=63．‎ 所以两站间票价不足5元的概率． 3分 ‎（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为元，元.‎ X的所有可能取值为6，7，8，9，10. 4分 ‎， 5分 ‎， 6分 ‎， 7分 ‎， 8分 ‎． 9分 所以X的分布列为 X ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎............10分 ‎（Ⅲ）． 13分 ‎17．（Ⅰ）证明：在三棱柱中，‎ 因为底面，CD⊂平面ABC， ‎ 所以． 　　　　　　　　　………………………………………………1分 7‎ 又为等边三角形，为的中点，‎ 所以． 　………………………………………………2分 因为， ‎ 所以平面； 　　　　 ……………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）解：取中点，连结，则 因为，分别为， 的中点，‎ 所以．‎ 由（Ⅰ）知，，‎ 如图建立空间直角坐标系． …………4分 由题意得，，， ,,,,， ‎ ‎，． 　　　………………………………………5分 设平面法向量， ‎ 则　即 ‎ 令，则，．即． …………………6分 平面BAE法向量． 　 ……………………………………………………7分 因为，，，‎ 所以．　　 ………………………………………………8分 7‎ 由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为. 　 ………………9分 ‎（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．‎ 假设线段上存在点M，使平面．则 ‎，使得．‎ 因为，所以． ……………………………………10分 又，所以． …………………………11分 由（Ⅱ）可知，平面法向量，‎ 平面，当且仅当，‎ 即，使得． ……………………………………12分 所以 解得． ……………………………………13分 这与矛盾．‎ 所以在线段上不存在点M，使平面． ………………………………14分 ‎　‎ ‎18．解：（Ⅰ）由题意得 …………………………………………3分 解得．　　　　　　 ‎ 7‎ ‎ 所以椭圆的方程为． 　…………………………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，, 　　　　 ………………………………5分 由得.　　　………………………………7分 ‎ 令，得． ………………………………8分 ‎，． …………………………………………9分 因为是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 所以平行于轴． …………………………………………10分 过做的垂线，则垂足为线段的中点．‎ 设点的坐标为，则．　 ………………………12分 由方程组解得，即． ……………13分 而， ‎ 所以直线的方程为． ………………………………………………14分 ‎19．解：（Ⅰ）的定义域为． ……………………………………………1分 ‎．………………………………………………2分 令，得．　　　　　 ………………………………………………3分 当时，；当时，． ‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；　……………………5分 ‎（Ⅱ）设点的横坐标为，则，．‎ 7‎ 因为，，所以，．…………6分 由题意得 　　　 …………………………………7分 由得或（舍）． …………………………………………8分 所以． …………………………………………9分 设，则 ‎． …………………………………………10分 令，得． …………………………………………11分 当时，，单调递增；‎ 当 时，，单调递减． ‎ 所以在的最大值为，‎ 即的最大值为． …………………………………………13分 ‎20．解：(Ⅰ)，‎ ‎； …………………………………………2分 ‎(Ⅱ)当时，，，；‎ ‎ 当时，，，；‎ 当时，，，；‎ 当时，，，．‎ 所以当时，．‎ 当时，，，‎ 7‎ ‎．‎ 不难看出，当时，．　　　……………………………………6分 ‎（Ⅲ）因为，，，，，‎ 所以当时，，使得；‎ 当时，，使得；‎ 当时，，使得；‎ 当时，，使得 所以时，命题成立． ……………………………………………………8分 ‎ 当时，设是使得成立的最大自然数，只需证．‎ ‎……………………………9分 因为， ……………………10分 ‎，　‎ ‎ 由(Ⅱ)可知，当时，， ……………………………………11分 所以，从而． ……………………………12分 所以，即． ………………13分 综上可知，命题成立． ‎ 注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．‎ 7‎