数学文卷·2017届广东湛江市高三上学期期中调研考试（2016

数学文卷·2017届广东湛江市高三上学期期中调研考试（2016

‎ ‎ 文科数学 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若直线与平面相交，则（ ）‎ A．平面内存在直线与异面 B．平面内存在唯一直线与平行 ‎ C．平面内存在唯一直线与垂直 D．平面内的直线与都相交 ‎5.已知函数，则（ ）‎ A．是奇函数 B．是偶函数 ‎ C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 ‎6. 函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用如下：不超过50千克按0.53元/千克收费，超过50千克的部分按0.85元/千克收费，相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 在中，角所对的边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12. 已知定义在上的可导函数满足，设，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．的大小与有关 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. .‎ ‎14. 双曲线的离心率 . ‎ ‎15. 设满足不等式，则的最大值为 .‎ ‎16. 如图，已知向量，，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点为线段的中点，则 . ‎ 三、解答题 （本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列（）是递增的等比数列，且，.‎ ‎（1）若，证明：数列是等差数列； ‎ ‎（2）若，求数列记数列的前项和.‎ ‎18.四棱锥的侧面是等边三角形，平面，平面，，，是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四棱锥的体积.‎ ‎19.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间（分钟）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的占55%.‎ ‎（1）求，的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ‎ ‎（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）.‎ ‎20.已知曲线在轴右边，上的每一点到点的距离比到轴的距离多1.‎ ‎（1）求曲线的方程； ‎ ‎（2）已知过点（）的直线与曲线有两交点，若恒成立，求的取值范围.‎ ‎21.已知函数（）.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间； ‎ ‎（2）令，是否存在实数，当时，函数的最小值是3，若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）若，直线与轴的交点为，是圆上一动点，求的最大值； ‎ ‎（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ‎ 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8[‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D C A A D B C C B A A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．； 14．； 15．2； 16．5 ‎ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．‎ ‎17．解：（1）∵，，且数列递增，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴数列是首项为3，公差为1的等差数列.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴.‎ ‎18．证明：（1）取中点，连结、，‎ ‎∵是的中点，∴，且.‎ ‎∵平面，平面， ，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）取中点，连结，∵是正三角形，∴，.∵平面，∴，∵平面，平面，且，‎ ‎∴平面.‎ 由（1）可知，底面为直角梯形，‎ ‎∴，‎ ‎∴四棱锥的体积.‎ ‎19．解：（1）依题意：，解得，.将这100位顾客一次购物的结算时间看作一个容量为100的简单随机样本，用样本平均数估计顾客一次购物的结算时间的平均值：‎ ‎.‎ ‎∴顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.‎ ‎（2）记事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，‎ ‎“顾客一次购物的结算时间为1分钟”的概率；‎ ‎“顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”的概率；‎ ‎“顾客一次购物的结算时间为2分钟”的概率；‎ ‎∴.‎ ‎∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7.‎ ‎20.解：（1）依题意得，曲线上任意点到点的距离等于到直线的距离，∴曲线是抛物线，方程是.‎ ‎（2）设直线的方程为，与曲线的交点为，，‎ ‎∴，‎ 将的方程代入抛物线方程化简得：‎ ‎∴判别式，，‎ 又∵，‎ ‎∴‎ 又∵恒成立，，‎ ‎∴恒成立 ‎∴恒成立 ‎∵，‎ ‎∴只需即可，即，‎ ‎∴所求的取值范围为.‎ ‎21．解：（1）∵，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵函数定义域为，∴等价于，‎ ‎∴当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ ‎∴函数的递增区间是，递减区间是.‎ ‎（2）假设存在实数，使（）有最小值3，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（i）当时，，在上单调递减，‎ ‎∴‎ ‎∴(与矛盾，舍去).‎ ‎（ii）当，即时，在上，在上，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎（iii）当，即时， ， ‎ ‎∴‎ ‎∴(与矛盾，舍去).‎ 综上所述，存在，当时，函数的最小值是3.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.解：（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，‎ 化为直角坐标方程为，即.‎ 直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.‎ ‎∵圆心与点的距离为，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎（2）由，可化为，‎ ‎∴圆的普通方程为.‎ ‎∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，‎ ‎∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，‎ ‎∴，解得：或.‎ ‎23．解：（1）依题意，原不等式可化为，‎ 当时，，解集为空集；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 综上所述，所求不等式的解集为.‎ ‎（2）不等式等价于，‎ ‎∵解得（当且仅当时取等号），‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎