2017-2018学年湖南省双峰县第一中学高二12月月考数学（文）试题
2017-2018 学年湖南省双峰县第一中学高二 12 月月考
文科数学
一． 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5，共 60 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合 U＝{小于 7 的正整数}，A＝{1,2,5}，B＝ x| 3
2－x
＋1≤0，x∈N ，则 A∩(∁
UB)＝( )
A．{1} B．{2} b C．{1,2} D．{1,2,5}
2．已知 p：x2－x<0，那么命题 p 的一个必要不充分条件是( )
A．0
b>0)的椭圆的左顶点为 A，左、右焦点分别为 F1、F2，D
是它短轴上的一个端点，若 3 1DF
＝ DA
＋2 2DF
，则该椭圆的离心率为( )
A.1
2 B.1
3 C.1
4 D.1
5
11．如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60 的终边上，任作一条射线OA，则
射线落在∠ xOT 内的概率是（ ）．
A． 1
6 B． 1
5 C． 1
4 D．以上全不对
x
y
O
A T
12 若函数 y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数 F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是 ( )
A．[－5，－1] B．[－2,0]
C．[－6，－2] D．[1,3]
二．填空题：(把答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 20 分)
13．命题“ 2,2 3 9 0x x ax R ”为假命题，则实数 a 的取值范围为 ．
14．已知关于 x 的不等式ax－1
x＋1
＜0 的解集是(－∞，－1)∪(－1
2
，＋∞)，则 a＝
________.
15.．若不等式组
x≥0，
x＋2y≥4，
2x＋y≤4
所表示的平面区域被直线 y＝kx＋2 分为面积相等
的两部分，则 k 的值是( )
A．1 B．2 C.1
2 D．－1
16．如图，函数 F(x)＝f(x)＋1
5x2 的图象在点 P 处的切线方程是 y＝
－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝______.
三、解答题(共 6 个小题，满分 70 分)
17 ． ( 本 小 题 满 分 10 分 ） △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已 知
3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求 cosA;
(2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.
18． (本小题满分 12 分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回
地随机摸取 3 次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得 2 分，摸到黑球时得 1 分，求 3 次摸球所得总分为 5 的概
率．
19．(本小题满分 12 分)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝
BC＝1， AA1＝2，点 M 是 BC 的中点，点 N 是 AA1 的中点．
(1)求证：MN∥平面 A1CD；
(2)过 N，C，D 三点的平面把长方体 ABCD－A1B1C1D1 截成两部分几何体，
求所截成的两部分几何体的体积的比值．
20．（本小题满分 12 分）在数列{ }na 中， 1
2
3a ，且对任意的 n N 都有 1
2
1
n
n
n
aa a .
（1）求证: 1{ 1}
na
是等比数列；
（2）若对任意的 n N 都有 1n na pa ，求实数 p 的取值范围．
21.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 :C
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
的离心率为 5
3
，定点 (2,0)M ，椭圆短轴的端点
是 1B ， 2B ，且 1 2MB MB .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点 M 且斜率不为0 的直线交椭圆C 于 A ，B 两点.试问 x 轴上是否存在
定点 P ，使 PM 平分 APB ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.
22.( 本小题满分 12 分)
已知函数 3( ) ln , ( ) 2
af x x g x x
（ a 为实数）．
（1）当 a =1 时，求函数 ( ) ( ) ( )x f x g x 在 [4, )x 上的最小值；
（2）若方程 2 ( ) ( )f xe g x （其中 e 为自然对数的底）在区间 1 ,12
上有解，
求实数 a 的取值范围；
文科数学参考答案：
一.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D C C C B A A D A A
二. 13． ]22,22[ ． 14. a＝－2. 15.k＝1 或 k＝－2(舍)．
16.－5
17.解(1)
3(cos cos sin sin ) 1 6cos cos
3cos cos 3sin sin 1
3cos( ) 1
1cos( ) 3
B C B C B C
B C B C
B C
A
则 1cos 3A .
(2) 由(1)得 2 2sin 3A ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理
2 2 2 2 2 9 1cos 2 12 3
b c a b cA bc
则 2 2 13b c ②,
①②两式联立可得
3
2
b
a
或
3
2
a
b
.
18 解：(1)一共有 8 种不同的结果，列举如下：
(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、
(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．
(2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A.
事件 A 包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事
件 A 包含的基本事件数为 3.
由(1)可知，基本事件总数为 8，所以事件 A 的概率为 P(A)＝3
8.
19 解：(1)证明：设点 P 为 AD 的中点，连结 MP、NP，
∵点 M 是 BC 的中点，∴MP∥CD.
∵CD⊂平面 A1CD，MP⊄平面 A1CD，
∴MP∥平面 A1CD.
∵点 N 是 AA1 的中点，
∴NP∥A1D.
∵A1D⊂平面 A1CD，NP⊄平面 A1CD，
∴NP∥平面 A1CD.
∵MP∩NP＝P，MP⊂平面 MNP，NP⊂平面 MNP，
∴平面 MNP∥平面 A1CD.∵MN⊂平面 MNP，
∴MN∥平面 A1CD.
(2)取 BB1 的中点 Q，连结 NQ、CQ、ND，
∵点 N 是 AA1 的中点，
∴NQ∥AB.
∵AB∥CD，∴NQ∥CD，
∴过 N、C、D 三点的平面 NQCD 把长方体 ABCD－A1B1C1D1 截成两部分几
何体，其中一部分几何体为直棱柱 QBC－NAD，另一部分几何体为直四棱柱
B1QCC1－A1NDD1，
∴S△QBC＝
1
2·QB·BC＝
1
2×1×1＝
1
2，
∴直三棱柱 QBC－NAD 的体积 V1＝S△QBC·AB＝
1
2.
∵长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积 V＝1×1×2＝2，
∴直四棱柱 B1QCC1－A1NDD1 的体积 V2＝V－V1＝
3
2，
∴
V1
V2＝
3
2＝
1
3，
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为
1
3.
20. 解:(1) 由 1
2
1
n
n
n
aa a ,得
1
1 11 1 11 1 ( 1)2 2 2
n n
n n n n
a a
a a a a
.
又由 1
2
3a ,得
1
1 11 02a
.
因此, 1{ 1}
na
是以
1
1 11 2a
为首项,以 1
2
为公比的等比数列.………5 分
（2）由(1)可得： 11 1 1 11 ( )2 2 2
n
n
na
即 2
2 1
n
n na ,
1
1 1
2
2 1
n
n na
,
于是所求的问题：“对任意的 n N 都有 1n na pa 成立”可以等价于问题:
“对任意的 *Nn 都有
1 1
1
1 1 1
2 2 1 2 2 112 1 2 2 1 2 1
n n n
n
n n n n
n
ap a
成立”.
若记 1
1( ) 1 2 1nf n ,则 ( )f n 显然是单调递减的,
故 1 1
1 6( ) (1) 1 2 1 5f n f .
所以,实数 p 的取值范围为 6
5p .………………………12 分
21.（Ⅰ）解：由
2 2 2
2
2 2
5 19
a b be a a
， 得 2
3
b
a
.
依题意△ 1 2MB B 是等腰直角三角形，从而 2b ，故 3a .
所以椭圆C 的方程是
2 2
19 4
x y . ……5 分
（Ⅱ）解：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，直线 AB 的方程为 2x my .
将直线 AB 的方程与椭圆C 的方程联立，
消去 x 得 2 2(4 9) 16 20 0m y my .
所以 1 2 2
16
4 9
my y m
， 1 2 2
20
4 9y y m
. ……8 分
若 PF 平分 APB ，则直线 PA ， PB 的倾斜角互补，
所以 0 PBPA kk . …………9 分
设 ( ,0)P a ，则有 1 2
1 2
0y y
x a x a
.
将 1 1 2x my ， 2 2 2x my 代入上式，
整理得 1 2 1 2
1 2
2 (2 )( ) 0( 2 )( 2 )
my y a y y
my a my a
，
所以 1 2 1 22 (2 )( ) 0my y a y y . 将 1 2 2
16
4 9
my y m
， 1 2 2
20
4 9y y m
代入
上式，
整理得 ( 2 9) 0a m .
由于上式对任意实数m 都成立，所以 9
2a .
综上，存在定点 9( ,0)2P ，使 PM 平分 APB . ………………12 分
22.解：（1）当 1a 时， 1 3( ) ( ) ( ) ln 2x f x g x x x
，则 '
2 2
1 1 1( ) xx x x x
∵在区间（0，1]上， ' ( ) 0x ，在区间[1，+∞）上， ' ( ) 0x
∴ ( )x 在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增
∴在 x∈[4，+∞）上， ( )x 的最小值为 5(4) ln 4 4
．
（2）∵方程 2 ( ) ( )f xe g x 在区间 1 ,12
上有解
即 2ln 3
2
x ae x
在区间 1 ,12
上有解即 33
2a x x 在区间 1 ,12
上有解
令 33( ) 2h x x x ，x∈ 1 ,12
∴ ' 23( ) 32h x x
∵在区间 1 2,2 2
上， ' ( ) 0h x ，在区间 2 ,12
上， ' ( ) 0h x
∴ ( )h x 在区间 1 2,2 2
上单调递增，在区间 2 ,12
上单调递减，
又 1 1 5(1) , ( )2 2 8h h ∴ 2(1) ( ) ( )2h h x h
即 1 2( )2 2h x 故 1 2,2 2a