2020届二轮复习数列的性质学案（全国通用）

2020届二轮复习数列的性质学案（全国通用）

数列的性质 数列有单调性、有界性、周期性、凹凸性等性质． 数列的单调性 ​ 从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 各项都相等的数列叫做常数列； 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列． 数列的有界性 ​ 若数列 满足：对一切 ，有 （其中 是与 无关的常数），称数列 上有界 （有上界），并称 是它的一个上界；对一切 ，有 （其中 是与 无关的常数）， 称数列 下有界（有下界），并称 是它的一个下界． 一个数列 ，若既有上界又有下界，则称之为有界数列．数列 有界的一个等价定义是： 存在正实数 ，使得数列的所有项都满足 ， ‴ ㄴ ， ， ， ． 数列的周期性 ​ 对于数列 ，如果存在正整数 ，对于任意的 ，恒有 ‴ 成立，则称数列 是周期数列． 的最小值称为最小正周期，简称周期． 精选例题 数列的性质 1. 在等差数列 中， ‴ ， ‴ ㄴ ，记数列 ㄴ 的前 项和为 ，若 ㄴ ㄴ对 恒成立，则正整数 的最小值为 ． 【答案】 【分析】 由题意得公差 ‴ ㄴ ‴ ，从而 ㄴ ‴ ㄴ ， 所以 ‴ ，数列 ㄴ 的前 项和为 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 记 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 因为 ㄴ ‴ ㄴ 洠 ㄴ ㄴ ㄴ ，故 为单调递减数列， 从而 max ‴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ 洠 ‴ ㄴ ， 由条件得 ㄴ ㄴ ， 解得 ㄴ ，故正整数 的最小值为 ． 2. 在数列 中， ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ‴ ㄴ ，则 ㄴ 的值为 ． 【答案】 3. 已知数列 满足： ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ，则该数列前 ㄴ 项的乘积 ㄴㄴ ‴ ． 【答案】 4. 已知数列 的各项均为正整数， 为其前 项和，对于 ‴ ㄴͳͳͳ ，有 ㄴ ‴ ͳ 为奇数 ͳ ͳ 为偶数 ͳ 其中 为使 ㄴ 为奇数的正整数，则当 ㄴ ‴ ㄴ 时， ㄴ ‴ ． 【答案】 洠ㄴ【分析】 解法 ㄴ因为数列 的各项均为正整数， ㄴ ‴ ͳ 为奇数 ͳ ͳ 为偶数 ͳ其中 为使 ㄴ 为奇数的正整数， 当 ㄴ ‴ ㄴ 时， ‴ ㄴ ‴ ， ‴ ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ‴ ， ， 所以 是周期为 的周期数列，它的奇数项是 ㄴ ，偶数项是 ． 所以 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ 洠ㄴ 解法 由 ㄴ ‴ ㄴ ，得 ‴ ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ‴ ‴ ㄴ ， 所以 ‴ ㄴ ㄴ ‴ 洠 ． ㄴ ‴ ㄴㄴ洠ㄴㄴ ‴ ㄴㄴㄴ ‴ ㄴ ㄴ 洠 ‴ 洠ㄴ5. 已知数列 的通项公式是 ‴ ，试求 的取值范围，使得数列 为递增数列． 【答案】 解法一： ‴ ‴ ， 显然，当 ㄴ 时，函数 ‴ 在 ㄴͳ 上单调递增，满足要求． 但考虑到只需函数 在正整数集上单调递增，所以，该二次函数图象的对称轴 ‴ 位于 区间 ㄴͳ 上且距离 ㄴ 更近一点也可，故 ，即 满足要求． 综上， ． 解法二： ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ 要使数列 为递增数列，需且只需 ㄴ 对任意 恒成立． 即 ㄴ 对任意 恒成立． 又 ㄴ 的最大值为 ，故需且只需 ． 6. 设 表示正整数 的个位数字， ‴ ，则数列 的前 ㄴ 项和等 于 ． 【答案】 【分析】 因为 与 ㄴ 的个位数字相同且周期为 ㄴ ， 又 ㄴ ‴ ， ‴ ‴ ， ‴ 洠 ‴ ， ‴ ‴ ， ， ㄴ ‴ ， 所以 ㄴ ㄴ ‴ ， 即 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ． 7. 设数列 的前 项和为 ，且 ‴ sin π ，则 ㄴ ‴ ． 【答案】 ㄴ 8. 已知数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ，且 ㄴ ‴ ， ，则 ‴ ；数 列 的前 ㄴ 项的和为 ． 【答案】 ； 【分析】 提示：利用 ‴ ． 9. 已知数列 满足 ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ，则数列 的前 ㄴ 项和为 ． 【答案】 【分析】 依题意，利用枚举法，由 ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， 可得 ‴ ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ㄴㄴ ㄴ ‴ ， 即有 ㄴ ‴ ， ‴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ， 进而 ‴ ， ‴ ㄴ ， 所以 是以 为周期的周期数列， ㄴ ‴ ㄴ ‴ ． 10. 若在数列 中， ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ，则 ㄴ ‴ ． 【答案】 【分析】 由题意知 ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ 两式相减得 ‴ ， ‴ ， 因此数列 中项数为奇数的项相等，所以 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ． 11. 已知数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ， ． (1)若 是递增数列，且 ㄴ ， ， 成等差数列，求 的值； 【解】 因为 是递增数列， 所以 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ． 而 ㄴ ‴ ㄴ ，因此 ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ． 又 ㄴ ， ， 成等差数列， 所以 ‴ ㄴ ， 因而 ‴ ，解得 ‴ ㄴ 或 ‴ ． 当 ‴ 时， ㄴ ‴ ，这也 是递增数列矛盾， 故 ‴ ㄴ ． (2)若 ‴ ㄴ ，且 ㄴ 是递增数列， 是递减数列，求 ， ． 【解】 当 ‴ ㄴ 时， 由于 ㄴ ‴ ， 所以可列出数列 前 项的所有可能的情况： 再根据 ㄴ 是递增数列， 是递减数列， 得到 ‴ ， ‴ ． 12. 已知 ‴ 洠 ㄴ ㄴ ，问：数列 中是否有最大项？若存在，求出这个最大项；若 不存在，请说明理由． 【解】 ㄴ ‴ 洠 ㄴ ㄴ ㄴ ，可知：当 时， ㄴ ；当 时， ㄴ ．所以该数列的最大项为 ‴ 洠 ‴ 洠 洠 ㄴ ． 13. 已知函数 ‴ ㄴ ，设 ‴ ． (1)写出数列 的前 项； 【解】 因为 ‴ ㄴ ，所以 ㄴ ‴ ， ‴ ， ‴ ， ‴ ㄴ ； (2)数列 是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解】 因为 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 又因为 ，所以 ㄴ ，即 ㄴ ． 所以数列 是递增数列． 14. 已知函数 ‴ ͳͳ ͳ ͳ 若数列 满足 ‴ 且 是递增数 列，求实数 的取值范围． 【解】 是递增数列，当且仅当 ͳ ㄴͳ ͳ 解之得 ． 15. 已知等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且满足 ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 等差数列 中，公差 ， ‴ ͳ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ͳ ‴ ㄴ ‴ ͳ ‴ 洠 ‴ ‴ ． (2)通过 ‴ 䁒 构造一个新的数列 ，是否存在一个非零常数 䁒 ，使 也为等差数列； 【解】 ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ 䁒 ‴ ㄴ 䁒 ，令 䁒 ‴ ㄴ ，即得 ‴ ，数列 为等差数列． 存在一个非零常数 䁒 ‴ ㄴ ，使 也为等差数列． (3)对于 䁒 ‴ ㄴ ，求 ‴ ㄴ 的最大值． 【解】 ‴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ，当且仅当 ‴ ，即 ‴ 时，取等号． 且 ， 又 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ，即 ㄴ ㄴ ， ， ‴ 时， 有最大值 ‴ 洠 ㄴ ． 16. 已知数列 的前 项和为 ，常数 ，且 ㄴ ‴ ㄴ 对一切正整数 都成立． (1)求数列 的通项公式； 【解】 取 ‴ ㄴ ，得 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴͳㄴ ㄴ ‴ 若 ㄴ ‴ ，则 ‴ ． 当 时， ‴ ㄴ ‴ ‴ ͳ 所以 ‴ ㄴ 若 ㄴ ，则 ㄴ ‴ ． 当 时， ‴ ͳ ㄴ ‴ ㄴͳ两式相减得 ㄴ ‴ ͳ 所以 ‴ ㄴ ͳ 从而数列 是等比数列． 所以 ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ 综上，当 ㄴ ‴ 时， ‴ ；当 ㄴ 时， ‴ ． (2)设 ㄴ ͳ ‴ ㄴ ．当 为何值时，数列 lg ㄴ 的前 项和最大？ 【解】 当 ㄴ 且 ‴ ㄴ 时，令 ‴ lg ㄴ ， 由(1)有 ‴ lg ㄴ ‴ lg所以数列 是单调递减的等差数列（公差为 lg ）． 当 时， ㄴ ‴ lg ㄴ ‴ lg ㄴ lgㄴ ‴ ͳ当 时， ‴ lg ㄴ ‴ lg ㄴ ㄴ lgㄴ ‴ ͳ故数列 lg ㄴ 的前 项的和最大． 17. 已知数列 的各项为不等于 ㄴ 的正数，其前 项和为 ，点 的坐标为 ͳ ，若所 有这样的 ‴ ㄴͳ 都在斜率为 的同一条直线上． (1)求证数列 是等比数列； 【解】 已知 ， ㄴ 都在斜率为 的同一直线上， 所以 ㄴ ㄴ ‴ ， 所以 ㄴ ㄴ ‴ ， 所以 ㄴ ‴ ， 所以 ㄴ ‴ ， ‴ ㄴͳͳͳ ． 所以 是以 ㄴ 为首项，公比为 的等比数列． (2)设 ‴ log 且满足 ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ， 为大于 的常数． 试确定 的值； 是否存在正整数 ，使得当 时， ㄴ 恒成立？若存在，求出相应的 ；若不 存在，请说明理由． 【解】 （i）因为 ‴ log ， ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ， ㄴ ‴ log ， 又由（1）， ‴ ㄴ ㄴ ， 所以 ㄴ ㄴ ㄴ ‴ log logㄴ ‴ log ㄴ ‴ log ， 又因为 ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ， 所以 log ‴ ， 所以 ‴ ，又 ， 所以 ‴ ‴ ． （ii）由（i）知 ‴ ㄴ ，而 ‴ ͳㄴ ，故欲使 ㄴ ，则只须 ㄴ ， 因为 ㄴ ‴ log ‴ log ㄴ ㄴ ‴ ㄴ log logㄴ ， 所以 ㄴ 为等差数列，其公差 ‴ log ‴ log ‴ lg lg ‴ ． （公差 也可由 ㄴ ㄴ ㄴ ‴ 求得） 所以 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， 由 ㄴ 得 ， 所以取 ‴ ͳ 当 时 ㄴ 恒成立． （注：凡是取 为大于或等于 的正整数均可） 18. 数列 满足 ㄴ ‴ ， ‴ ， ‴ ㄴ cos π sin π ， ‴ ㄴͳͳͳ ． (1)求 ， ，并求数列 的通项公式； 【解】 因为 ㄴ ‴ ， ‴ ，所以 ‴ ㄴ cos π ㄴ sin π ‴ ㄴ ‴ ͳ ‴ ㄴ cos π sin π ‴ ‴ ͳ 一般地，当 ‴ ㄴ 时， ㄴ ‴ ㄴ cos ㄴ π ㄴ sin ㄴ π ‴ ㄴ ͳ 即 ㄴ ㄴ ‴ 所以数列 ㄴ 是首项为 ，公差为 的等差数列，因此 ㄴ ‴ ㄴ 当 ‴ 时， ‴ ㄴ cos π sin π ‴ ͳ所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，因此 ‴ 故数列 的通项公式为 ‴ ㄴ ͳ ‴ ㄴ ͳ ͳ ‴ (2)设 ‴ ㄴ ㄴ ， ‴ ， ‴ ，求使 ㄴ 的所有 的值，并说明理由． 【解】 由（1）知， ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ͳ ‴ ‴ ‴ ㄴ ͳ ‴ ‴ ㄴ ㄴ 于是 ㄴ ‴ ͳ ‴ ㄴͳ ‴ ͳ ‴ ͳ ‴ ͳ ‴ ㄴ ㄴ 下面证明：当 时， ㄴ ． 事实上，当 时， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ͳ即 ㄴ 又 ㄴ ，所以当 时， ㄴ 故满足 ㄴ 的所有 的值为 ， ， ． 19. 已知数列 的通项公式为 ‴ ㄴ ．求证此数列为递增数列． 【解】 对于任意 ，由公式 ‴ ㄴ ，有 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ． 即 ㄴ ， 所以数列 是递增数列． 20. 若数列 的通项公式为 ‴ ㄴ 洠 ，是否存在这样的正整数 ，使对于任意的 正整数 都有 成立？证明你的结论． 【解】 存在正整数 ‴ 或 洠 使 成立． 证明如下： ㄴ ‴ 洠 ㄴ ㄴ 洠 ㄴ ㄴ ‴ 洠 ㄴ ㄴ ， 时， ㄴ ，则 递增； 时， ㄴ ，则 递减． 有 ㄴ ， 洠 ㄴ ㄴㄴ ， ‴ 洠 ． 存在正整数 ‴ 或 洠 使 成立． 数列的单调性 1. 已知数列 满足： ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ，用 表示不超过 的最大整数， 表示 数列 ㄴ 的前 项和．现给出下列命题： ①数列 单调递增； ②数列 ㄴ 单调递减； ③ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ； ④ ㄴ ‴ ． 以上命题中正确的是 ． 【答案】 答案 2. 已知 ‴ ， ，且 单调递增，则 的取值范围是 ． 【答案】 ͳ 【分析】 因为 单调递增，所以对于任意 ， ㄴ ‴ ㄴ 成立，即 ㄴ 恒成立，所以 ㄴ min ，故 ． 3. 设数列 的前 项和为 ，且 ‴ ㄴ ㄴ ，若对任意 ，都有 ㄴ ，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 ͳ 【分析】 令 ‴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ． 当 为奇数时， ‴ ㄴ ㄴ 单调递减，则当 ‴ ㄴ 时， max ‴ ㄴ ； 当 为偶数时， ‴ ㄴ ㄴ 单调递增，则当 ‴ 时， min ‴ ㄴ ． 又 ㄴ ， 所以 ． 4. 已知数列 是等差数列，若它的前 项和 有最小值，且 ㄴㄴ ㄴ ㄴ ，则使 成立 的最小自然数 的值为 ． 【答案】 【分析】 由已知得， ㄴ ， ， ㄴ ， ㄴㄴ ，所以 ㄴ ㄴ洠 ， ㄴ ㄴㄴ ， 所以 ㄴ ，则 ㄴ洠 ， ，故所求 ‴ ． 5. 已知数列 的通项 ‴ 䁒 （ ， ， 䁒 均为正实数），则 与 ㄴ 的大小关系 是 ． 【答案】 ㄴ【分析】 已知 ‴ 䁒 ‴ 䁒 ，因为 䁒 随着 的增大而递减，所以 ‴ 䁒 为递增数列，所 以 ㄴ ． 6. 已知数列 的各项满足： ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ㄴ ． (1)判断数列 是否成等比数列； 【解】 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ‴ ． 当 ‴ ㄴ 时， ㄴ ‴ ，则数列 不是等比数列； 当 ㄴ 时， ㄴ ，则数列 是公比为 的等比数列． (2)求数列 的通项公式； 【解】 由（1）可知当 ㄴ 时， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ． 当 ‴ ㄴ 时， ‴ ，也符合上式， 所以，数列 的通项公式为 ‴ ㄴ ． (3)若数列 为递增数列，求 的取值范围． 【解】 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ 为递增数列， ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ 恒成立． （i）当 为偶数时，有 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ，即 ㄴ ㄴ ㄴ 恒成立， ㄴ ㄴ ㄴ min ， ‴ ㄴ ㄴ ㄴ 为增函数，所以 ㄴ ㄴ ㄴ min ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ，得 ㄴ ． （ii）当 为奇数时，有 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ，即 ㄴ ㄴ ㄴ 恒成立， ㄴ ㄴ ㄴ max ， ‴ ㄴ ㄴ ㄴ 为减函数，所以 ㄴ ㄴ ㄴ max ‴ ㄴ ㄴ ㄴㄴ max ‴ ， 所以 ． 故 的取值范围是 或 ㄴ ． 7. 数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ‴ ㄴͳͳ ， 是常数． (1)当 ‴ ㄴ 时，求 及 的值． 【解】 由于 ㄴ ‴ ‴ ㄴͳͳ ，且 ㄴ ‴ ㄴ ． 所以当 ‴ ㄴ 时，得 ㄴ ‴ ，故 ‴ ． 从而 ‴ ㄴ ‴ ． (2)数列 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由． 【解】 若数列 不可能为等差数列，证明如下： 由 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ，得 ‴ ， ‴ ， ‴ ㄴ ． 若存在 ，使 为等差数列，则 ‴ ㄴ ， 即 ‴ ㄴ ， 解得 ‴ ． 于是 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ， ‴ ㄴㄴ ‴ ． 这与 为等差数列矛盾． 所以对任意 ͳ 都不可能是等差数列． (3)是否存在实数 ，使得 时， ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明 理由． 【解】 记 ‴ ‴ ㄴͳͳ ， 则数列 单调递增．又 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴㄴ ， 所以要使 ， ，需且只需 且 ，即 ㄴ ͳ 解得 ㄴ ． 所以存在 ㄴͳ ，满足题意． 8. 已知数列 中， ㄴ ‴ ㄴ ，且点 ͳㄴ ( )在直线 ‴ 上， 是数列 的前 项和． (1)求数列 的通项公式； 【解】 由已知， ㄴ ‴ ，所以数列 是以 ㄴ 为首项， 为公差的等差数列， 所以 的通项公式为 ‴ ( )． (2)若 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ洠 ，求 的值； 【解】 ‴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ， 所以 ‴ ㄴ ， 所以， ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ 于是 ㄴ ‴ ㄴ洠 ， ‴ ㄴ ． (3)设 ‴ ㄴ ( )， ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ( ， )，求 的最小值． 【解】 由(2)， ‴ ， ‴ ，所以， ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ 则 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ 所以 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ 即 随 的增大而增大， 所以当 ‴ 时， 取最小值 ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ． 9. 已知函数 ‴ log （ ＞ 且 ㄴ ），点 ͳ 在函数 的图象上． (1)若 ‴ ，当 ‴ 时，求数列 的前 项和 ； 【解】 由题意可得 log ‴ ，所以 ‴ ， 当 ‴ 时， ‴ log ‴ ‴ ㄴ ， 所以 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 所以 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 两式相减，得 ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ͳ所以 ‴ ； (2)设 䁒 ‴ lg ，若数列 䁒 是单调递增数列，求实数 的取值范围． 【解】 由题意得 䁒 ‴ lg ‴ lg ‴ lg ， 因为数列 䁒 是单调递增数列， 所以 䁒 ＜ 䁒ㄴ 对任意的 都成立， 所以 lg ＜ ㄴ ㄴ lg ， 即 lg ＜ ㄴ lg 对任意的 都成立， 当 ＜ ＜ ㄴ 时， ＜ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ 对任意的 都成立， 设 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ，易知 是递增函数， min ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， 所以 ＜ ＜ ㄴ ； 当 ＞ ㄴ 时， ＞ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 因为 ㄴ ㄴ ㄴ ＜ ㄴ 对任意的 都成立， 所以 ㄴ 且 ＞ ㄴ ，所以 ＞ ㄴ ， 综上所述， ＜ ＜ ㄴ 或 ＞ ㄴ ． 10. 已知数列 满足， ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ， ． (1)猜想数列 的单调性，并证明你的结论； 【解】 由 ㄴ ‴ ㄴ 及 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ 得 ‴ ͳ ‴ ͳ ‴ ㄴ ㄴ ͳ由 猜想：数列 是递减数列． 下面用数学归纳法证明 ： ① 当 ‴ ㄴ 时，已证命题成立． ② 假设当 ‴ 时命题成立，即 ， 易知 ，那么 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ 即 ㄴ ㄴ ． 也就是说，当 ‴ ㄴ 时命题也成立． 结合 ① 和 ② 知，命题成立． (2)证明： ㄴ ㄴ ㄴ ． 【解】 当 ‴ ㄴ 时， ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ，结论成立； 当 时，易知 ㄴ ㄴ ，所以 ㄴ ㄴ ͳ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ͳ所以 ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ͳ所以 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ 数列的有界性 1. 已知数列 满足： ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ，则 ㄴ ‴ ； 前 ㄴ 项中数值最大项与最小项的和 ‴ ． 【答案】 ㄴ ， ㄴ 【分析】 因为 ㄴ ‴ ㄴ ，所以 ㄴ ‴ ㄴ ．因为 ‴ ，所以当 ‴ 时，有 ‴ ，当 ‴ ㄴ 时，有 ‴ ，所以前 ㄴ 项中数值最大项为 ㄴ ‴ ㄴ ，最小项为 洠 ‴ ㄴ ，前 ㄴ 项中数值最大项与最 小项的和为 ㄴ ． 2. 设 是定义在 上恒不为零的函数，且对任意的实数 ͳ ，都有 ‴ ，若 ㄴ ‴ ㄴ ͳ ‴ ，则数列 的前 项和 的取值范围是 ． 【答案】 ㄴ ͳㄴ 【分析】 由已知可得 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， ， ‴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， 所以 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ， 因为 ，所以 ㄴ ㄴ ． 3. 已知数列 满足： ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ，用 表示不超过 的最大整数，则 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ 的值等于 ． 【答案】 【分析】 因为 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ， 所以数列 各项为正，并且 ㄴ ． 由递推公式 ㄴ ‴ ，移向 ㄴ ‴ ， 在两边加上 ㄴ ，并将左边提公因式得出 ㄴ ‴ ㄴ ， 可得 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 所以 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ 又因为 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ 洠 ， ‴ ͳ ， ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 所以 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 所以 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ． 4. 已知数列 是首项为 ㄴ 的等差数列，其公差 ，且 ͳ ͳ洠 成等比数列． (1)求数列 的通项公式； 【解】 依题意，得 ‴ 洠ͳ 将 ㄴ ‴ ㄴ 代入，得 ‴ ㄴ ㄴ ͳ 整理，得 ㄴ ‴ ͳ 解得 ‴ ㄴ 或 ‴ ㄴ （舍去）．所以 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ͳ 因此， ‴ ． (2)设数列 的前 项和为 ，求 ‴ ㄴ ㄴ 的最大值． 【解】 由等差数列前 项求和公式，得 ‴ ㄴ ͳ ㄴ ‴ ㄴ ͳ代入 ，得 ‴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ 当且仅当 ‴ ，即 ‴ 时， max ‴ ㄴ ． 5. 对于数列 ，若存在常数 ，对任意的 ，恒有 ㄴ ㄴ ㄴ ，则称数列 为 数列． (1)首项为 ㄴ ，公比为 ㄴ 的等比数列是否为 数列？请说明理由； 【解】 设满足题设的等比数列为 ，则 ‴ ㄴ ． 于是 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ， ． 因此 ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ． 因为 ㄴ ，所以 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ．即 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ． 故首项为 ㄴ ，公比为 ㄴ 的等比数列是 数列． (2)设 是数列 的前 项和．给出下列两组论断： 组：① 数列 是 数列，② 数列 不是 数列； 组：③ 数列 是 数列，④ 数列 不是 数列． 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题． 判断所给命题的真假，并证明你的结论； 【解】 命题 1：若数列 是 数列，则数列 是 数列． 此命题为假命题． 事实上，设 ‴ ㄴ ， ，易知数列 是 数列．但 ‴ ， ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ． 由 的任意性知，数列 不是 数列． 命题 2：若数列 是 数列，则数列 是 数列． 此命题为真命题． 事实上，因为数列 是 数列，所以存在正数 ，对任意的 ，有 ㄴ ㄴ ㄴ ， 即 ㄴ ．于是 ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ， 所以数列 是 数列． 6. 已知数列 满足： ㄴ ‴ ͳ ，且 ㄴ ͳㄴ ，求证： ㄴ ． 【解】 构造辅助函数 ‴ ㄴ ，则 ‴ ㄴ ㄴ ． 当 ͳㄴ 时， ，所以 在 ͳㄴ 上是增函数． ①因为 ㄴ ͳㄴ ，即 ㄴ ㄴ ，故 ‴ ㄴ 时原不等式成立． ②设 ‴ 时原不等式成立，即 ㄴ ，因为 在 ͳㄴ 上是增函数， 所以 ㄴ ． 又 ‴ ͳ ㄴ ‴ ㄴ ，所以 ㄴ ，即 ㄴ ㄴ ． 即 ‴ ㄴ 时，原不等式成立， 由①②知， 时， ㄴ ． 7. 已知函数 ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ，数列 满足 ㄴ ‴ ， ㄴ ， ㄴ ‴ ． (1)求证： ㄴ ‴ ㄴ ； 【解】 由 ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， 得 ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ． 而 ㄴ ，故 ㄴ ‴ ㄴ ． (2)求数列 ㄴ 的通项公式； 【解】 由 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ，猜测 ㄴ 为等比数列， 证明如下： ㄴㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ （ ㄴ ）， 故 ㄴ 是公比为 的等比数列． 又 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ． (3)若 ‴ ㄴ ，求 中的最大项． 【解】 由（2）知 ‴ ㄴ ㄴ ．由（1）知 ㄴ ‴ ㄴ ．则 ‴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ 洠 ‴ ㄴ ㄴ 洠 ㄴ ㄴ ‴ ㄴ 设 ‴ ㄴ ，函数 ‴ ㄴ ． 则当 ㄴ 时， ‴ ㄴ ㄴ ，则当 ‴ ㄴ 时， max ‴ ，即 的最大项为 ㄴ ‴ ． 8. 设不等式组 ͳ ͳ 所表示的平面区域为 ，记 内的整点个数为 （整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）． (1)求数列 的通项公式； 【解】 由 ， ， ，得 ，考虑到整点的定义，可取 ‴ ㄴ 或 ‴ ，从而 内的整点在直线 ‴ ㄴ 和 ‴ 上．设直线 ‴ 与直线 ‴ ㄴ ， ‴ 交点的纵坐标分别为 ㄴ 、 ，则 ㄴ ‴ ‴ ͳ ‴ ‴ 所以 ‴ ． (2)记数列 的前 项和为 ，且 ‴ ㄴ ，若对于一切的正整数 ，总有 ，求实 数 的取值范围． 【解】 由（1），得 ‴ ㄴ ‴ ㄴ 则有 ‴ ㄴ ‴ ㄴ 因为 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ 所以，当 时， ㄴͳ ，且 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ‴ ，即 max ‴ ‴ ‴ 因此， ． 数列的周期性 1. 数列 满足 ㄴ ‴ ͳ ㄴ ㄴͳ ㄴ ㄴ ，若 ㄴ ‴ ，则 ㄴㄴ 的值为 ． 【答案】 【分析】 ㄴ ‴ ， ‴ ， ‴ ， ‴ ，故周期为 ， ㄴㄴ ‴ ㄴ ‴ ． 2. 设 为正整数 （十进制）的各数位上的数字的平方之和，例如 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ．记 ㄴ ‴ 洠 ， ㄴ ‴ ， ‴ ㄴͳͳͳ ，则 ㄴㄴ ‴ ． 【答案】 ㄴ 3. 已知数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， 是数列 的前 项和，则 ㄴ ‴ ． 【答案】 ㄴ【分析】 因为数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ，所以 ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ，所以 ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ．即数列各项 的值呈周期性出现．所以 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ． 4. 已知数列 满足： ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ，则 ㄴㄴ ‴ ；设 ‴ ㄴ ， 数列 前 项的和为 ，则 ㄴ ‴ ． 【答案】 ； ㄴ 5. 已知数列 中， 是其前 项和，若 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， 且 ㄴ ㄴ ，则 ㄴ ‴ ． 【答案】 【分析】 由题可知， ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ‴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ， ‴ ． 周期为 ， ㄴ ‴ ‴ ． 6. 已知数列 ， ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ （ ）． (1)求 ， ； 【解】 由题意知 ‴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ； ‴ ㄴ ‴ ． (2)是否存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ‴ ． 【解】 假设存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ‴ ， 则存在无数个正整数 ，使得对任意的 ，有 ‴ ． 设 为其中最小的正整数， 若 为奇数，设 ‴ ㄴ （ ）， 则 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ．与已知 ㄴ ‴ ㄴ 矛盾； 若 为偶数，设 ‴ （ ）， 则 ‴ ‴ ， 而 ‴ ‴ ， 从而 ‴ ，而 ，与 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ‴ ． 7. 设函数 定义如下表，数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ，且对于任意的正整数 ，均有 ㄴ ‴ ，求 ㄴㄴ 的值． ㄴ ㄴ 【解】 因为 ㄴ ‴ ㄴ ， 所以 ‴ ㄴ ‴ ㄴ ‴ ， ‴ ‴ ‴ ， ‴ ‴ ‴ ， ‴ ‴ ‴ ㄴ ， ‴ ‴ ㄴ ‴ ， 不难看出数列 是以 为周期的周期数列， 所以 ㄴㄴ ‴ ‴ ． 8. 已知数列 ， 满足 ‴ ㄴ ，其中 ． (1)若 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ，求数列 的通项公式； 【解】 由 ㄴ ‴ ，得 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ (2)若 ㄴㄴ ‴ ，且 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ． ①记 䁒 ‴ ㄴ ㄴ ，求证：数列 䁒 为等差数列； ②若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项 ㄴ 应满足的条件． 【解】 ① ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ‴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ， ‴ ， 洠 ‴ ， ． 由此可知： ㄴ ‴ ‴ ㄴ ， ‴ ‴ ， ‴ ‴ ㄴ ，其中 ． 䁒ㄴ 䁒 ‴ ㄴ ‴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ‴ ͳ 所以 䁒ㄴ 䁒 ‴ ，则 䁒 为等差数列． ②由①可知 ‴ ㄴ ㄴ ， ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ， ‴ ㄴ ㄴ ， ‴ ㄴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ， ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ． 要使得 中任何一项不重复出现无数次， 只要 ㄴ ㄴ 不为常数， ㄴㄴ ㄴ 不为常数， ㄴ ㄴ ㄴ 不为常数， 即 ㄴ ， ㄴ ， ㄴ ㄴ ， ㄴ ㄴ ， ㄴ ㄴ ． 9. 已知数列 中， ㄴͳͳ 是以 为首项、 为公差的等差数列， ㄴͳͳͳ 是以 ㄴ 为首项、 ㄴ 为公比的等比数列 ͳ ，且对任意的 ，都有 ‴ 成立， 是数列 的前 项和． (1)当 ‴ 时，求 的值； 【解】 当 ‴ 时，因为 ㄴ ‴ ，所以 ‴ ， 由 是以 ㄴ 为首项、 ㄴ 为公比的等比数列的第 项，得 ‴ ㄴ ‴ ㄴ ，即 ‴ ㄴ ． (2)判断是否存在 ，使 成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解】 由条件得前 项和为 ‴ ㄴ ‴ ，第 ㄴ 项至 项和为 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ㄴ ㄴ 从而前 项和为 ‴ ㄴ ㄴ ．由 ‴ 得 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ， ‴ ‴ ， ‴ ‴ ．又 ‴ ㄴ ㄴ ， 所以 ‴ ㄴ ㄴ ， 若 ，则 ㄴ ㄴ ，即 ㄴ （*）， 而 ‴ ‴ ͳ ， 所以当 ‴ 时， max ‴ ． 显然（*）式不成立，所以不存在满足条件的 ． 10. 已知实数数列 满足： ‴ ㄴ ‴ ㄴͳͳ ， ㄴ ‴ ， ‴ ，记集合 ‴ ． (1)若 ‴ ㄴ ， ‴ ，用列举法写出集合 ； 【解】 ‴ ㄴͳͳ ㄴͳ ． (2)若 ， ，判断数列 是否为周期数列，并说明理由； 【解】 因为 ， ， ‴ ㄴ ‴ ㄴͳͳ ， 所以数列的前 ㄴㄴ 项分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 所以 ㄴ ‴ ㄴ ‴ ， ㄴㄴ ‴ ‴ ． 又因为 ‴ ㄴ ‴ ㄴͳͳ ，所以数列中 ㄴ 至 ㄴ 依次重复 ㄴ 至 洠 ， 以此类推，于是，对任意正数 ，有 洠 ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ． 所以 洠 是数列 的周期． 使 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ 成立的最小 ‴ 洠 ． (3)若 ， ，且 ，求集合 的元素个数的最小值． 【解】 对 ， 分情况讨论， （i）若 ，则数列的前 项 ， ， ， ， 中至少有 项互不相同； （ii）若 ，则数列前 项为 ， ， ， ，当 时，数列的第五、 六项为 ， ；当 时，数列的第五、六项为 ， ． 易知数列中至少有 互不相同： （iii）若 ‴ 或 ， ‴ 或 ‴ ， ，由数列的前 项可知，数列中至少有 项 ， ， ，或 ， ， ， 互不相同． 综上，集合 的元个不小于 ，又由（1）可知，当 ‴ ㄴ ， ‴ 时，集合 的元素个数 为 ，所以，求集合 的元素个数的最小值 ． 课后练习 1. 已知数列 的通项 ‴ ‴ ㄴͳͳͳ ，若数列 为递增数列，则 的取值范 围是 ． 2. 若数列 中的最大项是第 项，则 ‴ ． 3. 设 是首项大于零的等比数列，则“ ㄴ ’’是‘‘数列 是递增数列”的 （用 “充分不必要”，“必要不充分”，“充要’’或“既不充分也不必要”填空）条件． 4. 数列 （ ‴ ㄴͳͳ ），则数列中最大项的值为 ． 5. 依次写出数列： ㄴ ， ， ， ， ，其中 ㄴ ‴ ㄴ ，当 时，如果 为自然数且 未出现过，则 ㄴ ‴ ，否则 ㄴ ‴ ㄴ ，则 ‴ ． 6. 设 是首项大于零的等比数列，则“ ㄴ ”，是”数列 是递增数列 “的 （填“充分不必要”‘‘必要不充分”‘‘充要”或“既不充分也不必要’’）条件． 7. 已知 ‴ 洠 ，则在数列 的前 项中最大项的项数是 ． 8. 下列结论：① 通项公式为 ‴ 的数列是常数数列；② 数列 ㄴ 是递增数列；③ 若数 列 是递增数列，则数列 ㄴ 也是递增数列．其中正确命题的序号为 ． 9. 已知数列 的通项公式为 ‴ sin π ，记前 项和为 ，那么 ㄴ ‴ ． 10. 数列 的通项为 ‴ ㄴ ，其中 ， 均为正数，则 与 ㄴ 的大小关系为 ． 11. 已知数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ，且 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ 且 ，则数列 中项的最 大值为 ． 12. 已知点 ㄴ ㄴͳㄴ ͳ ͳ ͳͳ ͳ 都在函数 ‴ log ㄴ 的图象上．则数列 的 通项公式为 ；设 为坐标原点，点 ͳ ，则 ㄴㄴ ， ， ， 中，面积的最大值是 ． 13. 已知数列 的通项公式 ‴ ㄴ ，则数列 的最小项是第 项． 14. 已知 ‴ ㄴ ．若数列 是递增数列，则实数 的取值范围是 ． 15. 数列 满足： ㄴ ㄴ ㄴͳ ，给出下述命题： ① 若数列 满足： ㄴ ，则 ㄴ ㄴͳ 成立； ② 存在常数 䁒 ，使得 䁒 成立； ③ 若 （其中 ͳͳͳ ），则 ； ④ 存在常数 ，使得 ㄴ ㄴ 且 ㄴ 都成立． 上述命题正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 16. 已知函数 的对应关系如下表所示，数列 满足 ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ，则 ‴ ， ㄴ ‴ ． ㄴ ㄴ 17. 数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ，若 ㄴ ‴ ㄴ ，则 ㄴ ‴ ． 18. 已知数列 ㄴㄴ ， ㄴ ， ㄴ ， ㄴㄴ ， ㄴ ， ，这个数列的特点是从第二项起，每一项 都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 ㄴ 项之和 ㄴ 等于 ． 19. 设函数 定义如下表．若数列 满足 ㄴ ‴ ，且对任意的正整数均有 ㄴ ‴ ， 则 ㄴㄴ ‴ ． ㄴ ㄴ 20. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为 ㄴ ，第二位同学首次报出的数也为 ㄴ ，之后每位同学所报出的数 都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为 的倍数，则报该数的同学需拍手一次． 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 ㄴ 个数时，甲同学拍手的总次数 为 ． 21. 若 的前 项和为 ，点 ͳ 均在函数 ‴ ㄴ 的图象上． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ‴ ㄴ ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小 正整数 ． 22. 共有 项的数列 的通项 ‴ 洠 ，求该数列中最大项与最小项的项数． 23. 设数列 满足 ㄴ ㄴͳ ． (1)求证： ㄴ ㄴ ͳ ； (2)若 ͳ ，证明： ͳ ． 24. 在数列 中， ㄴ ‴ ㄴ ，点 ͳㄴ 在直线 ㄴ ㄴ ‴ 上． (1)求数列 的通项公式； (2)函数 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ͳ 且 ，求函数 最小值． 25. 设实数数列 的前 项和 满足 ㄴ ‴ ㄴ ． (1)若 ㄴ ， ， 成等比数列，求 和 ； (2)求证：对 有 ㄴ ． 26. 求证：数列 ㄴ ㄴ 是单调增加的，且有上界． 27. 已知数列 的通项是 ‴ ㄴ ㄴ ㄴㄴ ，试问该数列 有没有最大项？若有， 求最大项的项数；若没有，说明理由． 28. 已知无穷数列 中， ㄴ ， ， ， ， 是首项为 ㄴ ，公差为 的等差数列， ㄴ ， ， ， ， 是首项为 ㄴ ，公比为 ㄴ 的等比数列（其中 ， ），并对任意的 ，均有 ‴ 成立． (1)当 ‴ ㄴ 时，求 ㄴ ； (2)若 ‴ ㄴ ㄴ ，试求 的值； (3)判断是否存在 （ ， ），使得 ㄴㄴ 成立？若存在，试求出 的值； 若不存在，请说明理由． 29. 数列 满足 ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ 䁒 ． (1)证明： 是递减数列的充分必要条件是 䁒 ； (2)求实数 䁒 的取值范围，使 是递增数列． 30. 设数列 的首项 ㄴ ‴ ㄴ ，前 项和为 ，且点 ㄴͳ ͳ 在直线 ‴ （ 为与 无关的正实数）上． (1)求证：数列 是等比数列； (2)记数列 的公比为 ，数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ㄴ ͳ ．设 䁒 ‴ ㄴ ㄴ ，求数列 䁒 的前 项和 ； (3)在（2）的条件下，设 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ，证明： ㄴ ． 31. 数列 的通项公式为 ‴ ，则数列 的最小项是第几项？ 32. 已知数列 与 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ． (1)若 ‴ ，且 ㄴ ‴ ㄴ ，求 的通项公式； (2)设 的第 项是最大项，即 ．求证： 的第 项是最大项； (3)设 ㄴ ‴ ， ‴ ．求 的取值范围，使得 有最大值 与最小值 ， 且 ͳ ． 33. 在数列 中，前 项和为 ，且 ‴ ㄴ (1)求数列 的通项公式； (2)设 ‴ ，数列 的前 项和为 ，求 的取值范围． 34. 已知数列 的前 项和为 ，设数列 满足 ‴ ㄴ ㄴ ． (1)若数列 为等差数列，且 ‴ ，求数列 的通项公式； (2)若 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ，且数列 ㄴ ， 都是以 为公比的等比数列，求满足不等式 ㄴ 的所有正整数 的集合． 35. 数列 的前 项和为 ， ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ （ ），等差数列 满足 ‴ ， ‴ 洠 ． (1)分别求数列 ， 的通项公式； (2)设 䁒 ‴ （ ），求证 䁒ㄴ 䁒 ㄴ ． 36. 给定正整数 和正数 ，对于满足条件 ㄴ ㄴ 的所有无穷等差数列 ，试求 ‴ ㄴ ㄴ 的最大值，并求出 取最大值时 的首项和公差． 37. 已知数列 满足： ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， ． (1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； (2)已知数列 满足： ‴ ，若 对任意的 恒成立，求 的取值范 围． 38. 已知函数 ‴ ㄴ ，设 ‴ ， (1)判断 洠 是否是数列 的项； (2)求证： ㄴ ； (3)判断并证明数列 的单调性． 39. 已知数列 的通项公式为 ‴ 洠 ㄴ ㄴ ，试问：数列中有没有最大项？如果有， 求出这个最大项；如果没有，说明理由． 40. 设满足以下两个条件的有穷数列 ㄴ ， ， ， 为 ‴ ͳͳͳ 阶“期待数列”： ㄴ ‴ ； ㄴ ‴ ㄴ ． (1)分别写出一个单调递增的 阶和 阶“期待数列”； (2)若某 ㄴ 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)记 阶“期待数列”的前 项和为 ‴ ㄴͳͳͳͳ ，试证： ㄴ ． 41. 已知数列 ͳㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， ． (1)求 ， ； (2)是否存在正整数 ，使得对任意的 ，有 ‴ ； (3)设 ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ㄴ ，问 是否为有理数，说明理由． 42. 数列 中，定义： ‴ ㄴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ． (1)若 ‴ ， ‴ ，求 ； (2)若 ‴ ， ㄴ ，求证此数列满足 ； (3)若 ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ 且数列 的周期为 ，即 ‴ ㄴ ，写出所有符合条件的 ． 43. 若实数数列 满足 ‴ ㄴ N ，则称数列 为" 数列"． (1)若数列 是 数列，且 ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ，求 ， 的值； (2)求证：若数列 是 数列，则 的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (3)若数列 为 数列，且 中不含值为零的项，记 前 ㄴ 项中值为负数的项的 个数为 ，求 所有可能取值． 44. 设数列 和 的项数均为 ，则将数列 和 的距离定义为 ‴ㄴ ． (1)给出数列 ㄴ ， ， ， 和数列 ， ， ㄴ ， 的距离； (2)设 为满足递推关系 ㄴ ‴ ㄴ ㄴ 的所有数列 的集合， 和 䁒 为 中的两个元 素，且项数均为 ，若 ㄴ ‴ ， 䁒ㄴ ‴ ， 和 䁒 的距离小于 ㄴ ，求 的最大值； (3)记 是所有 项数列 ㄴͳ ‴ 或 ㄴ 的集合， ，且 中任何两个元素的距 离大于或等于 ，证明： 中的元素个数小于或等于 ㄴ ． 45. 已知数列 是无穷数列， ㄴ ‴ ， ‴ （ ， 是正整数）， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ͳ ㄴ ㄴ ㄴ (1)若 ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ，写出 ， 的值； (2)已知数列 中 ‴ ㄴ ，求证：数列 中有无穷项为 ㄴ ； (3)已知数列 中任何一项都不等于 ㄴ ，记 ‴ max ㄴͳ ‴ ㄴͳͳͳmax ͳ为 ͳ 较大者 ．求证：数列 是单调递减数列． 数列的性质-出门考 姓名 成绩 1. 已知对于任意的正整数 ， ‴ ．若数列 是递增数列，则实数 的取值范围 是 ． 2. 已知数列 ( )满足 ㄴ ‴ ͳͳ ͳ ͳ 且 ㄴ ㄴ ，其中 ．若 ‴ ( )，则 的最小值为 ． 3. 已知数列 中， ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴͳ ㄴͳ ͳ ㄴͳ ．若 ‴ ㄴ ，则 ‴ ；记 ‴ ㄴ ，则 ㄴ ‴ ． 4. 已知数列 满足 ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ㄴ ，则 ‴ ． 5. 数列 ‴ 为单调递减数列，则 的取值范围是 ． 6. 若数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， 是 的前 项和，则 ㄴㄴ ‴ ． 7. 已知数列 满足 ㄴ ‴ ，且 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ‴ ，则 ㄴ ㄴ ‴ ． 8. 数列 的通项公式 ‴ cos π ㄴ ，前 项和为 ，则 ㄴ ‴ ． 9. 若数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ͳ ㄴ ㄴ ͳ 且 ㄴ ‴ ，则 ‴ ． 10. 若数列 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ‴ ㄴ ，则 ㄴ 等于 ． 11. 已知 是递增数列，且对任意 都有 ‴ 恒成立，则实数 的取值范围 是 ． 12. 已知 ‴ ㄴ ，则在数列 的最大项为 ． 13. 已知 是递增数列，且对任意的自然数 ㄴ ，都有 ‴ 恒成立，则实数 的取值范围为 ． 14. 将整数 ㄴ ， ， ， ， 填入如图所示的 行 列的表格中，使每一行的数字从左到右都 成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 ． 15. 对于数列 ，若 ͳ ，都有 （ 为常数）成立，则称数列 具 有性质 ． （i）若数列 的通项公式为 ‴ ，且具有性质 ，则 的最大值为 ； （ii）若数列 的通项公式为 ‴ ，且具有性质 ㄴ ，则实数 的取值范围 是 ． 16. 已知数列 中， 是其前 项和，若 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， 且 ㄴ ㄴ ，则 ㄴ ‴ ， ㄴ ‴ ． 17. 在数列 中， ㄴ ‴ ͳ ㄴ ‴ ㄴ ，设 是数列 的前 项和，则： 洠 的值为 ． 18. 定义"等和数列"：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这 个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列 是等和数列，且 ㄴ ‴ ， 公和为 ，那么 ㄴ 的值为 ． 19. 数列 满足 ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ㄴ ㄴ ‴ ͳͳͳ ，则 ‴ ；若 有一个形 如 ‴ sin 的通项公式，其中 、 、 、 均为实数，且 ， ， π ，则此通项公式可以为 ‴ （写出一个即可）． 20. 在数列 中， ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ㄴ ‴ ，则此数列的前 项之和为 ． 21. 设函数 ‴ log log ㄴ ，数列 满足 ‴ ‴ ㄴͳͳ ． (1)求数列 的通项公式； (2)判断数列 的单调性． 22. 已知 ‴ ㄴ ，判断 的单调性． 23. 已知数列 的前 项和为 ， ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ 是 与 的等差中项 ． (1)证明数列 为等比数列； (2)求数列 的通项公式； (3)是否存在正整数 ，使不等式 ㄴ 恒成立，若存在，求出 的最大值； 若不存在，请说明理由． 24. 设数列 的通项公式为 ‴ ，且 满足 ㄴ ㄴ ，求实数 的取值范围． 25. 设等差数列 的前 项和为 ，且 ‴ ， ‴ ㄴ ． (1)求数列 的通项公式； (2)设数列 满足： ‴ ㄴ ㄴ ，求数列 的最大项． 26. 设函数 ‴ log log ㄴ ，数列 满足 ‴ （ ）． (1)求 ； (2)判断 的单调性． 27. 已知函数 ‴ ，数列 满足 log ‴ ． (1)求数列 的通项公式； (2)证明：数列 是递减数列． 28. 设 ，数列 满足 ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ㄴ ． (1)求数列 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数 ， ㄴ ㄴ ㄴ ． 29. 已知数列 是等差数列， ‴ ， ‴ ㄴ ，数列 的前 项和是 ，且 ㄴ ‴ ㄴ ． (1)求数列 的通项公式； (2)求证：数列 是等比数列； (3)记 䁒 ‴ ，求证： 䁒ㄴ䁒30. 设函数 ‴ log log ㄴ ，数列 的通项 满足 ‴ ． (1)求数列 的通项公式； (2)判定数列 的单调性． 31. 在数列 中， ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ 䁒 䁒 ㄴ ㄴ ，其中实数 䁒 ． (1)求 的通项公式； (2)若对一切 有 ㄴ ，求 䁒 的取值范围． 32. 设 ‴ log log ㄴ ，数列 的通项满足 ‴ ，问： 有没有最小的项？若有请求出，若没有请说明理由． 33. 已知 是各项为正数的等比数列， ㄴ ‴ ， ‴ ，数列 的前 项和为 ， ‴ log ． (1)求数列 的通项公式； (2)求证：对任意的 ，数列 为递减数列． 34. 设 为数列 的前 项和，数列 满足 ㄴ ‴ ， ‴ ㄴ ，其中 ＜ ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ‴ log ㄴ ， 为数列 的前 项和，若当且仅当 ‴ 时， 取得最小值， 求 的取值范围． 35. 已知 ‴ (1)判断数列 的单调性； (2)求数列 中的最大项． 36. 已知数列 与 满足 ㄴ ‴ ㄴ ， ． (1)若 ‴ ， ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ，求数列 的通项公式； (2)若 ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ，且数列 为公比不为 ㄴ 的等比数列，求 的值，使数列 也是 等比数列； (3)若 ㄴ ‴ ， ‴ ，且 ㄴͳ ，数列 有最大值 与最小值 ，求 的 取值范围． 37. 已知数列 满足： ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ͳ ‴ ㄴ ㄴ ͳ ，数列 满足： ㄴ ， ㄴ ‴ ͳ ，数列 的前 项和为 ． (1)求证：数列 为等比数列； (2)求证：数列 为递增数列； (3)若当且仅当 ‴ 时， 取得最小值，求 ㄴ 的取值范围． 38. 设数列 的前 项和为 ，已知 ㄴ ‴ ㄴ ， ‴ ㄴ ． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足：对任意的正整数 ，都有 ㄴㄴ ‴ ㄴ ㄴ ， 求数列 的最大项． 39. 在数列 中， ㄴ ‴ ㄴ ， ㄴ ‴ ㄴ （ ‴ ㄴͳͳͳ ）． (1)求 ， ； (2)证明： ㄴ ； (3)试用 ㄴ 表示 ‴ㄴ ㄴ ，并证明你的结论． 40. 设数列 的前 项和记为 ，且 ‴ ， ，设函数 ‴ log ㄴ ， 且满足 ‴ ，数列 的前 项和记为 ． (1)求出数列 的通项公式及 ； (2)记 䁒 ‴ ，求 䁒 的最大值．