2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（理）试题（解析版）

2019-2020 学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二 12 月月 考数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得： ，所以 ，故 ，故选 C. 2．若双曲线 的离心率为 2，则 等于( ) A．2 B． C． D．1 【答案】D 【解析】由 ，解得 a=1 或 a=3，参照选项知而应选 D. 3．若实数 ， 满足 ，则 的最大值是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最大值为 . ( )2 2 2 2 13 x y a oa − = > a 3 3 2 2 2 2 2 31 3 23 x y c ab ea a a 可知虚轴 ，而离心率 +− = = = = = x y 2 2 1 1 y x y x y x ≥ −  ≥ − +  ≤ + 3z x y= − 2− 1− 5 3 ( )3,4 5 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由三视图确定几何体的直观图，根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】 根据三视图得到的几何体如上图所示，该几何体是四棱锥，底面积 ，高 ， 四棱锥的体积 ，故选：B． 1 3 1 2 3 2 1 1 1S = × = 1h = 1 1 11 13 3 3V Sh= = × × = 【点睛】 本题主要考查了已知三视图求几何体的体积，属于基础题. 5．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】 当“ ”时，如 ， ，故不能推出“ ” .当“ ”时，必然有 “ ”.故“ ”是“ ”的必要不充分条件. 【点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 6．已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】采用“ ”分段法，找到小于 、在 之间和大于 的数，由此判断出三者的 大小关系. 【详解】 因为 ， ， ，所以 .故选 B. 【点睛】 本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题. 7．某校高一年级从 815 名学生中选取 30 名学生参加庆祝建党 98 周年的大合唱节目， 若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除 5 人，剩下的 810 人再按系 统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 【答案】C 【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】 x a> x a> x a> 1, 1x a= = − x a= x a> x a> x a> x a> x a> 2 2log 3a = 4logb π= 30.6c −= b c a> > c b a> > b a c> > c a b> > 0,1 0 0 ~ 1 1 01 0.6c > = 40 1 log 4b< < = 0a < c b a> > 6 163 1 27 抽样要保证机会均等，故从 名学生中抽取 名，概率为 ，故选 C. 【点睛】 本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题. 8．设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个不同的零点，则称 和 在 上是关联函数， 称 为关联区间，若 与 在 上是关联函数，则 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，得到 在 上有两个不同的零点，故有 ，由此求得 的取值范围. 【详解】 ∵ 与 在 上是“关联函数”，故函数 在 上有两个不同的零点， 故有 ∴ ∴ 故选：B 【点睛】 本题主要考查了函数与方程的应用，属于中档题. 9．已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，则 （ ） A． B． C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列 815 30 30 6 815 163 = ( )f x ( )g x [ ],a b ( ) ( )y f x g x= − [ ],x a b∈ ( )f x ( )g x [ ],a b [ ],a b ( ) 2 3 4f x x x= − + ( ) 2g x x m= + [ ]0,3 m 9 ,4  − +∞   9 , 24  − −   ( ], 2−∞ − [ ]1,0− ( ) 2 5 4h x x x m= − + − [ ]0,3 ( ) ( ) 0 0 3 0 5 02 h h h   ≥ ≥    <    m ( ) 2 3 4f x x x= − + ( ) 2g x x m= + [ ]0,3 ( ) ( ) ( ) 2 5 4y h x f x g x x x m= = − = − + − [ ]0,3 ( ) ( ) 0 0 3 0 5 02 h h h   ≥ ≥    <    4 0 2 0 25 25 4 04 2 m m m   − ≥ − − ≥   − + − < 9 24 m− < ≤ − { }na 1 1a = * 1 2 ( )n n na a n N+ ⋅ = ∈ nS { }na n 2018 2018 2a = 1009 2018 3 2 3S = ⋅ − 2 1{ }na − { }na 【答案】B 【解析】分析：由 ， 可知数列 隔项成等比，再结合等 比的有关性质即可作出判断. 详解：数列 满足 ， ， 当 时， 两式作商可得： ， ∴数列 的奇数项 ，成等比， 偶数项 ，成等比， 对于 A 来说， ，错误； 对于 B 来说， ，正确； 对于 C 来说，数列 是等比数列 ，错误； 对于 D 来说，数列 是等比数列，错误， 故选：B 点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法， 取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与 原数列首项的关系. 10．已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ， 椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，若 ，则 的最小值为 （ ） A． B． C．8 D．6 【答案】C 【解析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简 ，结合基本不等式 即可求解. 1 1a = ( )* 1 2n n na a n N+ ⋅ = ∈ { }na { }na 1 1a = ( )* 1 2n n na a n N+ ⋅ = ∈ n 2≥ 1 1 2n n na a − −⋅ = 1 1 2n n a a + − = { }na 1 3 5a a a ， ， ， 2 4 6a a a ， ， ， 2018 1 1008 10092 2018 2 2 2 2 2a a −= × = × = ( ) ( )2018 1 3 2017 2 4 2018S a a a a a a = + + + + + + + ( ) ( )1009 1009 10091 1 2 2 1 2 3 2 31 2 1 2 × − × − = + = ⋅ −− − { }2 1na − { }na 不 1F 2F P 2 1PF PF> 1e 2e 1 1 2PF F F= 2 1 3 3 e e + 6 2 3+ 6 2 2+ 2 1 3 3 e e + 【详解】 设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，半焦距为 ， 则 ， ，设 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得： ， 则 当且仅当 时，取等号. 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 11．设棱锥 的底面是正方形，且 , 的面积为 ，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球 是与平面 、平面 、平面 都相切的球，然后找出球心所 在的三角形，设 ，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大 值． 【详解】 解： ， ， 平面 ， 由此，面 面 ． 记 是 的中点，从而 ． 平面 ， ． 设球 是与平面 、平面 、平面 都相切的球． a a′ c 1 ce a = 2 ce a = ′ 2PF m= 1 2 2 2 mPF PF a a c+ = ⇒ = + 2 1 2 2 mPF PF a a c′ ′− = ⇒ = − 2 1 3 3 e e + 3 33 2 263 3 32 2 m mc ca c c c m mc a c cc c    + −      = + = + = + +′    − −       3 26 2 8 3 2 m c c mc c  −  ≥ + ⋅ = −   7 3a c= M ABCD− ,MA MD MA AB= ⊥ AMD△ 1 2 3− 2 1− 21 2 − 31 3 − O MAD AC MBC AD EF a= = AB AD⊥ AB MA⊥ AB∴ ⊥ MAD MAD ⊥ ABCD E AD ME AD⊥ ME∴ ⊥ ABCD ME EF⊥ O MAD ABCD MBC 不妨设 平面 ，于是 是 的内心． 设球 的半径为 ，则 设 ， 所以 ， 所以 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 当 时，满足条件的最大半径为 . 【点睛】 涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间 问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内 切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中 档题． 12．定义在 上的函数 对任意 都有 ，且函数 的 图象关于 成中心对称，若 满足不等式 ，则当 时， 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：由已知条件知函数 为奇函数且在 上为减函数,由 有 ,所以 ， ,若以 为横坐 标, 为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式 表示的 平面区域,即 及其内部, ,令 ,则 ,求出 ,所以 ,解得 ,∴ 的取值范围是 ,选 D. O∈ MEF O MEF O r 2 MEFSr EF EM MF = + + AD EF a= = 1AMDS =  2ME a ∴ = 2 2 2MF a a  = +    2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 r a aa a = ≤ = − + + + +    2a a = 2a = ∴ 2AD ME= = 2 1− 【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划. 【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属 于中档题. 利用已知条件得出函数 是 上的减函数,由函数 的图象关于 成中心对称，根据图象的平移,得出 的图象关于原点成中心对称,所以 为奇函数, 解不等式 ,得出 ,画出不等式组表示的平面区域, , 则 ,通过图形求关于 的一次函数的斜率得出 的范围,从而求出 的范围. 二、填空题 13．已知 x，y 满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则 的最大值为__________ 【答案】 【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k 的值即 可． 【详解】 x，y 满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为 1， 设 ，即 kx﹣y＝0，要求 x，y 满足方程（x﹣2）2+y2＝1， 的最大值， 就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即： ， 解得 k ，所求 的最大值为： ． y x 3 3 y kx = y x 2 2 1 1 k k = + 3 3 = ± y x 3 3 故答案为 ． 【点睛】 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式 的几何意义，考查计算能 力． 14．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为 __★__ 【答案】 【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在 轴上，可得 k 的不等式组，解不等式组即可得 k 的取值范围。 【详解】 焦点在 轴上，且满足分母大于 0，所以 解得 k 的范围为 即 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程，焦点位置对椭圆方程的影响，属于基础题。 15．如图，在边长为 2 正方体 中， 为 的中点，点 在正方体 表面上移动，且满足 ，则点 和满足条件的所有点 构成的图形的面积是 _______. 【答案】 . 【解析】点 满足 ，且在正方体的表面上，所以点 只能在面 、 3 3 y x 1 1 1 1ABCD A B C D− E BC P 1 1B P D E⊥ 1B P 9 2 P 1 1B P D E⊥ P ABCD 面 、面 、面 内。 【详解】 取 ， 的中点分别为 ，连结 ， 由于 ，所以 四点共面，且四边形 为梯形， 因为 ，所以 面 ， 因为点 在正方体表面上移动，所以点 的运动轨迹为梯形 ，如图所示： 因为正方体 的边长为 2，所以 ， 所以梯形 为等腰梯形，所以 。 【点睛】 本题以动点问题为背景，考查空间中线面、线线位置关系、面积的求解运算，解题的关 键在于确定点 的运动轨迹。 16．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 为 6 米（如图所示），路面设计 是双向车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米，那么隧道设 计的拱宽 至少应是__________ 米． 【答案】32 【解析】设椭圆方程为 ，当点 在椭圆上时， ， 1 1BCC B 1 1CC D D 1 1ABB A 1CC CD ,N M 1 1, , ,AM MN B N AB 1 / /AB MN 1AB NM 1AB NM 1 1, ,D E MN D E AM MN AM M⊥ ⊥ ∩ = 1D E ⊥ 1AB NM P P 1AB NM 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 12, 2 2, 5NM AB AM B N= = = = 1AB NM 1 1 ( )2S MN AB= + 1 9 9( 2 2 2)2 2 2h⋅ = + = P h 8 7 d 2 2 2 136 x y a + = ( )4 7,4.5 2 2 9 16 7 2 136a   ×  + = 解得 车辆高度不超过 米， ，即拱宽至少 ，故答案 为 . 三、解答题 17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .且满足 . （Ⅰ)求角 ； （Ⅱ)若 的面积为 ， ，求边 . 【答案】（Ⅰ) ；（Ⅱ) 【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已 知等式可得 ，结合范围 ，可得 ．（Ⅱ）由已知利用三角形 的面积公式可得： ，进而根据余弦定理可得 的值． 【详解】 （Ⅰ)由 得： ∴ ∴ 又 ∴ ，即 .又 ，∴ （Ⅱ)∵ 的面积为 ，∴ ∴ 又 ， ∴ ，即 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形 的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想． 16,a = 4.5 16, 2 32a d a∴ ≥ = ≥ 32 32 ABC△ A B C a b c 3cos sin3a b C c B= + B ABC△ 5 3 4 3 3a c+ = b 3B π= 2 3b = tan 3B = (0, )B π∈ 3B π= 5ac = b 3cos sin3a b C c B= + 3sin sin cos sin sin3A B C C B= + 3sin( ) sin cos cos sin sin cos sin sin3B C B C B C B C C B+ = + = + 3cos sin sin sin3B C C B= sin 0C > 3cos sin3B B= tan 3B = ( )0,B π∈ 3B π= ABC△ 5 3 4 1 1 3 5 3sin sin2 2 3 4 4ac B ac ac π= = = 5ac = 2 2 2 2 2( ) 2cos 2 2 a c b a c ac bB ac ac + − + − −= = 3 3a c+ = 227 10 1 10 2 b− − = 2 3b = 18．已知数列 为等差数列， 为 的前 n 项和， （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，其前项和为 ，求证： 【答案】(1) (2)见证明 【解析】（1）先根据已知求出 ，即得数列 的通项公式；（2）先利用裂项相 消求出 ，再证明 . 【详解】 （1）设公差为 d，则由 得， 解得 . 所以 . （2） 易知 随着 n 的增大而增大，所以 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力. 19．某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取 50 名男生测量身高，发现 被测男生的身高全部在 160cm 到 184cm 之间，将测量结果按如下方式分成六组：第 1 组 ，第 2 组 ，...，第 6 组 ，如图是按上述分组得到的 频率分布直方图，以频率近似概率. { }na nS { }na 2 5 8 52 , 25a a a S+ = = { }na 1 4 n n n c a a + = ⋅ nT 4 3nT  2 1na n= − 1 1 2 a d =  = { }na 12 1 2 1nT n  = − +  4 3nT  2 5 8 52 , 25a a a S+ = = ( )1 1 2 3 5 45 252 a d d da  + = × ×+ = 1 1 2 a d =  = 2 1na n= − 1 4 4 1 12(2 1)(2 1) 2 1 2 1n n n c a a n n n n+  = = = ⋅ − ⋅ + − − +  1 1 1 1 1 12 1 2 13 3 5 2 1 2 1 2 1nT n n n    = − + − +…+ − = −   − + +    nT 1 1 42 1 3 3nT T  ≥ = − =   )160,164 )164,168 [ ]180,184 （1）若学校要从中选 1 名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第 5 组或第 6 组 的概率； （2）现在从第 5 与第 6 组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有 1 名男生来自第 5 组的概率. 【答案】（1）0.12；（2） 【解析】（1）由直方图可得，被选取的男生恰好在第 5 组或第 6 组的概率 . （2）先求出第 5 组有 4 人，第 6 组有 2，分别编号后利用列举法知，从第 5 与第 6 组 男生中选取两名同学担任守门员共有 15 种情况，其中选取的两人中最多有,1 名男生来 自第 5 组的情况有 9 种，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】 （1）被选取的男生恰好在第 5 组或第 6 组的概率 . （2）第 5 组有 （人），记为 a，b，c，d，同理第 6 组有 ＝2（人） 记为 A，B，所有的情况为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 15 种，选 取的两人中最多有 1 名男生来自第 5 组的有 、 、 、 、 、 、 、 、 共 9 种，所以所求概率为 . 【点睛】 本题考查频率分布直方图，掌握频率分布直方图中每个小矩形面积就是该组频率是解题 基础．本题属于基础题． 20．在四棱锥 中， ， ． 为 的中点． 3 5 ( )0.02 0.01 4 0.12P = + × = ( )0.02 0.01 4 0.12P = + × = 50 0.08 4× = 50 0.04× ( ),a b ( ),a c ( ),a d ( ),a A ( ),a B ( ),b c ( ),b d ( ),b A ( ),b B ( ),c d ( ),c A ( ),c B ( ),d A ( ),d B ( ),A B ( ),a A ( ),a B ( ),b A ( ),b B ( ),c A ( ),c B ( ),d A ( ),d B ( ),A B 9 3 15 5P = = P ABCD− 2 3BC BD DC= = = 2AD AB PD PB= = = = M CD （1）若点 为 的中点，求证： 平面 ； （2）当平面 平面 时，线段 上是否存在一点 ，使得平面 与 平面 所成锐二面角的大小为 ？若存在，求出点 的位置，若不存在，请说明 理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， ． 【解析】(1)利用线面平行的判定定理证明 平面 ， 平面 ，由面 面平行的判定定理得到平面 平面 ，再由面面平行的性质即可得到 平 面 ； (2) 以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，利用向量法求解即可. 【详解】 证明：（1）连接 ， ．由已知得， 为等边三角形， ． ∵ ， ，由余弦定理可得： ∴ ∴ ，∴ 又∵ 平面 ， 平面 ∴ 平面 ∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ． 又∵ 平面 ， 平面 ∴ 平面 ． ∵ ， 平面 ∴平面 平面 ． ∵ 平面 ，∴ 平面 ． E PC BE  PAD PBD ⊥ ABCD PC E EMB ABCD 6 π E 2 5 CE CP = BM∥ PAD EM  PAD BEM  PAD BE  PAD O OC ,OB OP , ,x y z O xyz− EM BM BCD BM CD⊥ 2AD AB= = 2 3BD = ( )2 2 22 3 2 2 3cos 22 2 2 3 ADB + − ∠ = = × × 30ADB ABD∠ = ∠ = ° 90ADC∠ = ° BM AD BM ⊄ PAD AD ⊂ PAD BM∥ PAD E PC M CD EM PD EM ⊄ PAD PD ⊂ PAD EM  PAD EM BM M= ,EM BM ⊂ BEM BEM  PAD BE ⊂ BEM BE  PAD （2）取 中点为 ，连接 , 因为 ， ，所以 ， ． ∵平面 平面 ，且交线为 ， ， 面 ∴ 平面 ． ， ，以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴，建立空间直 角坐标系 ． ， ， ， ， ． 设 ， 则可得 ∵ 平面 ∴平面 的一个法向量为 ． 设平面 的法向量为 ． ∵ ， 由 得 取 得 设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 BD O CO PO BC DC= PD PB= CO BD⊥ PO BD⊥ PBD ⊥ ABCD BD PO BD⊥ PO ⊂ PBD PO ⊥ ABCD 1PO = 3CO = O OC ,OB OP , ,x y z O xyz− ( )0, 3,0D − ( )3,0,0C ( )0,0,1P ( )0, 3,0B 3 3, ,02 2M  −    CE CPλ=  ( )0 1λ≤ ≤ ( )3 3 ,0,E λ λ− PO ⊥ ABCD ABCD ( )1 0,0,1n OP= =  EMB ( )2 , ,n x y z= 3 3 3, ,02 2BM  = −     ( )3 3 , 3,BE λ λ= − − 2 2 0 0 n BM n BE  ⋅ = ⋅ =     ( ) 3 3 3 02 2 3 3 3 0 x y x y zλ λ  − =  − − + = 3x = 2 2 33,1,3 3n λ  = −     EMB ABCD θ 化简得： ，解得 (舍)， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了线面平行的证明以及已知面面角利用空间向量求点的位置，属于中档题. 21．已知 为圆 ： 上的动点，过点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别 为 、 ，连接 延长至点 ，使得 ，记点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)直线 ： 与圆 相切，直线 ： 与曲线 相切，求 的取值 范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）设出 ， ，根据向量关系 得到 坐标之间 的关系，然后由 在圆上求解出曲线 的方程； （2）直线与圆相切得到圆心到直线的距离为半径，据此求解出等量关系；再利用直线 与椭圆相切求解出另一个等量关系，两等式联立得到 的表示，并求解出取值范围. 【详解】 (1)设 ， ，则 ， ，且 ， 因为 ，即 ，∴ ，代入 ，得 ，故曲线 的方程为 . (2)∵ 与圆 相切，∴圆心 到 的距离 ，得 ，① 1 2 2 1 2 2 33 3 3cos 22 33 1 3 3 n n n n λθ λ −⋅ = = = ×  + + −        25 12 4 0λ λ− + = 2λ = 2 5 λ = 2 5 CE CP = M O 2 2 1x y+ = M x y A B BA P 2AP BA=  P C C 1l y kx m= + O 2l y kx n= + C 2 2 m n 2 2 19 4 x y+ = 1 1,9 4      ( )0 0,M x y ( ),P x y 2AP BA=  ,M P ( )0 0,M x y C 2 2 m n ( , )P x y 0 0( , )M x y 0( ,0)A x 0(0, )B y 2 2 0 0 1x y+ = 2AP BA=  0 0 0( , ) 2( , )x x y x y− = − 0 0 3 2 xx yy  =  = − 2 2 0 0 1x y+ = 2 2 19 4 x y+ = C 2 2 19 4 x y+ = 1l O O 1l 1 2 | | 1 1 md k = = + 2 2 1m k= + 联立 ，消去 整理得 ，由 ，得 ，② 由①②得 ， ，故 . 【点睛】 （1）直线与圆相切问题的两种常用处理方法：①利用圆心到直线距离等于半径；②联 立直线与圆得到一元二次方程，令判别式 ； （2）求解轨迹方程的两种思路：①根据圆锥曲线的定义完成轨迹方程的求解；②通过 已知条件，用未知量表示已知量，再将未知量代入到已知方程中完成求解. 22．已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上，且 的面积的最大值为 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知直线 与椭圆 交于不同的两点 ，若 在轴上存在 点 得 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当点 P 在上下顶点时，三角形 的面积最大，再根据离心率求得 a、 b、c 的值，可得方程； （2）联立方程，解方程组，再由题 在轴上存在点 得 ，转化为 ，可得直线的斜率乘积为-1，再利用基本不等式可得取值范围. 【详解】 由题，当点 P 在上下顶点时，三角形 的面积最大，可得 ， 2 2 19 4 y kx n x y = + + = y 2 2 2(4 9 ) 18 9 36 0k x knx n+ + + − = 0∆ = 2 29 4n k= + 2 2 2 2 2 1 1 5 1 9 4 9 9 9 4 m k n k k += = + ⋅+ + 2 2 1 19 4 4 0 9 4 4k k + ≥ ⇒ < ≤+ 2 2 1 1( , ]9 4 m n ∈ 0∆ = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F 3 3 P C 1 2PF F∆ 2 C ( ): 1 0l y kx k= + > C ,M N x ( ),0G m GM GN= m 2 2 13 2 x y+ = 6 ,012  −    1 2PF F∆ x ( ),0G m GM GN= GQ MN⊥ 1 2PF F∆ 2bc = 即可得 ，解得 椭圆 的方程为 . （2）由 消去 整理 得， 且 设 ，线段 的中点为 则 . 在 轴上存在 点，使得 ， ，即 ， 因为 ，当且仅当 且 ，即 时等号成立. ，故 ， 实数 的取值范围为 . 【点睛】 本题考查了圆锥曲线的综合，熟悉椭圆的性质以及直线与椭圆相交的知识是解题的关键， 考验了学生的计算能力和综合能力，属于较难题. 直线与圆锥曲线解题步骤： 2 2 2 2 3 3 bc c a a b c  =   =  = + 3 2 1 a b c  =  =  = ∴ C 2 2 13 2 x y+ = 2 2 1 13 2 y kx x y = + + = y 2 2(2 3 ) 6 3 0k x kx+ + − = ( ) ( )2 2 236 12 2 3 24 1 3 0k k k+ + = + > ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y MN ( )0 0,Q x y 1 2 1 22 2 6 3,2 3 2 3 kx x x xk k − −+ = =+ + 1 2 0 2 3 ,2 2 3 x x kx k + −∴ = = + 0 0 2 21 2 3y kx k = + = +  x ( ),0G m | | | |,GM GN GQ MN= ∴ ⊥ 0 0 1GQ MN yk k kx m ∴ ⋅ = ⋅ = −− 2 2 2 2 3 13 2 3 k kk mk + ⋅ = −− −+ 2 1 22 3 3 km k kk ∴− = =+ + 0k > 1 1 60 2 1223 2 3k kk k ∴ < ≤ = + ⋅ 2 3kk = 0k > 6 3k = 60 12m∴ < − ≤ 6 012 m− ≤ < ∴ m 6 ,012  −    (1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）； （2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算.