数学文卷·2019届四川成都外国语学校高二下学期入学考试（2018-03）

数学文卷·2019届四川成都外国语学校高二下学期入学考试（2018-03）

成都外国语学校高二下期入学考试数学试题（文）‎ ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎2．已知命题p: ；命题q：若a＞b，则a2>b2，下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即均是真命题，故选B.‎ ‎3．若，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎4．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】前6步的执行结果如下：；；；；；；观察可知，的值以3为周期循环出现，所以判断条件为？时，符合题意．‎ ‎5．函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B、D，又，故选A．‎ ‎6若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．+ D．+2‎ 试题分析：圆即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以M（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得 圆心在直线ax﹣by+2=0上，得到a+2b=2，故 =+++1，利用基本不等式求得式子的最小值．‎ 解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以M（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，‎ 由题意可得 圆心在直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上，故﹣1a﹣2b+2=0，‎ 即 a+2b=2，∴=+=+++1≥+2=，‎ 当且仅当 时，等号成立，故选 C．‎ ‎7．已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（　　）‎ A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由目标函数，得，如图所示，当直线 过点B时， 最小，把B 代入，解得 ，故选C.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是( )‎ A． B． C．8 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱锥，侧面是底边长为2，高为2的等腰三角形，所以该几何体的侧面积为 ‎．‎ ‎9．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个 A．2 B．4 C．6 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】若在上，；‎ 若在上，；‎ 若在上，；‎ 同理，在上时也有；‎ 若在上，；‎ 同理，在上时也有；‎ 所以，综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立．‎ ‎10.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为，，则的最小值为（ ）‎ A． B．2 C．4 D．‎ ‎【答案】A 与圆相切，，．‎ 由，得，‎ ‎，‎ ‎，，故的取值范围为．‎ 由于，，‎ ‎，当时，取最小值．‎ ‎12．已知定义在R的函数对任意的x满足，当， ．函数，若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】因为，故是周期函数且周期为，如图的图像与的图像在有两个不同的交点，故的图像与在有4个不同的交点，故 ，解的或，选C．‎ ‎13．设是数列的前项和，，且，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，解得；‎ 当时，，整理得．‎ 因为，所以，即，‎ 所以是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，即．‎ ‎14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高（厘米）和体重（公斤）数据如下表；‎ x ‎165‎ ‎160‎ ‎175‎ ‎155‎ ‎170‎ y ‎58‎ ‎52‎ ‎62‎ ‎43‎ 根据上表可得回归直线方程为，则表格中空白处的值为________．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】根据回归直线经过样本中心可得，表格中空白处的值为60．‎ ‎15．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，，，过作准线的垂线，垂足是 ‎，由对称性，不妨令在第一象限，，‎ 问题等价于求的最小值，‎ 而，当且仅当时等号成立，‎ 所以，即：．‎ ‎16 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿‎ 解  因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得， 。‎ ‎17．已知函数.‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)设的内角的对边分别为，且，若，求 的值．‎ 试题解析：‎ ‎(1) .‎ 由，得 ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由，得， ，‎ ‎.‎ 又,由正弦定理得①;‎ 由余弦定理得，即，②由①②解得. ‎ ‎18．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用表示．（把频率当作概率）．‎ ‎（1）假设，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？‎ ‎（2）假设数字的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．‎ ‎（2）由，得，∴，‎ 又为整数，∴，‎ 又的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为．‎ ‎19．正项数列满足， ，数列为等差数列， ， .‎ ‎（1）求证： 是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题可得，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 又，∴ 数列是首项为，公比为3的等比数列． ∴，‎ ‎∴ ．∴ ，‎ 由题意得，解得∴．‎ ‎（2）由（1）得， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 令 ①，‎ 则②，‎ ‎①②得 ‎ ．‎ 所以．‎ ‎∴‎ ‎20．如图，在四棱锥中， ，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若， ，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ 试题解析：（1）由已知，得， ．‎ 由于，故，从而平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知， 面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得， ．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而， ， ．‎ 可得四棱锥的侧面积为 ‎ ．‎ ‎21．已知函数为奇函数, 为常数. ‎ ‎（1）确定的值； ‎ ‎（2）求证： 是上的增函数； ‎ ‎（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵函数是奇函数， ，即 ∴，‎ 整理得， ∴，解得，‎ 当时， ，不合题意舍去，∴。‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 设，‎ 则，‎ ‎ ∵,∴∴,∴,‎ ‎∴，即.∴是上的增函数. ‎ ‎（3）依题意得在上恒成立，‎ 设， ，‎ 由（2）知函数在上单调递增，‎ ‎∴当，所以. ‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎22如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ (2)不存在符合题设条件的直线.‎ ①若直线垂直于轴,即直线的斜率不存在,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或,‎ 当时,易知所以,此时.[来源:学科网Z 当时,同理可得.‎