2014漳州3月份质检理数试卷

2014漳州3月份质检理数试卷

‎2014年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分．考试时间120分钟. ‎ 注意事项：‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必需将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.‎ ‎2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，… ，xn的标准差 锥体体积公式 s= V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ V=Sh ， ‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第I卷 （选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置．‎ ‎1. 已知i是虚数单位，则等于 A.－1＋i B.－1－i C.1＋i D.1－i ‎2. 展开式中的常数项为 A．6 B．‎8 ‎C．10 D．12‎ ‎3. 已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为1,其直观图 和正(主)视图如图所示,则它的左(侧)视图的面积是 ‎ A． B．‎1 C． D． ‎ ‎4．已知均为单位向量，它们的夹角为，则等于 A．1 B． C． D．2‎ ‎5．执行如图所示的程序框图,如果输入，则输出的的值为 A．7 B．9 ‎ ‎ C．11 D．13‎ ‎6. 数列的前项和为，若，则等于 A． B． C． D．‎ ‎7. 已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是 A． B． C． D．‎ ‎8. 已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是 A．(1－，2) B．(0，2) C．(－1，2) D．(0，1＋)‎ ‎9. 已知为上的可导函数,且,均有,则以下判断正确的是 A． B． ‎ C． D．大小无法确定 ‎10. 已 知F1 ,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1的直线与双曲线的左、右两支分别 交于A、B两点.若ΔABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为 A．2 B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11．=_________.‎ ‎12．等差数列中, , 数列是等比数列,且,则的值为 ．‎ ‎13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，则满足|x|≤ 3的概率为 ．‎ ‎14. 过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为 ．‎ ‎15. 定义全集U的非空子集P的特征函数表示集合P在全集U的补集.已知均为全集U的非空子集，给出下列命题：‎ ‎①若，则对于任意；‎ ‎②对于任意；‎ ‎③对于任意；‎ ‎④对于任意．‎ 则正确命题的序号为 ． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80‎ 分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ ‎ 已知向量，函数．‎ ‎ （I）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎ （II）已知中,角的对边分别为，若，，‎ ‎ 求的面积.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ ‎ 某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为 ‎ 茎，小数点后的一位数字为叶)：‎ ‎ （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取 ‎ 3人，至多有1人是“极幸福”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记 ‎ 表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎ 在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．‎ ‎ (I)求证：BC平面PBD：‎ ‎ (II)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；‎ ‎ (Ⅲ)设E为侧棱PC上异于端点的一点，，试确定的 ‎ 值，使得二面角E－BD－P的余弦值为．‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.‎ ‎(I)求抛物线C的方程；‎ ‎(II)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?‎ 若是,求出m+n的值；否则,说明理由.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 巳知函数，，其中.‎ ‎(Ⅰ)若是函数的极值点，求的值；‎ ‎(II)若在区间上单调递增，求的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)记，求证：.‎ ‎21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 ‎ 已知矩阵 ．‎ ‎(Ⅰ) 求的逆矩阵；‎ ‎(Ⅱ)求矩阵的特征值、和对应的特征向量、．‎ ‎(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为 ‎．‎ ‎(Ⅰ)已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；‎ ‎(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．‎ ‎(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 已知且，若恒成立，‎ ‎(Ⅰ)求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2014漳州市高中毕业班质量检查 理科数学试卷参考答案 一、 选择题： 1-5 D, A , D , C, B , 6-10 D , C, A , B , B.‎ 二、 填空题：11.9； 12.16； 13. ； 14.2； 15. .①②③.‎ 三、 解答题：‎ ‎16.解：（I）依题意，得 ‎　　　　　　　 ‎ ‎　　　　　　　 ………………………………………………3分 ‎　　　∴的最小正周期为， ………………………………………………4分 由得：‎ 即的递增区间是． ………………………………6分 ‎（II）由得，，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴， ………………………………………………8分 ‎∵，‎ ‎∴根据余弦定理得，,‎ ‎ ∴， ………………………………………………11分 ‎∴………………………………………13分 ‎17.解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ………………………………………2分 ‎ （Ⅱ）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，‎ ‎ 则 ； ………………………………6分 ‎ （Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3. ………………………………………7分 ‎ ；； …………………9分 ‎ ；. …………………11分 ‎ 的分布列为：‎ ‎ …………………12分 所以. ……………………13分 ‎ 另解：的可能取值为0，1，2，3, ‎ ‎ 则，因此. …………………9分 ‎ 有；；‎ ‎ ；. …………………11分 ‎ 的分布列为：‎ ‎ …………………12分 ‎ 所以=． ……………………13分 ‎１８．解：（Ⅰ）证明：因为侧面⊥底面，⊥，‎ ‎ 所以⊥底面，所以⊥.‎ ‎ 又因为＝，即⊥，‎ ‎ 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎ 则，，，，‎ ‎ 所以 ‎ 所以，所以。‎ ‎ 由⊥底面，可得,‎ ‎ 又因为，所以⊥平面. ……………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为，‎ ‎ 所以 ‎ 设直线AP与平面PDB所成角为，则 ……………………7分 ‎ (Ⅲ)因为，又，设 ‎ 则 所以，. ………………………8分 设平面的法向量为，‎ 因为，由，，‎ 得，……………9分 令，则可得平面的一个法向量为……………10分 所以，……………………………11分 解得或， ………………………12分 又由题意知，故. ………………………13分 ‎１９．解:(Ⅰ)∵椭圆的右焦点，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴抛物线C的方程为． ……………………………3分 ‎(II)由已知得直线的斜率一定存在，所以设：，与y轴交于，‎ 设直线交抛物线于， ………………………………………4分 由 ………………………………………5分 ‎∴， ………………7分 又由 ‎ 即m=,同理, ………………………………………10分 ‎∴ ………………………………12分 所以,对任意的直线，m+ n为定值－1 ………………………………13分 ‎２０．解：(Ⅰ)由，‎ 得，……………………………1分 ‎ ∵是函数的极值点，‎ ‎ ∴，解得， ………………………………2分 ‎ 经检验为函数的极值点，所以． ………………………………3分 ‎ (II)∵在区间上单调递增，‎ ‎ ∴在区间上恒成立，………………………4分 ‎ ∴对区间恒成立， ………………………………5分 ‎ 令，则 ‎ 当时，，有， ………………7分 ‎ ∴的取值范围为． ………………………………8分 ‎(Ⅲ) 解法1：‎ ‎ ，……………………………9分 ‎ 令，‎ ‎ 则 ‎ …………………………11分 ‎ 令，则，‎ 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ 则，则， ………………………………13分 故． ………………………………14分 ‎ 解法2：‎ ‎ ………………………………9分 ‎ 则表示上一点与直线上一点距离的平方．‎ ‎ 由得，让，解得， ‎ ‎∴直线与的图象相切于点，………………………12分 ‎ （另解：令，则，‎ ‎ 可得在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 故，则，‎ ‎ 直线与的图象相切于点），‎ ‎ 点（1，0）到直线的距离为，‎ ‎ 则．……………………………14分 ‎21(1)解：(Ⅰ) , ……………………………1分 ‎∴. ……………………………2分 ‎(Ⅱ) 矩阵的特征多项式为 ， ………………3分 令，得, ……………………………5分 当时，得,当时，得. …………………………7分 ‎21(2)解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标得，‎ ‎ 满足方程，点在直线上.……………2分 ‎（II）解法一、因为点是曲线上的点，故可设点的坐标为，‎ ‎ 所以点到直线的距离 ‎ ……………5分 ‎ 所以当时，取得最小值 ……………7分 解法二、曲线的普通方程为：， ……………1分 ‎ 平移直线到使之与曲线相切，设，‎ ‎ 由 得：，即：…2分 ‎ 由，解得：，……………5分 ‎ 曲线上的点到距离的最小值.…………7分 ‎ ‎21(3)解：（Ⅰ），‎ ‎ ，（当且仅当，即时取等号）‎ ‎ 又∵恒成立，∴.‎ ‎ 故的最小值为3. …………………………4分 ‎ （II）要使恒成立，须且只须.‎ ‎ ∴或或 ‎ ∴或. …………………7分