数学卷·2018届河北省定州中学高三（高补班）上学期期中考试（2017

数学卷·2018届河北省定州中学高三（高补班）上学期期中考试（2017

河北定州中学2017-2018学年第一学期数学期中考试试题 一、选择题 ‎1．设向量满足， ， ，则的最大值等于（ ）‎ A. 4 B. ‎2 C. D. 1‎ ‎2．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时， 满足， ，则在上的零点个数为（ ）‎ A. 5 B. ‎3 C. 1或3 D. 1‎ ‎3．已知等差数列的公差，且成等差数列，若， 为数列的前项和，则 的最小值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 C. D. ‎ ‎4．已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．是双曲线左支上一点，直线是双曲线的一条渐近线， 在上的射影为是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知函数在上的最大值为，在上的最小值为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．．已知向量，，若，则的值是（ ）‎ A. B. ‎0 C. 1 D. 2‎ ‎8．己知数列与的前项和分别为、， ，‎ 且，若恒成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）‎ A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎12．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于 点，则的取值范围是__________．（用表示）‎ ‎14．已知圆与曲线有唯一的公共点，且公共点的横坐标为，‎ 若，则__________．‎ ‎15．已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.‎ ‎16．已知圆的弦长为，若线段是圆的直径，则____；‎ 若点为圆上的动点，则的取值范围是_____．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 为常数， .‎ ‎（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若，求证：直线过定点.‎ ‎19．已知函数，且．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）‎ ‎20．在平面直角坐标系中， 是抛物线的焦点， 是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围.‎ 参考答案 ADBAC DABCC ‎ ‎11．D ‎12．B ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16． 2 ‎ ‎17．（1）；（2）的取值范围是 ‎（1），即，又所以，此时，所以上递减，上递增，‎ 又，所以 ‎（2）‎ 因为，所以，即 所以在上单调递增，所以 问题等价于对任意，不等式成立 设，‎ 则 当时，，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.‎ ‎18．（1）.（2）见解析 ‎（1）设，联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出点的坐标和所在直线方程，求点 的坐标，利用基本不等式即可求得 的最小值； （2）由（1）知所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点的坐标，并代入 ，得到 ，因此得证直线过定点；‎ 试题解析：（1）设直线 的方程为，由题意， ，‎ 由方程组，得，‎ 由题意，所以，‎ 设，‎ 由根与系数的关系得，所以，‎ 由于为线段的中点，因此，‎ 此时，所以所在直线的方程为，‎ 又由题意知，令，得，即，‎ 所以，当且仅当时上式等号成立，‎ 此时由得，因此当且时， 取最小值.‎ ‎（2）证明：由（1）知所在直线的方程为， ‎ 将其代入椭圆的方程，并由，解得，‎ 又，‎ 由距离公式及得 ‎， ，‎ ‎，‎ 由，得，‎ 因此直线的方程为，所以直线恒过定点.‎ ‎19．(1) ;(2)详见解析;(3) ‎ ‎（Ⅰ）当时，由题设知. ‎ 因为， ‎ 所以， . ‎ 所以在处的切线方程为. ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以 . ‎ 当时，定义域为 . ‎ 且 ‎ 故的单调递减区间为 ……5分 当时，定义域为. 当变化时， ， ：‎ x ‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ 单调减 极小值 单调增 极大值 单调减 故的单调递减区间为， ，‎ 单调递增区间为． ‎ 综上所述，‎ 当时， 的单调递减区间为；‎ 当时，故的单调递减区间为， ，‎ 单调递增区间为． ‎ ‎（Ⅲ） ‎ ‎20．（1）（2）‎ 根据题意，点在的垂直平分线上，‎ 所以点到准线的距离为，‎ 所以.‎ ‎（2）设，‎ 设直线代入到中得，‎ 所以，‎ 又中点，‎ 所以直线的垂直平分线的方程为，‎ 可得.‎