数学理卷·2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试（2017

数学理卷·2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试（2017

‎2017届高三毕业班第一次模拟考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合的子集个数为（ ）‎ A．8 B．7 C．6 D．4 ‎ ‎2.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B．1 C． D．2 ‎ ‎3.已知数列的前项和，则数列的前10项和等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）‎ A．866 B．500 C．300 D．134 ‎ ‎5.已知圆的一条切线与双曲线：，有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知点的坐标满足不等式组为直线上任一点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知且，如图所示的程序框图的输出值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.函数的图象大致是（ ）‎ ‎9.如图，已知长方体的体积为6，的正切值为，当的值最小时，长方体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数（，）得图象在轴上的截距为1，且关于直线对称，若对于任意的，都有，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A．8 B．10 C．12 D．14 ‎ ‎12.已知定义在上的函数满足，且时，则函数的零点个数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知平面向量，，且，则 ．‎ ‎14.已知，则的展开式中的系数为 ．‎ ‎15.已知抛物线：（）的焦点也是椭圆：（）的一个焦点，点，分别为曲线，上的点，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，在圆内接四边形中，，，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求四边形周长的取值范围．‎ ‎18. 如图，已知四边形和均为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，以为直径的圆经过点，，的中点为，的中点为，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．　‎ ‎19. 2016年时红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神．首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．‎ 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 ‎45‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎15‎ 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．‎ ‎（Ⅰ）求此活动中各公园幸运之星的人数；‎ ‎（Ⅱ）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；‎ ‎（Ⅲ）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎20. 已知椭圆：的上下两个焦点分别为，，过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，的面积为，椭圆的离心力为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知为坐标原点，直线：与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．‎ ‎21. 已知函数与的图象在点处有相同的切线．‎ ‎（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设函数，，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），射线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积．‎ ‎2017届高三毕业班第一次模拟考试数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.5 14. 15.2 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，又，∴．‎ ‎（Ⅱ）根据题意，，由余弦定理，‎ ‎，‎ 又 ‎，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴四边形的周长的取值范围为．‎ ‎18.解:（Ⅰ）∵点在平面内的射影恰好为点，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面．‎ 又以为直径的圆经过点，，，∴为正方形．‎ 又平面平面，∴平面．‎ ‎∵平面，，‎ 又，∴，‎ 又的中点为，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 又平面，平面，，∴平面．‎ 又平面，∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）如图，建立以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向的空间直角坐标系，‎ 设，则，，，．‎ ‎∵的中点为，∴，‎ 故，，‎ 设平面的法向量为，则∴‎ 令，则．‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 设二面角为，‎ ‎∴，‎ 容易看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（Ⅰ）甲、乙、丙、丁四个公园中幸运之星的人数为：‎ ‎，，，．‎ ‎（Ⅱ）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为，‎ 所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为．‎ ‎（Ⅲ）由题意，取值为，，，服从超几何分布，‎ ‎，，．‎ 所以的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以．‎ ‎20.解：（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，，‎ 由题意的面积为，‎ 由已知得，∴，∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）若，则，由椭圆的对称性得，即，‎ ‎∴能使成立．‎ 若，由，得，‎ 因为，，共线，所以，解得．　 设，，由得，‎ 由已知得，即，‎ 且，，‎ 由，得，即，∴，‎ ‎∴，即．‎ 当时，不成立，∴，‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴，解得或．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎21.解：（Ⅰ）因为，，根据题意，得解得 所以．　‎ 设，则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，‎ 又因为→时，→；当→时，→，‎ 故欲使两图象有两个交点，只需，，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）由，，得．‎ 设，则，当时，，单调递增，‎ 所以，所以，所以．‎ 要证，只需证，即，‎ 变形得，等价于，等价于，‎ 令()，则只需证，设，则，‎ 所以，‎ 所以对恒成立，即．‎ ‎22.解：（Ⅰ）∵，，，‎ 圆的普通方程为，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的极坐标方程．‎ ‎（为参数）消去后得，‎ ‎∴直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）当时，，∴点的极坐标为，‎ ‎，∴点的极坐标为，故线段的长为．‎ ‎23.解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，解得．‎ ‎（Ⅱ）当时，或．‎ 画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为．‎