数学卷·2018届河南省平顶山市叶县二中高二上学期9月月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届河南省平顶山市叶县二中高二上学期9月月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年河南省平顶山市叶县二中高二（上）9月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选择中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎3．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎4．在数列{an}中，an=﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（　　）‎ A．102 B． C． D．108‎ ‎5．在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（　　）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎6．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4+a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（　　）‎ A．S7 B．S6 C．S5 D．S4‎ ‎7．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（　　）‎ A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎9．在等差数列{an}中，a1＞0，a10•a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是（　　）‎ A．24 B．48 C．60 D．84‎ ‎10．已知方程（x2﹣mx+2）（x2﹣nx+2）=0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于（　　）‎ A． B．或 C． D．以上都不对 ‎11．数列an=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（　　）‎ A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9‎ ‎12．已知F（x）=f（x+）﹣1是R上的奇函数，an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{an} 的通项公式为（　　）‎ A．an=n﹣1 B．an=n C．an=n+1 D．an=n2‎ ‎　‎ 二、填空题．（每题5分，共20分.）‎ ‎13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为　　．‎ ‎14．已知数列{an}中，a1=，an+1=1﹣（n≥2），则a16=　　．‎ ‎15．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为　　．‎ ‎16．已知数列{an}满足a1=1，an=2（an﹣1+an﹣2+…+a2+a1）（n≥2，n∈N*）则数列{an}的通项公式为　　．‎ ‎　‎ 三、解决问题．（其中17题10分；18，19，20，21，22题12分，共70分．）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1，数列{bn}满足bn=，且前n项和为Tn，设cn=T2n+1﹣Tn．‎ ‎（1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）判断数列{cn}的增减性．‎ ‎19．等比数列{an}中，已知a3=8，a6=64．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎20．已知等比数列{an}和等差数列{bn}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2=4a2，a2b3=6．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求使a＜0.001成立的正整数n的最小值．‎ ‎21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，‎ ‎（Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省平顶山市叶县二中高二（上）9月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选择中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．‎ ‎【解答】解：根据正弦定理可得，‎ ‎，‎ 解得，‎ 又∵b＜a，‎ ‎∴B＜A，故B为锐角，‎ ‎∴，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．‎ ‎【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），‎ 两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，‎ 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，‎ 得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，‎ 所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）‎ 则a6=3×44．‎ 故选A ‎　‎ ‎3．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E，在Rt△ABD和Rt△ACE中使用勾股定理求出AD，AC的长，再在△ACD中使用余弦定理求出∠CAD．‎ ‎【解答】解：过A作AE⊥CD，垂足为E，则CE=50﹣20=30，AE=60，‎ ‎∴AD==20，‎ AC==30，‎ 在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD==，‎ ‎∴∠CAD=45°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．在数列{an}中，an=﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（　　）‎ A．102 B． C． D．108‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：an=﹣2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=﹣==7，‎ ‎∵n是整数，‎ ‎∴当n=7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7=﹣2×72+29×7+3=108，‎ 故选：D ‎　‎ ‎5．在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（　　）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】通过两个等式推出b=c，然后求出A的大小，即可判断三角形的形状．‎ ‎【解答】解：因为在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA 所以，所以b=c，2bcosA=c，所以cosA=，A=60°，‎ 所以三角形是正三角形．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4+a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（　　）‎ A．S7 B．S6 C．S5 D．S4‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．‎ ‎【分析】由等差数列的性质，结合a5＞0，a4+a7＜0，得到a6＜0，则可断定数列是递减数列，由a5＞0，可知数列的首项大于0，由此可判断数列的前5项和最大．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由a5+a6=a4+a7＜0，而a5＞0，得a6＜0．‎ 则等差数列的公差d=a6﹣a5＜0，所以数列{an}是递减数列，则a1＞0．‎ 所以{an}的前n 项和Sn的最大值为S5．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（　　）‎ A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，‎ 即a42=（a4﹣4）（a4+8），‎ 解得a4=8，‎ ‎∴a1=a4﹣3×2=2，‎ ‎∴Sn=na1+d，‎ ‎=2n+×2=n（n+1），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC ‎∴sinC=1，C=．‎ ‎∴S=ab=（b2+c2﹣a2），‎ 解得a=b，因此∠B=45°．‎ 故选C ‎　‎ ‎9．在等差数列{an}中，a1＞0，a10•a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是（　　）‎ A．24 B．48 C．60 D．84‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{|an|}的前18项和．‎ ‎【解答】解：∵a1＞0，a10•a11＜0，‎ ‎∴d＜0，a10＞0，a11＜0，‎ ‎∴T18=a1+…+a10﹣a11﹣…﹣a18=S10﹣（S18﹣S10）=60．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知方程（x2﹣mx+2）（x2﹣nx+2）=0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于（　　）‎ A． B．或 C． D．以上都不对 ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】设方程x2﹣mx+2=0两根分别为x1，x4，x2﹣nx+2=0两根分别为x2，x3，由韦达定理得：x1x4=2，x2x3=2，x1+x4=m，x2+x3=n，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：设方程x2﹣mx+2=0两根分别为x1，x4，‎ x2﹣nx+2=0两根分别为x2，x3，‎ 由韦达定理得：‎ x1x4=2，x2x3=2，‎ x1+x4=m，x2+x3=n，‎ 若x=是方程x2﹣mx+2=0的根，则x4===4，‎ 设公比为q， =q3==8，解得q=2，‎ ‎∴==‎ ‎=‎ ‎==．‎ 同理，若x=是方程x2﹣nx+2=0的根，解得=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．数列an=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（　　）‎ A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9‎ ‎【考点】数列与解析几何的综合．‎ ‎【分析】由题意因为数列an=，其前n项之和为，有数列通项的特点利用裂项相消得方法得到n的方程解出n的值是直线（n+1）x+y+n=0的方程具体化，再利用直线在y轴上的截距求出所求．‎ ‎【解答】解：因为数列{an}的通项公式为且其前n项和为：‎ ‎++…+‎ ‎=1﹣==，‎ ‎∴n=9，‎ ‎∴直线方程为10x+y+9=0．‎ 令x=0，得y=﹣9，‎ ‎∴在y轴上的截距为﹣9．‎ 故选B ‎　‎ ‎12．已知F（x）=f（x+）﹣1是R上的奇函数，an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{an} 的通项公式为（　　）‎ A．an=n﹣1 B．an=n C．an=n+1 D．an=n2‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】由F（x）=f（x+）﹣1在R上为奇函数，知f（﹣x）+f（+x）=2，令t=﹣x，则+x=1﹣t，得到f（t）+f（1﹣t）=2．由此能够求出数列{an} 的通项公式．‎ ‎【解答】解：F（x）=f（x+）﹣1在R上为奇函数 故F（﹣x）=﹣F（x），‎ 代入得：f（﹣x）+f（+x）=2，（x∈R）‎ 当x=0时，f（）=1．‎ 令t=﹣x，则+x=1﹣t，‎ 上式即为：f（t）+f（1﹣t）=2．‎ 当n为偶数时：‎ an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）‎ ‎=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（）‎ ‎=‎ ‎=n+1．‎ 当n为奇数时：‎ an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*）‎ ‎=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]‎ ‎=2×‎ ‎=n+1．‎ 综上所述，an=n+1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题．（每题5分，共20分.）‎ ‎13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为　或　．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】先根据余弦定理进行化简，进而得到sinB的值，再由正弦函数的性质可得到最后答案．‎ ‎【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=‎ ‎∴B=或 故选B．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}中，a1=，an+1=1﹣（n≥2），则a16=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由，可分别求a2，a3，a4，从而可得数列的周期，可求 ‎【解答】解：∵，‎ 则=﹣1‎ ‎=2‎ ‎=‎ ‎∴数列{an}是以3为周期的数列 ‎∴a16=a1=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：‎ ‎=+‎ ‎===‎ ‎===‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}满足a1=1，an=2（an﹣1+an﹣2+…+a2+a1）（n≥2，n∈N*）则数列{an}的通项公式为　n=　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】可求得当n≥2时，an+1=3an，且a1=1，a2=2；从而解得．‎ ‎【解答】解：∵an=2（an﹣1+an﹣2+…+a2+a1）=2Sn﹣1，‎ ‎∴an+1=2（an+an﹣1+…+a2+a1）=2Sn，‎ 两式作差可得，‎ an+1﹣an=2an，‎ 故an+1=3an，‎ 且a1=1，a2=2；‎ 故an=．‎ 故答案为：n=．‎ ‎　‎ 三、解决问题．（其中17题10分；18，19，20，21，22题12分，共70分．）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简已知的表达式，结合两角和的正弦函数以及三角形的内角，求出C的值即可；‎ ‎（2）通过余弦定理，以及b=3a，求出a与b的值，然后直接利用三角形的面积公式求出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵（b﹣2a）cosC+c cosB=0，‎ ‎∴由正弦定理得（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，‎ sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC，‎ ‎∴sinA=2sinAcosC，‎ ‎∵sinA≠0，∴cosC=，‎ 又∵C∈（0，π），∴C=；‎ ‎（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴解得：a=1，b=3，‎ ‎∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×=．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1，数列{bn}满足bn=，且前n项和为Tn，设cn=T2n+1﹣Tn．‎ ‎（1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）判断数列{cn}的增减性．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）数列{an}满足前n项和Sn=n2+1，可得a1=S1，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．可得an=．进而得到bn．‎ ‎（2）由cn=T2n+1﹣Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1，作差cn+1﹣cn，即可得出{cn}的单调性．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}满足前n项和Sn=n2+1，‎ ‎∴a1=S1=2，a1=2，‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2）．‎ ‎∴an=．‎ n=1时，b1=；‎ n≥2时，bn==．‎ ‎∴bn=．‎ ‎（2）∵cn=T2n+1﹣Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1‎ ‎=++…+，‎ ‎∴cn+1﹣cn=﹣＜0，‎ ‎∴{cn}是递减数列．‎ ‎　‎ ‎19．等比数列{an}中，已知a3=8，a6=64．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）设等比数列{an}的首项为a1、公比为q，由性质求出q，再求出a1，代入等比数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）求出b3、b5，由等差数列的性质求出公差d，再求出b1，代入等差数列的通项公式和前n项和公式化简即可．‎ ‎【解答】解：（1）设等比数列{an}的首项为a1、公比为q，‎ ‎∵a3=8，a6=64，∴=8，解得q=2，且a1=2，‎ 则，‎ ‎（2）由（1）得，a3=8、a5=32，则b3=8、b5=32，‎ 则数列{bn}的公差d==12，‎ 再代入b3=b1+2d=8，解得b1=﹣16，‎ ‎∴bn=b1+（n﹣1）d=12n﹣28，‎ ‎∴前n项和Sn==6n2﹣22n．‎ ‎　‎ ‎20．已知等比数列{an}和等差数列{bn}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2=4a2，a2b3=6．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求使a＜0.001成立的正整数n的最小值．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（1）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）由（1）得abn=a2n=，利用abn＜0.001，化简即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，d＞0．‎ ‎∵b2=4a2，a2b3=6．∴2+d=4×2q，2q×（2+2d）=6，‎ 解得d=2，q=．‎ ‎∴an==，bn=2+2（n﹣1）=2n．‎ ‎（2）由（1）得abn=a2n=，‎ ‎∵abn＜0.001，‎ 即＜0.001，∴22n﹣2＞1 000，∴2n﹣2≥10，‎ 即n≥6，∴满足题意的正整数n的最小值为6．‎ ‎　‎ ‎21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，‎ ‎（Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A．‎ ‎（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理知==，‎ ‎∴sinA=cosA，即tanA=，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴A=．‎ ‎（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，‎ 由余弦定理得36=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），‎ ‎∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，‎ ‎∴6＜b+c≤12，‎ 即b+c的取值范围是（6，12]．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求出数列{bn}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣2an﹣1+2，有an=2an﹣1，‎ 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，有．‎ ‎（2）由（1）知，有①‎ ‎①×2，②‎ ‎①﹣②，得﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1，‎ 整理得．‎ ‎　‎