2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期中考试试卷 数学 (word版)

2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期中考试试卷 数学 (word版)

兰州一中2018-2019下学期期中考试试题 高一数学 ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）‎ ‎1．如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为(　　)‎ A．4 B．－4 C．±4 D． ‎3．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 (　　)‎ A． B． C． D． ‎4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于(　　)‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎5．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)‎ S=1‎ i=3‎ WHILE i<_________‎ S=S*i i=i+2‎ WEND PRINT S END A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x－y＋4＝0 D．x＋y－4＝0‎ ‎6．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．右边图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是(　　)‎ A．13 B．13.5 C．14 D．14.5‎ ‎7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则的概率为 (　　)‎ A． B． C． D． ‎8．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x ‎(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是 (　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg ‎9．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ ‎10．在长为12 cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 (　　)‎ A． B． C． D． ‎11．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎907　966　191　925　271　932　812　458 569　683　‎ ‎431　257　393　027　556　488 730　113　537　989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 (　　)‎ A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15‎ ‎12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．）‎ ‎13．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．‎ ‎14．已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．‎ ‎15．如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数，输出A，B，若输入的N为20，依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A－B=________．‎ ‎16．当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是________________．‎ 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）‎ ‎17．(本小题满分10分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．‎ ‎(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．‎ ‎(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．‎ ‎①列出所有可能的抽取结果；‎ ‎②求抽取的2所学校均为小学的概率．‎ ‎18．(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ ‎19．(本小题满分12分)某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：‎ ‎[0，0.5)，4； [0.5，1)，8； [1，1.5)，15； ‎ ‎[1.5，2)，22； [2，2.5)，25； [2.5，3)，14；‎ ‎[3，3.5)，6； [3.5，4)，4； [4，4.5)，2．‎ ‎(1)列出样本的频率分布表；‎ ‎(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；‎ ‎(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？‎ ‎20．(本小题满分12分) 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．‎ ‎(1) 求的最大值与最小值；‎ ‎(2) 求x－2y的最大值与最小值．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b．‎ ‎(1)若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；‎ ‎(2)若a，b都是从区间[0，4]上任取的一个数，求f(1)>0成立的概率．‎ ‎22．(本小题满分12分) 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12．‎ ‎(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；‎ ‎(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．‎ 兰州一中2018-2019-2学期期中考试试题 高一数学 ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）‎ ‎1．如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B ‎2．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为(　　)‎ A．4 B．－4 C．±4 D． 答案　B ‎3．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 (　　)‎ A． B． C． D． 答案　D ‎4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于(　　)‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ 答案　B ‎5．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x－y＋4＝0 D．x＋y－4＝0‎ 答案　B ‎6．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是(　　)‎ A．13 B．13.5 C．14 D．14.5‎ 答案　A ‎7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则的概率为 (　　)‎ A． B． C． D． 答案　C ‎8．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是 (　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案　D ‎9．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ 答案　A ‎10．在长为12 cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 (　　)‎ A． B． C． D． 答案　C ‎11．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎907　966　191　925　271　932　812　458 569　683　‎ ‎431　257　393　027　556　488 730　113　537　989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 (　　)‎ A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15‎ 答案　B ‎12． 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…‎ ‎，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ 答案　C 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．）‎ ‎13． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．‎ 答案　15‎ ‎14．已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．‎ 答案　33‎ ‎15．如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数，输出A，B，若输入的N为20，依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A－B=________．‎ 答案：30‎ ‎16．当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是________________．‎ 答案 (，] ‎ 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）‎ ‎17．(本小题满分10分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．‎ ‎(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．‎ ‎(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．‎ ‎①列出所有可能的抽取结果；（在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6）‎ ‎②求抽取的2所学校均为小学的概率．‎ 解：　(1)由分层抽样定义知，‎ 从小学中抽取的学校数目为6×＝3；‎ 从中学中抽取的学校数目为6×＝2；‎ 从大学中抽取的学校数目为6×＝1．‎ 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1．……………..4分 ‎(2)①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．…………….8分 ‎②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，‎ 所以P(B)＝＝．…………….10分 ‎18．(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ 解　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，‎ ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又＝－20，‎ 所以＝－＝80＋20×8.5＝250，‎ 从而线性回归方程为＝－20x＋250．………………..6分 ‎(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)‎ ‎＝－20x2＋330x－1 000‎ ‎＝－20(x－8.25)2＋361．25．‎ 当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．‎ 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．………………..12分 ‎19．(本小题满分12分)某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：‎ ‎[0，0.5)，4； [0.5，1)，8； [1，1.5)，15； ‎ ‎[1.5，2)，22； [2，2.5)，25； [2.5，3)，14；‎ ‎[3，3.5)，6； [3.5，4)，4； [4，4.5)，2．‎ ‎(1)列出样本的频率分布表；‎ ‎(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；‎ ‎(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？‎ 解　(1)频率分布表 分组 频数 频率 ‎[0，0.5)‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎[0.5，1)‎ ‎8‎ ‎0.08‎ ‎[1，1.5)‎ ‎15‎ ‎0.15‎ ‎[1.5，2)‎ ‎22‎ ‎0.22‎ ‎[2，2.5)‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎[2.5，3)‎ ‎14‎ ‎0.14‎ ‎[3，3.5)‎ ‎6‎ ‎0.06‎ ‎[3.5，4)‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎[4，4.5)‎ ‎2‎ ‎0.02‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ ‎………………….4分 ‎(2)频率分布直方图如图：‎ ‎………………….7分 众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02．………………….10分 ‎(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．………………….12分 ‎20．(本小题满分12分) 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．‎ ‎(1) 求的最大值与最小值；‎ ‎(2) 求x－2y的最大值与最小值．‎ 解：　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率．令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率．‎ 对上式整理得kx－y－k＋2＝0，‎ ‎∴＝1，∴k＝．‎ 故的最大值是，最小值是．………………….6分 ‎(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．‎ 依题意，得＝1，解得u＝－2±，‎ 故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－．………………….12分 ‎21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b．‎ ‎(1)若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；‎ ‎(2)若a，b都是从区间[0，4]上任取的一个数，求f(1)>0成立的概率．‎ 解　(1)a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数N＝5×5＝25个，函数有零点时Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b，包含(0，0)，(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(4，0)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，∴事件“a2≥4b”的概率为P＝．‎ ‎(2)a，b都是从区间[0，4]上任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，如图所示，∴事件“f(1)>0”的概率P＝＝．‎ ‎22．(本小题满分12分) 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12．‎ ‎(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；‎ ‎(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．‎ 方法一　(1)证明　由 消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，‎ 因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，‎ 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．…………………6分 ‎(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，‎ 则直线l被圆C截得的弦长 ‎|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝2＝2 ，‎ 令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，‎ 当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，‎ 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，‎ 故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2．………………….12分 方法二　(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，‎ Δ＝(－4)2－4×11×8<0，‎ 故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，‎ 所以R2－d2>0，即d

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