2018届二轮复习平面向量中的线性问题课件（江苏专用）

2018届二轮复习平面向量中的线性问题课件（江苏专用）

专题 4 　三角函数与平面向量 第 19 练　 平面 向量中的线性问题 平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的 “ 双重特性 ” ，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点 . 多与其他知识联合命题，题型有填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 1 2 3 4 解析答案 2.(2016· 课标全国甲改编 ) 已知向量 a ＝ (1 ， m ) ， b ＝ (3 ，－ 2) ，且 ( a ＋ b ) ⊥ b ，则 m ＝ ________. 解析 　 由题知 a ＋ b ＝ (4 ， m － 2) ， 因为 ( a ＋ b ) ⊥ b ， 所以 ( a ＋ b )· b ＝ 0 ， 即 4 × 3 ＋ ( － 2) × ( m － 2) ＝ 0 ， 解 之得 m ＝ 8. 8 1 2 3 4 解析答案 解析　 ∵ n ⊥ ( t m ＋ n ) ， ∴ n ·( t m ＋ n ) ＝ 0 ，即 t m · n ＋ | n | 2 ＝ 0 ， ∴ t | m || n |cos 〈 m ， n 〉＋ | n | 2 ＝ 0 ，又 4| m | ＝ 3| n | ， － 4 1 2 3 4 解析答案 返回 高考 必会题型 题型一　平面向量的线性运算及应用 解析 答案 解析答案 点评 点评 平面向量的线性运算应注意三点 (1) 三角形法则和平行四边形法则的运用条件 . (2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 . 解析 答案 解析　 根据向量的基本定理可得， 解析答案 6 题型二　平面向量的坐标运算 解析答案 由 ∠ AOC ＝ 30° ，知 ∠ xOC ＝ 150° ， 1 (2) 平面内给定三个向量 a ＝ (3,2) ， b ＝ ( － 1,2) ， c ＝ (4,1) ，请解答下列问题： ① 求满足 a ＝ m b ＋ n c 的实数 m ， n ； 解析答案 解　 由题意得 (3,2) ＝ m ( － 1,2) ＋ n (4,1) ， ② 若 ( a ＋ k c ) ∥ (2 b － a ) ，求实数 k ； 解析答案 解　 a ＋ k c ＝ (3 ＋ 4 k, 2 ＋ k ) ， 2 b － a ＝ ( － 5,2) ， ∵ ( a ＋ k c ) ∥ (2 b － a ) ， ∴ 2 × (3 ＋ 4 k ) － ( － 5)(2 ＋ k ) ＝ 0 ， 点评 解析答案 解　 设 d ＝ ( x ， y ) ，则 d － c ＝ ( x － 4 ， y － 1) ， a ＋ b ＝ (2,4) ， ∴ d ＝ (3 ，－ 1) 或 d ＝ (5,3). (1) 两平面向量共线的充要条件有两种形式： ① 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件是 x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 ； ② 若 a ∥ b ( a ≠ 0) ，则 b ＝ λ a . (2) 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数 . 当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 . (3) 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行 . 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 . 点评 解析 答案 8 因为点 F 在线段 CD 上，所以 2 x ＋ y ＝ 1 ， 解析答案 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 延长 AB 至 D ，使得 AD ＝ 2 AB ，连结 CD ， ∴ C ， D ， P 三点共线 . ∴ P 点轨迹为直线 CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 ∵ D 是 AC 的中点，延长 MD 至 E ，使得 DE ＝ MD ， 如 图 ， ∴ 四边形 MAEC 为平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 过点 C 作 CE ⊥ x 轴于点 E ( 图略 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4 λ 2 ＋ λ 2 ＝ 20 ， ∴ λ 2 ＝ 4 ， ∴ λ ＝ ±2 ， ∴ a ＝ (4,2) 或 a ＝ ( － 4 ，－ 2). 因此 “ a ＝ (4,2) ” 是 “ a ∥ b ” 成立的充分不必要条件 . 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 给出下列命题： ① 若 | a | ＝ | b | ，则 a ＝ b ； ② 若 A ， B ， C ， D 是不共线的四点， 则 是 四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③ 若 a ＝ b ， b ＝ c ，则 a ＝ c ； ④ a ＝ b 的充要条件是 | a | ＝ | b | 且 a ∥ b ； ⑤ 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c . 其中正确命题的序号是 ________. 解析　 ① 方向不一定相同 ； ④ 方向可能相反 ； ⑤ 若 b ＝ 0 ，则不对 . 解析 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 在矩形 ABCD 中，因为点 O 是对角线的交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以点 G 是 BC 的中点， △ ABC 是直角三角形，且 ∠ BAC 是直角 . 所以 BC ＝ 2 ，又 △ ABC 的顶点 B ， C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动 ， 所以 点 G 的轨迹是以原点为圆心、 1 为半径的圆弧 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 求证： A ， B ， D 三点共线； ∴ A ， B ， D 三点共线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 求点 M 在第二或第三象限的充要条件； ＝ t 1 (0,2) ＋ t 2 (4,4) ＝ (4 t 2, 2 t 1 ＋ 4 t 2 ). 当点 M 在第二或第三象限时， 故所求的充要条件为 t 2 <0 且 t 1 ＋ 2 t 2 ≠ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 求证：当 t 1 ＝ 1 时，不论 t 2 为何实数， A ， B ， M 三点都共线； 证明 　当 t 1 ＝ 1 时， ∴ 不论 t 2 为何实数， A ， B ， M 三点共线 . 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ 4 t 2 × 4 ＋ (4 t 2 ＋ 2 a 2 ) × 4 ＝ 0 ， ∵ S △ ABM ＝ 12 ， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得 a ＝ ±2 ，故所求 a 的值为 ±2.