2013-2017高考数学分类汇编-文科 第七章 不等式 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

2013-2017高考数学分类汇编-文科 第七章 不等式 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

‎ ‎ 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 题型82 二元一次不等式组表示的平面区域 ‎1. （2014安徽文13）不等式组，表示的平面区域的面积为 .‎ ‎1. 解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由得.‎ 所以，，.直线与轴的交点的坐标为.因此.故答案为4.‎ ‎2.（2016浙江文4）若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.B 解析 画出不等式组所表示的平面区域如图所示，由，得，由，得.由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点和点时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两直线为满足条件的距离最小的一对直线，即 ‎.故选B.‎ 题型83 求解目标函数的取值范围（或最值）‎ ‎1. (2013天津文2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.分析 作出可行域，平移直线，得出的最小值.‎ 解析 作出可行域如图所示，平移直线，当直线过可行域内的点时，有最小值，故选A.‎ ‎2．(2013福建文6）若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2.分析 作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解.‎ 解析 作出可行域如图阴影部分.作直线，并向右上平移，过点时取最小值，过点时取最大值，可求得，所以，.故选B.‎ ‎3. （2013四川文8）若变量满足约束条件，且的 最大值为，最小值为，则的值是（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．分析 先将不等式转化为，画出不等式组表示的平面区域，并 找出目标函数的最优解，进而求得的值．‎ ‎ 解析 因为所以 由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由，得．‎ 由图知目标函数，过点时，，即．‎ 目标函数过点时，，即.‎ 所以，故选C.‎ ‎4. (2013陕西文7）若点位于曲线与所围成的封闭区域，则的最小值是（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.解析 曲线与所围成的封闭区域如图阴影部分所示，‎ 当直线：向左平移时，的值在逐渐变小，当通过点时，．故选A.‎ ‎5.（(2013安徽文12）若非负数变量满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎5.分析 先画出可行域，再画出目标函数线过原点时的直线，向上平移，‎ 寻找满足条件的最优解，代入即可得所求.‎ 解析 根据题目中的约束条件画出可行域，注意到，非负，得可行域为如图所示的阴影部分（包括边界），作直线并向上平移，数形结合可知，当直线过点，时，取得最大值，最大值为.‎ ‎6. (2013山东文14）在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示 的区域上一动点，则 的最小值时 ．‎ ‎6.分析 画出不等式组表示的平面区域，数形结合求最值.‎ 解析 如图所示，为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以的最小值.‎ ‎7.（2013广东文13）已知变量，满足约束条件则的最大值是 ．‎ ‎7.分析 画出线性的约束条件表示的平面区域，用图解法求最值.‎ 解析 画出平面区域如图阴影部分所示，由，得，表示直线在轴上的截距，由图知，当直线经过点时，目标函数取得最大值，为.‎ ‎8.（2014天津文2）设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）.‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎9.（2014广东文4）若变量满足约束条件，则的最大值等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.（2014湖北文4）若变量满足约束条件 则的最大值是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎11.（2014新课标Ⅱ文9）设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.（2014四川文6）执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的的最大值为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎13.（2014北京文13）若，满足，则的最小为 .‎ ‎13. 解析 约束条件，表示的平面区域如图中阴影部分，作出基本直线，经平移可得在点处取得最小值，其最小值为1.‎ ‎14.（2014大纲文15）设x，y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎15.（2014辽宁文14）已知，满足约束条件，则目标函数的最大值为 .‎ ‎16.（2014浙江文12）若实数满足，则的取值范围是___________.‎ ‎17.（2014湖南文13）若变量满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎18.（2014陕西文18）（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）用表示，并求的最大值.‎ ‎19.（2015全国2文14）若、满足约束条件，则的最大值 为 .‎ ‎19.解析 三个顶点为，及 ，代入得，‎ 当，时，.‎ ‎20.（2015全国1文15）若满足约束条件，则的最大值 为 ．‎ ‎20.解析 画出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示.‎ 联立，得.‎ 由图可知当直线经过点时，‎ 取得最大值..‎ ‎21.（2015湖南文4）若变量、满足约束条件 ，则的最小值为（ ）.‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎21.解析 由约束条件作出可行域如图所示，‎ 由图可知，当直线过点时，纵截距最大，即此时有最小值. ‎ 联立，解得，即，‎ 所以.故选A. ‎ ‎22.（2015广东文4）若变量，满足约束条件，则的最大 值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎22.解析 画出满足不等式组的可行域，‎ 如图中阴影部分所示.‎ 联立，解得.由图可知当直线经过点时，取得最大值，所以.故选B．‎ ‎23.（2015安徽文5）已知满足约束条件，则的最大值是（ ）.‎ A． B． C． D．1‎ ‎23.解析 根据题意作出满足不等式组的可行域，‎ 如图中阴影部分所示.‎ 联立，解得，可得.‎ 目标函数变形为，由图可知，‎ 当直线经过点时，取得最大值..故选A.‎ ‎24.（2015山东文12）若，满足约束条件则的最大值为 .‎ ‎24.解析 画出满足不等式组的可行域，如图中所示的阴影部分.‎ 由，可知，‎ 联立，可得.‎ 由图可知，当直线经过点时，截距最大.此时.故应填.‎ ‎25.（2015湖北文12）设变量，满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎25.解析 首先根据题意所给的约束条件画出其表示 的平面区域如下图所示，然后根据图像可得，‎ 目标函数过点取得最大值，‎ 即.‎ ‎26.（2015北京文13）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任 意一点，则的最大值为 .‎ ‎26.解析 依题意，在点处取得最大值7.‎ ‎27.（2015四川文9）设实数满足，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎27.解析 画出满足不等式组的可行域，如图中所示的阴影部分.‎ 易得：.由图可知，若取得最大值，则动点一定在线段 或的第一象限部分.‎ 若点在上，则，‎ 当时有最大值，此时，‎ 即点在上.若点在上，则在是关于的增函数，‎ 当取到最大值.所以当且仅当，时对应点落在线段上，取到最大值 ‎.故选A.‎ ‎28.（2015天津文2）设变量，满足约束条件，则目标函数的 最大值为（ ）. ‎ A.7 B. 8 C. 9 D.14‎ ‎28.解析 变量，满足约束条件所对应的区域如图所示.当目标函数在点处取得最大值.故选C.‎ ‎29.（2016北京文7）已知，.若点在线段上，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎29. C 解析 解法一：先求得线段的方程是.‎ 因为点在线段上，‎ 所以，‎ 当且仅当时，.故选C.‎ 解法二：依题意求得线段的方程是.在平面直角坐标系中画出线段如图所示，当直线平移通过点时，有最大值，所以.故选C. ‎ 评注 本题的解法二是用线性规划知识求解的.‎ ‎30.（2016上海文7）若满足，则的最大值为 .‎ ‎30. 解析 作出满足条件的规划区域，如图所示.设，则当动直线过点时，函数的最大值为.故填.‎ ‎31.（2016全国甲文14）若满足约束条件则的最小值为_________.‎ ‎31. 解析 解法一：由题意得可行域如图所示，在处取得最小值.‎ 解法二：由得，点；由得，点；‎ 由得，点.分别将，，代入得：，，，所以的最小值为.‎ ‎32.（2016全国丙文13）设，满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎32. 解析 如图所示，可行域为及其内部，其中，直线过点时取最小值.‎ ‎33.（2016山东文4）变量满足，则的最大值是（ ）.‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ ‎33.C 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由是点到原点距离的平方，故只需求出三条直线的交点到原点距离的平方，然后再进行比较.经计算，是最优解，的最大值是.故选C.‎ ‎34.（2016江苏文12）已知实数满足，则的取值范围是 .‎ ‎34. 解析 在平面直角坐标系中作出可行域如图所示.‎ 的含义为可行域内的点到原点距离的平方.可以看出图中点距离原点最近，‎ 此时为原点到直线的距离，则；‎ 图中点距离原点最远，点为与交点，即，‎ 则.‎ ‎35. （2016上海文12）如图所示，已知，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是 .‎ ‎35. 解析 由题意设，故，由线性规划的有关知识知.故填.‎ 评注 也可以设，，则，.利用三角有关知识求解.‎ ‎36.（2017全国1文7）设，满足约束条件，则的最大值为（ ）.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎36.解析 如图所示，目标函数经过时最大，故.故选D.‎ ‎37.（2017全国2文7）设，满足约束条件，则的最小值是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎37.解析 如图所示，绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值.故选A.‎ ‎38.（2017全国3文5）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎38.解析 根据现行约束条件，画出可行域，如图所示.当目标函数经过点时，；当目标函数经过点时，.故的取值范围是.故选B.‎ 评注 本题属于基本的线性规划类问题，一般会比较简单.‎ ‎39.（2017北京文4）若，满足，则的最大值为（ ）.‎ A.1 B. 3 C.5 D.9‎ ‎39.解析 令，则，其表示与平行的一组直线，当在经过可行域平移时，截距越大，的值越大，所以当平移到过点时，截距有最大值，即.故选D.‎ ‎40.（2017北京文11）已知，，且，则的取值范围是__________．‎ ‎40.解析 解法一：代入消元转化为二次函数在闭区间上的最值问题. ，所以当或1时，取得最大值1；当时，取得最小值.因此的取值范围为.‎ 解法二：利用数形结合.如图所示，表示线段上的动点到原点的距离，由图易知有，故有.‎ ‎41.（2017山东文3）已知，满足约束条件，则的最大值是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎41.解析 解法一：.故选D.‎ 解法二：由画出可行域及直线如图所示，平移发现，‎ 当其经过直线与的交点时，‎ 最大值为.故选D.‎ ‎42.（2017浙江4）若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎42.解析 如图所示，在点取到的最小值为，没有最大值，‎ 故．故选D．‎ 题型84 求解目标函数中参数的取值范围（或最值）‎ ‎1.（2014福建文11）已知圆，平面区域，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. （2014山东文10）已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.（2014新课标Ⅰ文11）设满足约束条件，且的最小值为，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 题型85 简单线性规划问题的实际运用 ‎1．（2013湖北文9）某旅行社租用、两种型号的客车安排名客人旅行，、‎ 两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要 求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆．则租金最少为（ ）.‎ A．元 B．元 C．元 D．元 ‎1.分析 先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决.‎ 解析 设租用型车辆，型车辆，目标函数为，则约束条件为 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点时，最小值（元）.故选C.‎ ‎2.（2014四川文10）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎3.（2014浙江文10）如图所示，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线AP与平面ABC所成角）.若，则的最大值是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（2014湖北文16）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度（假设车辆以相同速度 行驶，单位：米/秒）、平均车长（单位：米）的值有关，其公式为. ‎ ‎（Ⅰ）如果不限定车型，，则最大车流量为 辆/小时；‎ ‎（Ⅱ）如果限定车型，， 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时.‎ ‎5.（2015重庆文10）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积 等于，则的值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎5.解析 因为平面区域为三角形且面积为可知，可得如图所示图形，‎ 又因为直线与垂直，‎ 设直线交点如图为，，，则，，，所以，，所以，‎ 所以．故选B．‎ ‎6.（2015福建文10）变量满足约束条件，若的最大值为2，‎ 则实数等于（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎6.解析 画出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示.‎ 将目标函数变形为，当取最大值2时，‎ 则直线纵截距最小为.‎ 当时，直线纵截距最小为0，不满足题意；‎ 当时，联立，得．‎ 由图可知，当直线经过点时，取得最大值.‎ 把代入，得，解得.故选C．‎ ‎7.（2016北京文14）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店（1）第一天售出但第二天未售出的商品有______种；‎ ‎（2）这三天售出的商品最少有_______种.‎ ‎7. 解析 如图所示，区域分别表示只在第一天、第二天、第三天售出的商品；区域分别表示只在第一天与第二天、第二天与第三天、第一天与第三天售出的商品；区域表示在三天都售出的商品.‎ 又设区域的商品数量分别为，由题设可得，‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎ ④‎ ‎ ⑤‎ 第（1）问：由①④，可得，‎ 即第一天售出但第二天未售出的商品有种.‎ 第（2）问：可得这三天售出的商品总数为 由③⑤可得，，所以这三天售出的商品总数.‎ 进而还可得，当且仅当 ‎ ‎,或, 时，这三天售出的商品总数取到最小值.‎ ‎ ‎ 评注 本题第（2）问的背景是容斥原理.‎ ‎8.（2016天津文16）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示.‎ ‎ 原料 肥料 ‎ 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ (1) 用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ (2) 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.‎ ‎8.分析 （1）根据生产原料不能超过种原料200吨，种原料吨，种原料吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域；（2）目标函数为利润根据直线平移及截距变化规律确定最大利润.‎ 解析 （1）由已知得满足的不等式组为，该二元一次不等式组所表示的平面区域如图所示.‎ ‎（2）设利润为万元，则目标函数，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由如图所示的图形可知.当直线经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大.‎ 解方程组，得点的坐标为，所以 所以生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.‎ 题型 平面区域的面积——暂无