河南省示范性高中2020届高三上学期期末考试 数学（理）
2019～2020年度河南省高三上学年期末考试
数学(理科)
考生注意：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈X)为纯虚数，则z＝
A. B.6i C. D.20
2.已知集合A＝{x∈N|x2<8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则(
A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6}
C.{1，2，3，4，5，6} D，{1，3，4，5，6，7}
3.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|a－3b|＝
A. B. C. D.
4.若双曲线C：的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则m＝
A. B. C. D.
5.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P－ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则
A.PA，PB，PC两两垂直 B.三棱锥P－ABC的体积为
C.|PA|＝|PB|＝|PC|＝ D.三棱锥P－ABC的侧面积为3
6.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外。据统计，
烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为
附：若X～N(µ，σ2)，则P(µ－σ
0)，，且/，则b＝
A.3 B.3或7 C.5 D.5或8
8.函数f(x)＝|x|－的图象大致为
9.设不等式组表示的平面区域为Ω，若从圆C：x2＋y2＝4的内部随机选取一点P，则P取自Ω的概率为
A. B. C. D.
10.已知函数，则函数y＝f(f(x))的零点所在区间为
A.(3，) B.(－1，0) C.(，4) D.(4，5)
11.已知直线y＝k(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k(x－2)与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|－2|MN|，则
A.λ<－16 B.λ＝－16 C.－12<λ<0 D.λ＝－12
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为
A.56383 B.57171 C.59189 D.61242
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.(2x－)8展开式的第5项的系数为 。
14.函数f(x)＝(－4)＋x－1的值域为 。
15.在数列{an}中，a1＝1，an≠0，曲线y＝x3在点(an ，an3)处的切线经过点(an＋1，0)，下列四个结论：
①a2＝；②a3＝；③；④数列{an}是等比数列。
其中所有正确结论的编号是 。
16.在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与C重合于点P。若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边。已知a＝3，csinC＝sinA＋bsinB，且B＝60°。
(1)求△ABC的面积；
(2)若D，E是BC边上的三等分点，求sin∠DAE。
18.(12分)
如图，四棱锥E－ABCD的侧棱DE与四棱锥F－ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝CD＝4，AE＝5，AF＝3。
(1)证明：DF∥平面BCE。
(2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求cos2θ。
19.(12分)
追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向。为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：
(1)从空气质量指数属于[0，50]，(50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为。9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替。
(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
(ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元?说明你的理由。
20.(12分)
已知椭圆C：过点(1，)，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于M，N两点。
(1)证明：当a2＋9b2取得最小值时，椭圆C的离心率为。
(2)若椭圆C的焦距为2，是否存在定圆与直线MN总相切?若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由。
21.(12分)
已知函数f(x)＝2ln(x＋1)＋sinx＋1，函数g(x)＝ax－1－blnx(a，b∈R，ab≠0)。
(1)讨论g(x)的单调性；
(2)证明：当x≥0时，f(x)≤3x＋1。
(3)证明：当x>－1时，f(x)<(x2＋2x＋2)esinx。
(二)选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一个题目计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(φ为参数)。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系。已知点P的直角坐标为(－2，0)，过P的直线l与曲线C相交于M，N两点。
(1)若l的斜率为2，求l的极坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)求的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|，记不等式f(x)<4的解集为M。
(1)求M；
(2)设a，b∈M，证明：|ab|－|a|－|b|＋1>0。
