- 2021-06-21 发布 |
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文档介绍
【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题:6-4-1 平面几何中的向量方法 6-4
6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课后篇巩固提升 基础达标练 1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=( ) A.- B. C.0 D. 解析如图建立平面直角坐标系, 则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4). 又∠BDC为的夹角, ∴cos∠BDC=. 答案B 2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为( ) A.40 N B.10 N C.20 N D. N 解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N. 答案B 3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( ) A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s 解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图. ∴|v|==2(m/s). 答案B 4.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是( ) A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点 C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点 解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点. 答案ABC 5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x= . 解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=. 答案 6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于 . 解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=. 答案 7.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE. 证明 =()·() = = = =-|2+|2. 因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE. 8.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向. 解设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1. 如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v. ∵, ∴=v-v1. 这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵,∴=v-2v1. 这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速. 由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC, ∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=BC.∴|v|=20 km/h. ∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风. 能力提升练 1.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为( ) A.- B. C.- D. 解析因为3+4+5=0, 所以3+4=-5, 所以9+24+16=25. 因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1. 代入原式得=0, 所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-. 答案A 2.(2020武汉检测)O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若()·()=()·()=0,则O为△ABC的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析因为()·()=0, 则()·()=0,所以=0, 所以||=||. 同理可得||=||,即||=||=||, 所以O为△ABC的外心. 答案B 3. (多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是( ) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<, 则|F|cos θ=|f|,∴|F|=. ∵θ增大,cos θ减小,∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小. 答案AC 4.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h. 解析如图, 用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度. 由图知,||=4,||=8, 则∠AOB=60°.又|v2|=2, ∴|v1|=|v2|·tan 60°=2. 即河水的流速是2 km/h. 答案2 5.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC. 证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 设A(0,2),C(2,0), 则D(1,0),=(2,-2). 设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以. 所以.又=(1,0), 所以cos∠ADB=,cos∠FDC=, 又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC. 6.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒? 解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,||=t,||=t, ∴=|=(t,t),=|=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当时所需的时间为2 s. 素养培优练 如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. 证明设=a,=b,=e,=c,=d, 则a=e+c,b=e+d, 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2 =c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知可得a2-b2=c2-d2, 所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2, 所以e·(c-d)=0.因为=d-c, 所以=e·(d-c)=0, 所以,即AD⊥BC.查看更多