西藏拉萨中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

西藏拉萨中学2020届高三上学期月考数学（文）试题

‎2019-2020学年西藏拉萨中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.设集合,则集合中元素的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，‎ ‎∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；‎ 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；‎ 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；‎ ‎∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ ‎∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．‎ 故选C．‎ ‎2.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由及即可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由，，得：‎ ‎∴‎ 故选D ‎4.已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D.‎ 考点：函数的定义域.‎ ‎5.若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=‎ A. 2 B. ‎ C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.‎ ‎【详解】由题意知，的周期，得．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．‎ ‎6.若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，.‎ 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．‎ ‎7.函数其中，的图象的一部分如图所示，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x＝2时取最大值，求得，即可得解．‎ ‎【详解】如图根据函数图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16，‎ 又∵ω＞0，‎ ‎∴ω，‎ 当x＝2时取最大值，即2sin（2）＝2，可得：2＝2kπ，k∈Z，‎ ‎∴＝2kπ，k∈Z，‎ ‎∵0＜＜π，‎ ‎∴，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．‎ ‎8.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．‎ ‎【详解】详解：‎ ‎，‎ 将代入得，故选D．‎ ‎【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．‎ ‎9.将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，故选A．‎ ‎10.已知函数，下列结论中正确的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期为； B. 函数的图象关于直线对称；‎ C. 函数的图象关于点（）对称； D. 函数在内是增函数.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的性质对A，B，C，D个个选项逐一分析即可求得答案．‎ ‎【详解】解：对于A，，其周期为，故排除A；‎ 对于B，当时，，故可排除B；‎ 对于C，当时，，故可排除C；‎ 对于D，当时，，包含，故D成立.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的周期性、奇偶性以及单调性，属于中档题．‎ ‎11.在△ABC中，角的对边分别是，若，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴‎ ‎②，由①②可得，可得，故选B.‎ ‎12.在△ABC中，AB=，AC=1，，△ABC的面积为，则（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由三角形面积公式得，,所以．显然三角形为直角三角形，且，所以．‎ 考点：解三角形．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由三角函数的诱导公式得.‎ ‎【考点】三角函数的诱导公式 ‎【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．‎ ‎14.已知向量，且，则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 由题意可得解得.‎ ‎【名师点睛】（1）向量平行：，,‎ ‎.‎ ‎（2）向量垂直：.‎ ‎（3）向量的运算：.‎ ‎15.已知函数，若，则________．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】‎ 分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.‎ 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.‎ ‎16.已知函数为的导函数，则的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎【考点】导数 ‎【名师点睛】求函数导数的方法：‎ ‎（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；‎ ‎（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；‎ ‎（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；‎ ‎（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知函数 ‎（I）求的值 ‎（II）求的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．‎ ‎（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．‎ ‎【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，‎ ‎＝﹣cos2xsin2x，‎ ‎＝﹣2，‎ 则f（）＝﹣2sin（）＝2，‎ ‎（Ⅱ）因为．‎ 所以的最小正周期是．‎ 由正弦函数的性质得 ‎，‎ 解得，‎ 所以，的单调递增区间是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎18.已知向量．‎ ‎（1）若，求x的值；‎ ‎（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．‎ ‎【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．‎ ‎（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．‎ ‎【详解】解：（1）∵向量．‎ 由，‎ 可得：，‎ 即，‎ ‎∵x∈[0，π]‎ ‎∴．‎ ‎（2）由 ‎∵x∈[0，π]，‎ ‎∴‎ ‎∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；‎ 当，即时．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎19.在中，角的对边分别是，已知，，.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎ (1)由正弦定理可得边的关系，即，再由余弦定理得边.(2)由正弦定理求面积公式.‎ 解：(1)因为，‎ 所以由正弦定理得： ，即，‎ 由余弦定理得.‎ 所以.‎ ‎(2)因为，，.‎ 所以 点睛：要结合正弦定理得边的关系，余弦定理求边长．‎ ‎20.如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，平面，求证：平面平面.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，得，进而得即可证明 平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面 ‎【详解】证明：（1）因为，，所以，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面，平面，‎ 所以.‎ 因为，，所以，‎ 又，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题 ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）讨论的单调性．‎ ‎【答案】（1）当时，的极大值为9；当时，的极小值为 ‎ ‎（2）①当时,在R是增函数.‎ ‎②当时,的单调增区间为：,；‎ 单调减区间为：‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)代入,求导后得,再列表分析各区间上导函数正负与原函数的单调性与极值即可.‎ ‎(2)求导后再根据导函数有无零点讨论a的取值,再求解导数大于零,得递增区间,导数小于零得递减区间.‎ ‎【详解】解：（1）当时,,则 令得,得,‎ 则x,,的关系如下：‎ x ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 增 ‎9‎ 减 增 所以,当时,的极大值为9；当时,的极小值为．‎ ‎（2）,‎ ‎,‎ ‎①当时,,且仅当,时,所以在R增函数,‎ ‎②当时有两个根,,,‎ 当时,得或,所以的单调增区间为：,；‎ 当时,得,所以的单调减区间为：．‎ 综上所述, ①当时,在R是增函数.‎ ‎②当时,的单调增区间为：,；‎ 单调减区间为：‎ ‎【点睛】考查利用导数研究函数的极值问题,体现了转化的思想方法,属于中档题．‎ ‎22.设.‎ ‎（1）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若a>0,b>0,c>0且ab+bc+ac=1,求证：当xR时，f(x)‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）当a=2时，将化为分段函数，然后在不同区间上解不等式即可．（2）根据绝对值的三角不等式可得，再由基本不等式可得，从而可得结论成立．‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：当时， ‎ ‎①当时，，不等式无 解；‎ ‎②当时，可得，‎ 解得，‎ ‎∴；‎ ‎③当时，恒成立，‎ ‎∴．‎ 综上得．‎ ‎∴不等式的解集为． ‎ ‎（2）证明：当时，‎ ‎，‎ 而 ‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，．‎