高二数学4月月考试题重点班

高二数学4月月考试题重点班

- 1 - / 11 【2019 最新】精选高二数学 4 月月考试题重点班 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成 立的规律，得到一般性的等式为(　　) A.＋＝2 B.＋＝2 C.＋＝2 D.＋＝2 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(　　) ①y＝cos x(x∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y＝cos x(x∈R)是周期函数． B．②①③ A．①②③　　　　　　　 D．③②① C．②③① 3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体 的内切球切于四个面________．”(　　) A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 4．用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有 一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 - 2 - / 11 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根 5.设 a＝log32，b＝ln 2，c＝，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 6.把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第 n 行有 n 个数， 对于第 n 行按从左往右的顺序依次标记第 1 列，第 2 列，…，第 m 列( 比如三角形数表中 12 在第 5 行第 4 列，18 在第 6 行第 3 列)，则三角形 数表中 2 015 在(　　) A． 第 63 行第 2 列 B． 第 62 行第 12 列 C． 第 64 行第 30 列 D． 第 64 行第 60 列 7.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺 绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多 刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形．则 f(20)等于(　　) A． 761 B． 762 - 3 - / 11 C． 841 D． 842 8.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102， 根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63 等于(　　) A． 192 B． 202 C． 212 D． 222 9.公比为 4 的等比数列{bn}中，若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积，则有， ，也成等比数列，且公比为 4100；类比上述结论，相应地，在公差为 3 的等差数列{an}中，若 Sn 是{an}的前 n 项和，则有一相应的等差数列， 该等差数列的公差为(　　) A． 100 B． 200 C． 300 D． 400 10.观察下列事实：|x|＋|y|＝1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|＋ |y|＝2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|＋|y|＝3 不同整数解(x，y) 的个数为 12，…，则|x|＋|y|＝10 的不同整数解(x，y)的个数为(　　 ) A． 32 B． 40 - 4 - / 11 C． 80 D． 100 11.对一切实数 x，不等式 x2＋a|x|＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范 围是(　　) A． (－∞，－2] B． [－2,2] C． [－2，＋∞) D． [0，＋∞) 12.数列 0，，，，…的一个通项公式是(　　) A． B． C． D． 二、填空题(共 4 小题,每小题 5.0 分,共 20 分) 13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，f(x)＝，an＝log2，则 S2 013＝ ________. 14.点 P 是曲线 y＝x2－lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的距 离的最小值是________． 15.正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，它的 6 条对角线又围成了一个 正六边形 A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和 是________． 16.观察下列不等式： - 5 - / 11 ①＜1；②＋<；③＋＋<…，则第 5 个不等式为________． 解答题(共 6 小题,18 题 10 分，其余每小题 12.0 分,共 70 分) 、三 17.对于每项均是正整数的数列 A：a1，a2，…，an，定义变换 T1，T1 将数列 A 变换成数列 T1(A)：n，a1－1，a2－1，…，an－1. 对于每项均是非负整数的数列 B：b1，b2，…，bm，定义变换 T2，T2 将数列 B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 T2(B)． 又定义 S(B)＝2(b1＋2b2＋…＋mbm)＋＋＋…＋. 设 A0 是每项均为正整数的有穷数列， 令 Ak＋1＝T2(T1(Ak))(k＝0,1,2，…)． (1)如果数列 A0 为 2,6,4,8，写出数列 A1，A2； (2)对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明：S(T1(A))＝S(A)； (3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0，存在正整数 K ，当 k≥K 时，S(Ak＋1)＝S(Ak)． 18.设 a1，a2，a3，…，an(n∈N*)都是正数，且 a1a2a3…an＝1，试 用数学归纳法证明：a1＋a2＋a3＋…＋an≥n. 19.设 an＝1＋＋=＋…＋(n∈N*)，是否存在一次函数 g(x)，使得 a1＋a2 ＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对 n≥2 的一切正整数都成立？并试 用数学归纳法证明你的结论． 20.在△ABC 中，射影定理可表示为 a＝b·cosC＋c·cosB．其中 a，b， c 分别为角 A，B，C 的对边，类比上述定理．写出对空间四面体性质的 猜想． - 6 - / 11 21.已知 n 为正整数，试比较 n2 与 2n 的大小． 22.已知函数 f(x)满足：①对于任意实数 x，y 都有 f(x＋y)＋1＝f(x)＋ f(x)且 f()＝0；②当 x＞时，f(x)＜0. (1)求证：f(x)＝＋f(2x)； (2)用数学归纳法证明：当 x∈[，](n∈N*)时， f(x)≤1－. - 7 - / 11 参考答案 1-4.ABCA 5-8.CAAC 9-12.CBCA 13.【答案】log2＋1 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】＋＋＋＋< 17. 【 答 案 】 (1) 解 　 A0 ： 2,6,4,8 ； T1(A0) ： 4,1,5,3,7 ， A1 ： 7,5,4,3,1；T1(A1)：5,6,4,3,2,0， ∴A2：6,5,4,3,2. (2)证明　设每项均是正整数的有穷数列 A 为 a1，a2，…，an， 则 T1(A)为 n，a1－1，a2－1，…，an－1， 从而 S(T1(A))＝2[n＋2(a1－1)＋3(a2－1)＋…＋(n＋1)(an－1)]＋ n2＋(a1－1)2＋(a2－1)2＋…＋(an－1)2. 又 S(A)＝2(a1＋2a2＋…＋nan)＋＋＋…＋， 所以 S(T1(A))－S(A)＝2[n－2－3－…－(n＋1)]＋2(a1＋a2＋…＋ an)＋n2－2(a1＋a2＋…＋an) ＋n ＝－n(n＋1)＋n2＋n＝0， 故 S(T1(A))＝S(A)． (3)证明　设 A 是每项均为非负整数的数列 a1，a2，…，an. 当存在 1≤i＜j≤n，使得ai≤aj 时，交换数列 A 的第 i 项与第 j 项得 到数列 B， - 8 - / 11 则 S(B)－S(A)＝2(iaj＋jai－iai－jaj)＝2(i－j)(aj－ai)≤0. 当存在 1≤m＜n，使得 am＋1＝am＋2＝an＝0 时，若记数列 a1，a2，am 为 C， 则 S(C)＝S(A)． 所以 S(T2(A))≤S(A)． 从而对于任意给定的数列 A0，由 Ak＋1＝T2(T1(Ak))(k＝0,1,2)， 可知 S(Ak＋1)≤S(T1(Ak))． 又由(2)可知 S(T1(Ak))＝S(Ak)， 所以 S(Ak＋1)≤S(Ak)． 即对于 k∈N，要么有 S(Ak＋1)＝S(Ak)， 要么有 S(Ak＋1)≤S(Ak)－1. 因为 S(Ak)是大于 2 的整数，所以经过有限步后， 必有 S(Ak)＝S(Ak＋1)＝S(Ak＋2)＝0. 即存在正整数 K，当 k≥K 时，S(Ak＋1)＝S(A)． 18.【答案】证明　(1)当 n＝1 时，不等式成立； (2) 假设当 n ＝k －1 时，不等式成立，则当 n ＝k 时，考虑等式 a1a2a3·…·ak＝1， 若 a1，a2，a3，…，ak 相同，则都为 1，不等式得证； 若 a1，a2，a3，…，ak 不全相同，则 a1，a2，a3，…，ak 的最大数 和最小数不是同一个数， 不妨令 a1 为 a1，a2，a3，…，ak 中的最大数，a2 为 a1，a2，a3，…， ak 中的最小数． - 9 - / 11 ∵a1a2a3·…·ak＝1，∴最大数 a1≥1，最小数 a2≤1， 现将 a1a2 看成一个数，利用归纳假设，有 a1a2＋a3＋…＋ak≥k－1① 由于 a1≥1，a2≤1，所以(a1－1)(a2－1)≤0， 所以 a1a2≤a1＋a2－1② 将②代入①，得 (a1＋a2－1)＋a3＋…＋ak≥k－1，即 a1＋a2＋a3＋…＋ak≥k， ∴当 n＝k 时，结论正确． 综上可知，a1＋a2＋a3＋…＋an≥n. 19.【答案】解　假设存在一次函数 g(x)＝kx＋b(k≠0)，使得 a1＋a2 ＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对 n≥2 的一切正整数都成立， 则当 n＝2 时，a1＝g(2)(a2－1)， 又∵a1＝1，a2＝1＋，∴g(2)＝2，即 2k＋b＝2；① 当 n＝3 时，a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 又∵a1＝1，a2＝1＋，a3＝1＋＋， ∴g(3)＝3，即 3k＋b＝3，② 由①②可得 k＝1，b＝0， 所以猜想：存在 g(n)＝n， 使得 a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)(n≥2，n∈N*)成立． 下面用数学归纳法加以证明： (1)当 n＝2 时，猜想成立； (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，猜想成立，即存在 g(k)＝k，使得 a1＋ a2＋a3＋…＋ak－1＝g(k)(ak－1)对 k≥2 的一切正整数都成立，则 - 10 - / 11 当 n＝k＋1 时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＝(a1＋a2＋a3＋…＋ak－1)＋ak ＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k， 又∵ak＋1＝1＋＋＋…＋＋＝ak＋， ∴ak＝ak＋1－， ∴a1＋a2＋a3＋…＋ak＝(k＋1)(ak＋1－)－k ＝(k＋1)(ak＋1－1)， ∴当 n＝k＋1 时，猜想也成立. 由(1)(2)可知，对于一切n(n≥2，n∈N*)有 g(n)＝n，使得 a1＋a2＋a3＋ …＋an－1＝g(n)(an－1)都成立． 20.【答案】解　在四面体 P－ABC 中，S1，S2，S3、S 分别表示△PAB，△PBC ，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间 ，其表现形式应为 S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ. 21.【答案】解　当 n＝1 时，n2＜2n； 当 n＝2 时，n2＝2n； 当 n＝3 时，n2＞2n； 当 n＝4 时，n2＝2n； 当 n＝5 时，n2＜2n; 当 n＝6 时，n2＜2n. 猜想：当 n≥5 且 n∈N*时，n2＜2n. 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝5 时，由上面的探求可知猜想成立； - 11 - / 11 ②假设当 n＝k(k≥5 且 k∈N*)时，猜想成立，即 2k＞k2， 则当 n＝k＋1 时，2·2k＞2k2， ∵2k2－(k＋1)2＝k2－2k－1＝(k－1)2－2， 当 k≥5 时，(k－1)2－2＞0， ∴2k2＞(k＋1)2， 从而 2k＋1＞(k＋1)2， 所以当 n＝k＋1 时，猜想也成立． 综合①②可知，对于 n∈N*，猜想都成立． 22.【答案】证明　(1)令 y＝x，可得 f(2x)＋1＝f(x)＋f(x)， 所以 f(x)＝＋f(2x)． (2)①当 n＝1 时，x∈[，]， 则 2x∈[，1]，所以 f(2x)≤0， 又 f(2x)＋1＝2f(x)，所以 f(x)＝＋f(2x)≤＝1－， 所以当 n＝1 时命题成立； ②假设 n＝k 时命题成立，即当 x∈[，](k∈N*)时，f(x)≤1－， 则当 n＝k＋1 时，x∈[，]，2x∈[，]，则 f(x)＝＋f(2x)≤＋－ ＝1－， 当 n＝k＋1 时命题成立． 综上①②可知，当 x∈[，](n∈N*)时， f(x)≤1－.