2017-2018学年新疆昌吉市教育共同体四校高二下学期期末联考数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 新疆昌吉市教育共同体四校2017-2018学年高二下学期期末联考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为(   )‎ A. 6,8 B. 6,6 C. 5,2 D. 6,2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数.‎ 详解：由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有种；‎ 再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有种走法，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎2．若,则等于( )‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.‎ 详解：由题意且，，解得，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎3．已知圆的直角坐标方程在以原点为极点, 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为(    )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可把圆的直角坐标方程化为极坐标方程.‎ 详解：将代入，‎ 即可得到圆的极坐标方程为，即，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，其中熟记极坐标与直角的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎4．设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题是一个古典概型，‎ ‎∵袋中有80个红球20个白球，‎ 若从袋中任取10个球共有种不同取法，‎ 而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有种取法，‎ 由古典概型公式得到P= ，‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎(1)‎ 基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎5．记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照,要求排成一排, 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有(   )‎ A. 1440种 B. 960种 C. 720种 D. 480种 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：可分3步．‎ 第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有种排法，‎ 第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有种排法 第三步，2名老人之间的排列，有种排法 最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法 考点：排列、组合及简单计数问题 ‎6．的常数项为(   )‎ A. 28 B. 56 C. 112 D. 224‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由二项展开式的通项，即可求解展开式的常数项.‎ 详解：由题意，二项式展开式的通项为，‎ 当时，，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎7．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共个,其中白球个.从中任取两个,则概率为的事件是(   ).‎ A. 没有白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个红球 D. 至多有一个白球 ‎【答案】B ‎【解析】表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎8．设 是服从二项分布的随机变量,又,,则与的值分别为(     )‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程，即可求解答案.‎ 详解：由题意随机变量，‎ 又由，且，解得，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了二项分布的期望与方差的计算公式的应用，其中熟记二项分布的数学期望和方差的计算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎9．已知,则等于(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案.‎ 详解：由题意，根据条件概率的计算公式，‎ 则，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎10．甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛,已知每局甲取胜的概率为0.6,乙取胜的概率为0.4,那么最终甲胜乙的概率为 A. 0.36 B. 0.216 C. 0.432 D. 0.648‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，要使得甲胜乙，则包含着甲胜前两局或甲胜第一、三局或甲胜二、三局三种情况，根据互斥时间的概率和相互独立了的计算的公式，即可求解答案.‎ 详解：由题意，每局中甲取胜的概率为，乙取胜的概率为，‎ 则使得甲胜乙，则包含着甲胜前两局或甲胜第一、三局或甲胜二、三局三种情况，‎ 根据互斥时间的概率和相互独立了的计算的公式得：‎ ‎，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率的计算，其中根据题意得出甲取胜的三种情况是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．两名女生,4名男生排成一排,则两名女生不相邻的排法共有______ 种(以数字作答)‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】分析：由题意,先排男生,再插入女生,即可得两名女生不相邻的排法.‎ 详解：由题意，其中名男生共有种不同的排法，‎ 再将两名女生插入名男生之间，共有中不同的方法，‎ 所以两名女生不相邻的排法共有中不同的排法.‎ 点睛：本题主要考查了排列的应用，其中认真分析题意，得道现排四名男生，在把两名女生插入四名男生之间是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎12．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有个红球,则为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球的取法，再求得当个球都是红球的取法，利用古典概型的概率计算公式，即可得到答案.‎ 详解：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球，共有种方法，‎ 其中当个球都是红球的取法有种方法，所以概率为.‎ 点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中概率排列、组合的知识得到基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎13．已知随机变量，若，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且，依据正态分布对称性，即可求得答案.‎ 详解：根据随机变量服从正态分布，‎ 正态曲线的对称轴是x=1，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 故答案为：0.8.‎ 点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.‎ ‎14．已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、曲线的交点为则弦的长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解的长.‎ 详解：由,,将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为 ‎:,即,故为圆心为,半径为的圆, ‎ ‎:,即,表示过原点倾斜角为的直线，‎ 因为的解为，，所以.‎ 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．一个口袋里装有个白球和个红球,从口袋中任取个球.‎ ‎（1）共有多少种不同的取法?‎ ‎（2）其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?‎ ‎（3）其中不含红球,共有多少种不同的取法?‎ ‎【答案】（1）56；（2）35；（3）21‎ ‎【解析】分析：（1）从口袋里的个球中任取个球,利用组合数的计算公式，即可求解.‎ ‎（2）从口袋里的个球中任取个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成:第一步,从 个白球中任取个白球,第二步,把个红球取出,即可得到答案.‎ ‎（3）从口袋里任取个球,其中不含红球,只需从个白球中任取个白球即可得到结果.‎ 详解：（1）从口袋里的个球中任取个球,不同取法的种数是 ‎（2）从口袋里的个球中任取个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成:‎ 第一步,从个白球中任取个白球,有种取法;‎ 第二步,把个红球取出,有种取法.‎ 故不同取法的种数是: ‎ ‎（3）从口袋里任取个球,其中不含红球,‎ 只需从个白球中任取个白球即可,‎ 不同取法的种数是.‎ 点睛：本题主要考查了组合及组合数的应用，其中认真分析题意，合理选择组合及组合数的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.‎ ‎16．完成下列各题.‎ ‎(1)求的展开式;‎ ‎(2)化简.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据二项定理，即可得到二项时的展开式；‎ ‎（2）根据二项式定理的逆用，即可得到相应的二项式.‎ 详解：（1） ‎ ‎.‎ ‎（2）原式 ‎ ‎ .‎ 点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项式定理的展开式的结果形式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据 ‎(1)求 ‎(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;‎ ‎(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据1求出的线性同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? ‎ ‎(附: ,,,,其中,为样本平均值)‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）19.65‎ ‎【解析】分析：（1）根据最小二乘法，求得，进而得到，即可得到回归直线的方程；‎ ‎（2）由（1）中的回归直线方程，即可求解求解技前生产100吨甲产品的能耗，进而求得降低的生产能耗.‎ 详解：（1）‎ 由知: ,‎ 所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为: ‎ ‎, ‎ 因此,所求的线性回归方程为.‎ ‎（3）由1的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为: (吨标准煤).‎ 点睛：本题主要考查了回归直线方程的求解以及回归直线方程的应用，其中利用最小二乘法准确计算和的值是解答的关键，着重考查了考生的推理与运算能力.‎ ‎18．甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．‎ ‎（1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；‎ ‎（2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）．‎ ‎（2）的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．利用对立事件、独立事件概率的计算公式即得所求；‎ ‎．‎ ‎（2）注意到的所有可能取值为0,1,2,3．利用独立事件概率的计算、互斥事件概率的计算得 的分布列，应用数学期望计算公式可得．‎ 试题解析：（1）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．则 ‎．（4分）‎ ‎（2）的所有可能取值为0,1,2,3．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．（12分）‎ 考点：互斥事件、对立事件、独立事件概率的计算，随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎19．2017年10月18日上午9:00,中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕. 习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调査网站从观看十九大的观众中随机选出200人,经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4:1. 将这200人按年龄分组:第1组[15, 25),第2组[25, 35),第3组[35, 45),第4组[45, 55),第5组[55, 65),其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示 ‎ ‎(1）求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄 ‎（2）把年龄在第1,2,3组的观众称为青少年组,年龄在第4,5组的观众称为中老年组,若选出的200人中通过新型的传媒方式PC端口观看的中老年人有12人,请完成下面2×2列联表,则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关?‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 中老年 合计 附: (其中样本容量)‎ ‎【答案】见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由频率分布直方图的性质，可得，进而可求得通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；‎ ‎（2）由题意得列联表，利用公式计算的值，即可作出判断.‎ 详解：（1）由频率分布直方图可得: 解得 所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为:‎ ‎（2）由题意得2×2列联表:‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 ‎28‎ ‎96‎ ‎124‎ 中老年 ‎12‎ ‎64‎ ‎76‎ 合计 ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ 计算得的观测值为,‎ 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关.‎ 点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用问题，其中熟记频率发布直方图的性质和准确计算的值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎