2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-5-2点、直线、平面之间的位置关系

2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-5-2点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题 ‎1．[2016·银川一中一模]已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是(　　)‎ A．m、n与α成等角 B．m⊥α且n⊥α C．m∥α且n⊂α D．m∥α且n∥α 答案　A 解析　m∥n⇒m、n与α成等角，若m、n与α成等角，m、n不一定平行，故选A.‎ ‎2．[2016·“江南十校”高三联考]下列结论正确的是(　　)‎ A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β C．若两直线l1、l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2‎ D．若直线l上两个不同的点A、B到平面α的距离相等，则l∥α 答案　B 解析　A选项，α与β可能相交；C选项，l1，l2可能相交或异面；D选项，l可能与α相交，A、B在平面α两侧；B正确，故选B.‎ ‎3．[2015·广东高考]若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值(　　)‎ A．至多等于3 B．至多等于4‎ C．等于5 D．大于5‎ 答案　B 解析　首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.‎ ‎4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)‎ A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 答案　D 解析　如图，连接C1D，BD，AC，在△C1DB中，易知MN∥BD，故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，‎ ‎∴CC1⊥BD，‎ ‎∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，‎ ‎∴MN与AC垂直，故B正确；‎ ‎∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.‎ ‎5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1＝1.点E，F分别为棱B1C1，C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF.则当点P运动时，HP2的最小值是(　　)‎ A．7－ B．27－6 C．51－14 D．14－2 答案　B 解析　如图所示，以EF为直径，在平面BCC1B1内作圆，易知点P在该圆上，该圆的半径为EF＝，再过点H引BB1的垂线，垂足为G，连接GP，∴HP2＝HG2＋GP2，其中HG为4，因此当GP最小时，HP取得最小值，此时GP＝3－，∴HP2＝(3－)2＋42＝9－6＋2＋16＝27－6，∴HP2的最小值为27－6.故选B.‎ ‎6.如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是.点D为斜边AB的中点，则异面直线AO与CD所成角的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，∵AO⊥OB，AO⊥OC，∴∠BOC＝，∵AB＝4，∠OAB＝，∴OB＝OC＝2，过点D作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，∴∠CDE为异面直线AO与CD所成的角，∵OE＝1，OC＝2，∠BOC＝，∴CE＝，∵点D为AB的中点，∴DE＝，∴Rt△DEC是等腰直角三角形，∴∠CDE＝，即异面直线AO与CD所成角的大小为.‎ 二、填空题 ‎7．给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)‎ 答案　②④‎ 解析　对于①，若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行或相交，所以①不正确．对于②，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是判定定理，②正确．对于③，垂直于同一直线的两条直线可能相互平行，也可能是异面直线，③不正确．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，④正确．‎ ‎8．[2016·江南十校联考]已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：‎ ‎①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形；‎ ‎②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；‎ ‎③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；‎ ‎④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为.‎ 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)‎ 答案　①②④‎ 解析　由题意知AC⊥BC，对于①，若PA⊥‎ 平面ABC，则PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，因此该三棱锥P－ABC的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M为△ABC的外心，所以MA＝MB＝MC.∵PM⊥平面ABC，则PM⊥MA，PM⊥MB，PM⊥MC，由三角形全等可知PA＝PB＝PC，故②正确；对于③，要使△PCM的面积最小，只需CM最短，在Rt△ABC中，(CM)min＝，∴(S△PCM)min＝××5＝6，故③错误；对于④，设P点在平面ABC内的射影为O，且O为△ABC的内心，由平面几何知识得△ABC的内切圆半径r＝1，且OC＝，在Rt△POC中，PO＝＝，‎ ‎∴点P到平面ABC的距离为，故④正确．‎ ‎9. [2015·大连高三双基测试]如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________．‎ 答案　 解析　因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面ADC，BC⊥AF，又AF⊥CD，所以AF⊥平面DCB，AF⊥DB，又DB⊥AE，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高，且AF⊥EF.AE为等腰三角形ABD斜边上的高，所以AE＝，设AF＝a，FE＝b，则底面△AEF的面积S＝ab≤·＝×‎ ＝，所以三棱锥D－AEF的体积V≤××＝(当且仅当a＝b＝1时等号成立)．‎ 三、解答题 ‎10．[2016·湖南六校联考]如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面BDE；‎ ‎(2)若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F－BDE的体积．‎ 解　(1)证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，‎ 因为平面ADEF⊥平面ABCD，‎ 所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.‎ 又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，∠BDC＝45°，所以BC＝，‎ 在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，‎ 所以BC⊥BD，所以BC⊥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)得，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE于点H，则DH⊥平面BCE，‎ 所以DH＝.在△BDE中，BD·DE＝BE·DH，即·DE＝()，解得DE＝1.‎ 所以VF－BDE＝VB－EFD＝××1×1×1＝.‎ ‎11．[2016·广州五校联考]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．‎ ‎(1)求证：AD⊥平面PBE；‎ ‎(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；‎ ‎(3)若VP－BCDE＝2VQ－ABCD，试求的值．‎ 解　(1)证明：由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.‎ 又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，‎ 所以AB＝BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，‎ 又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.‎ ‎(2)证明：连接AC，交BD于点O，连接OQ.‎ 因为O是AC的中点，‎ Q是PC的中点，‎ 所以OQ∥PA，‎ 又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(3)设四棱锥P－BCDE，Q－ABCD的高分别为h1，h2.‎ 所以VP－BCDE＝S四边形BCDEh1，‎ VQ－ABCD＝S四边形ABCDh2.‎ 又因为VP－BCDE＝2VQ－ABCD，‎ 且S四边形BCDE＝S四边形ABCD，‎ 所以＝＝.‎ ‎12．[2016·郑州质检]如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面AA′C′C；‎ ‎(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′‎ MN，试证明你的结论．‎ 解　(1)证明：取A′B′的中点E，连接ME，NE.‎ 因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，‎ 所以NE∥A′C′，ME∥AA′.‎ 又因为A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，NE⊄平面AA′C′C，ME⊄平面AA′C′C，‎ 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，‎ 所以平面MNE∥平面AA′C′C，‎ 因为MN⊂平面MNE，‎ 所以MN∥平面AA′C′C.‎ ‎(2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，‎ 由题意知BC＝λa，NC＝BN＝，‎ 因为三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，‎ 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，‎ 因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，‎ 所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，‎ 所以CN2＋BN2＝BC2，即2＝2λ2a2，‎ 解得λ＝，‎ 故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.‎ 典题例证 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ 审题过程 　利用线面垂直进行转化．‎ 　对于存在性问题，可以选通过特殊位置确定，再进行证明.‎ 　(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC，且AC与PC相交于点C，‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，‎ 所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥AB.‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：‎ 如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.‎ 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF.‎ 模型归纳 空间中平行与垂直的证明的模型示意图如下：‎