2017届高考文科数学(全国通用)二轮适考素能特训:专题2-5-2点、直线、平面之间的位置关系

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文档介绍

2017届高考文科数学(全国通用)二轮适考素能特训:专题2-5-2点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题 ‎1.[2016·银川一中一模]已知直线m、n和平面α,则m∥n的必要非充分条件是(  )‎ A.m、n与α成等角 B.m⊥α且n⊥α C.m∥α且n⊂α D.m∥α且n∥α 答案 A 解析 m∥n⇒m、n与α成等角,若m、n与α成等角,m、n不一定平行,故选A.‎ ‎2.[2016·“江南十校”高三联考]下列结论正确的是(  )‎ A.若直线l∥平面α,直线l∥平面β,则α∥β B.若直线l⊥平面α,直线l⊥平面β,则α∥β C.若两直线l1、l2与平面α所成的角相等,则l1∥l2‎ D.若直线l上两个不同的点A、B到平面α的距离相等,则l∥α 答案 B 解析 A选项,α与β可能相交;C选项,l1,l2可能相交或异面;D选项,l可能与α相交,A、B在平面α两侧;B正确,故选B.‎ ‎3.[2015·广东高考]若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值(  )‎ A.至多等于3 B.至多等于4‎ C.等于5 D.大于5‎ 答案 B 解析 首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等,于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等,于是排除A,故选B.‎ ‎4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(  )‎ A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 答案 D 解析 如图,连接C1D,BD,AC,在△C1DB中,易知MN∥BD,故C正确;∵CC1⊥平面ABCD,‎ ‎∴CC1⊥BD,‎ ‎∴MN与CC1垂直,故A正确;∵AC⊥BD,MN∥BD,‎ ‎∴MN与AC垂直,故B正确;‎ ‎∵A1B1与BD异面,MN∥BD,∴MN与A1B1不可能平行,故D错误,选D.‎ ‎5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点H在棱AA1上,且HA1=1.点E,F分别为棱B1C1,C1C的中点,P是侧面BCC1B1内一动点,且满足PE⊥PF.则当点P运动时,HP2的最小值是(  )‎ A.7- B.27-6 C.51-14 D.14-2 答案 B 解析 如图所示,以EF为直径,在平面BCC1B1内作圆,易知点P在该圆上,该圆的半径为EF=,再过点H引BB1的垂线,垂足为G,连接GP,∴HP2=HG2+GP2,其中HG为4,因此当GP最小时,HP取得最小值,此时GP=3-,∴HP2=(3-)2+42=9-6+2+16=27-6,∴HP2的最小值为27-6.故选B.‎ ‎6.如图,在Rt△AOB中,∠OAB=,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是.点D为斜边AB的中点,则异面直线AO与CD所成角的大小为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 如图,∵AO⊥OB,AO⊥OC,∴∠BOC=,∵AB=4,∠OAB=,∴OB=OC=2,过点D作DE⊥OB,垂足为E,连接CE,则DE∥AO,∴∠CDE为异面直线AO与CD所成的角,∵OE=1,OC=2,∠BOC=,∴CE=,∵点D为AB的中点,∴DE=,∴Rt△DEC是等腰直角三角形,∴∠CDE=,即异面直线AO与CD所成角的大小为.‎ 二、填空题 ‎7.给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中,为真命题的是________.(写出所有真命题的序号)‎ 答案 ②④‎ 解析 对于①,若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行或相交,所以①不正确.对于②,若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直,这是判定定理,②正确.对于③,垂直于同一直线的两条直线可能相互平行,也可能是异面直线,③不正确.对于④,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,④正确.‎ ‎8.[2016·江南十校联考]已知△ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点.给出下列四个命题:‎ ‎①若PA⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形;‎ ‎②若PM⊥平面ABC,且M是AB边的中点,则有PA=PB=PC;‎ ‎③若PC=5,PC⊥平面ABC,则△PCM面积的最小值为;‎ ‎④若PC=5,P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心,则点P到平面ABC的距离为.‎ 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)‎ 答案 ①②④‎ 解析 由题意知AC⊥BC,对于①,若PA⊥‎ 平面ABC,则PA⊥BC,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,因此该三棱锥P-ABC的四个面均为直角三角形,①正确;对于②,由已知得M为△ABC的外心,所以MA=MB=MC.∵PM⊥平面ABC,则PM⊥MA,PM⊥MB,PM⊥MC,由三角形全等可知PA=PB=PC,故②正确;对于③,要使△PCM的面积最小,只需CM最短,在Rt△ABC中,(CM)min=,∴(S△PCM)min=××5=6,故③错误;对于④,设P点在平面ABC内的射影为O,且O为△ABC的内心,由平面几何知识得△ABC的内切圆半径r=1,且OC=,在Rt△POC中,PO==,‎ ‎∴点P到平面ABC的距离为,故④正确.‎ ‎9. [2015·大连高三双基测试]如图,∠ACB=90°,DA⊥平面ABC,AE⊥DB交DB于E,AF⊥DC交DC于F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为________.‎ 答案  解析 因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥BC,又BC⊥AC,所以BC⊥平面ADC,BC⊥AF,又AF⊥CD,所以AF⊥平面DCB,AF⊥DB,又DB⊥AE,所以DB⊥平面AEF,所以DE为三棱锥D-AEF的高,且AF⊥EF.AE为等腰三角形ABD斜边上的高,所以AE=,设AF=a,FE=b,则底面△AEF的面积S=ab≤·=×‎ =,所以三棱锥D-AEF的体积V≤××=(当且仅当a=b=1时等号成立).‎ 三、解答题 ‎10.[2016·湖南六校联考]如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF,然后沿边AD将矩形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面BDE;‎ ‎(2)若点D到平面BEC的距离为,求三棱锥F-BDE的体积.‎ 解 (1)证明:在矩形ADEF中,ED⊥AD,‎ 因为平面ADEF⊥平面ABCD,‎ 所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC.‎ 又在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,∠BDC=45°,所以BC=,‎ 在△BCD中,BD=BC=,CD=2,所以BD2+BC2=CD2,‎ 所以BC⊥BD,所以BC⊥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)得,平面DBE⊥平面BCE,作DH⊥BE于点H,则DH⊥平面BCE,‎ 所以DH=.在△BDE中,BD·DE=BE·DH,即·DE=(),解得DE=1.‎ 所以VF-BDE=VB-EFD=××1×1×1=.‎ ‎11.[2016·广州五校联考]如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.‎ ‎(1)求证:AD⊥平面PBE;‎ ‎(2)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ;‎ ‎(3)若VP-BCDE=2VQ-ABCD,试求的值.‎ 解 (1)证明:由E是AD的中点,PA=PD可得AD⊥PE.‎ 又底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,‎ 所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以AD⊥BE,‎ 又PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE.‎ ‎(2)证明:连接AC,交BD于点O,连接OQ.‎ 因为O是AC的中点,‎ Q是PC的中点,‎ 所以OQ∥PA,‎ 又PA⊄平面BDQ,OQ⊂平面BDQ,‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(3)设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为h1,h2.‎ 所以VP-BCDE=S四边形BCDEh1,‎ VQ-ABCD=S四边形ABCDh2.‎ 又因为VP-BCDE=2VQ-ABCD,‎ 且S四边形BCDE=S四边形ABCD,‎ 所以==.‎ ‎12.[2016·郑州质检]如图,已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面AA′C′C;‎ ‎(2)设AB=λAA′,当λ为何值时,CN⊥平面A′‎ MN,试证明你的结论.‎ 解 (1)证明:取A′B′的中点E,连接ME,NE.‎ 因为M,N分别为A′B和B′C′的中点,‎ 所以NE∥A′C′,ME∥AA′.‎ 又因为A′C′⊂平面AA′C′C,A′A⊂平面AA′C′C,NE⊄平面AA′C′C,ME⊄平面AA′C′C,‎ 所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,‎ 所以平面MNE∥平面AA′C′C,‎ 因为MN⊂平面MNE,‎ 所以MN∥平面AA′C′C.‎ ‎(2)连接BN,设AA′=a,则AB=λAA′=λa,‎ 由题意知BC=λa,NC=BN=,‎ 因为三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,‎ 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,‎ 因为AB=AC,点N是B′C′的中点,‎ 所以A′N⊥平面BB′C′C,所以CN⊥A′N,要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,‎ 所以CN2+BN2=BC2,即2=2λ2a2,‎ 解得λ=,‎ 故当λ=时,CN⊥平面A′MN.‎ 典题例证 如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.‎ ‎(1)求证:DC⊥平面PAC;‎ ‎(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;‎ ‎(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.‎ 审题过程  利用线面垂直进行转化.‎  对于存在性问题,可以选通过特殊位置确定,再进行证明.‎  (1)证明:因为PC⊥平面ABCD,‎ 所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC,且AC与PC相交于点C,‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,‎ 所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD,‎ 所以PC⊥AB.‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:‎ 如图,取PB中点F,连接EF,CE,CF.‎ 又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF,‎ 所以PA∥平面CEF.‎ 模型归纳 空间中平行与垂直的证明的模型示意图如下:‎
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