专题39+双曲线（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题39+双曲线（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1　　 B.－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A．‎ ‎2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋ 2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．＋1‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由已知得＝2，所以e＝＝＝＝，故选B.‎ ‎3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)‎ C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)‎ ‎【答案】B　‎ ‎4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点到两个焦点的距离分别为10和4，且离心率为2，则该双曲线的虚轴长为(　　) ‎ A．3 B．6‎ C．3 D．6 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由题意得2a＝10－4＝6，解得a＝3，又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝6，则b＝＝3‎ ，所以该双曲线的虚轴长为2b＝6，故选D.‎ ‎5．双曲线－＝1(a≠0)的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x ‎【答案】A ‎【解析】根据双曲线的渐近线方程知，‎ y＝±x＝±2x，故选A. ‎ ‎∵|AB|＝4>1，∴此时有两条直线符合题意；当直线AB与双曲线两支相交时，此时A、B的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a＝4，距离无最大值．∵|AB|＝4，‎ ‎∴此时有1条直线符合条件．综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.‎ ‎11．已知不等式3x2－y2>0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y＝x和直线y＝－x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是(　　)‎ A．(2,0) B．(3,0)‎ C．(0,2) D．(0,3)‎ ‎【答案】A ‎12．设A(－3,0)，B(3,0)，若直线y＝－(x－5)上存在一点P满足|PA|－|PB|＝4，则点P到x轴的距离为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】A ‎【解析】∵A(－3,0)，B(3,0)，‎ 点P满足|PA|－|PB|＝4<|AB|，‎ ‎∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，‎ 其中c＝3,2a＝4，则a＝2，b2＝5，‎ 即双曲线方程为－＝1(x>0)．‎ 若直线y＝－(x－5)上存在一点P满足|PA|－|PB|＝4，消去y得16x2＋90x－325＝0，‎ 得x＝或x＝－(舍)，此时y＝，‎ 即点P到x轴的距离为，故选A.‎ ‎13．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．－3 D．－2‎ ‎【答案】B ‎14．已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C． 2 D．2 ‎【答案】B ‎【解析】不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知，取A点坐标为，取B点坐标为，则C点坐标为且F1(－c,0)．由AC⊥BF1知·＝0，又＝，＝，可得2c2－＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或，又e>1，‎ 所以e＝.故选B. ‎ ‎20．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．‎ ‎【答案】(2，8)‎ ‎【解析】如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，‎ ‎21．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．‎ ‎【解析】　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.‎ 设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ ‎∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，‎ 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ ‎∴＝3，得a＝3，b＝4，‎ ‎∴双曲线G的方程为－＝1. ‎ ‎22．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0.‎ ‎【解析】　(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，‎ ‎∴双曲线的方程为x2－y2＝6.‎ ‎23．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆及双曲线的方程．‎ ‎(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积. ‎ ‎(2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)，‎ ‎|AB|＝10，‎ 设M(x0，y0)，则由＝得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5, 2y0)．‎ 将M，P坐标代入椭圆和双曲线方程，‎ 得 消去y0，得2x－5x0－25＝0.解之，‎ 得x0＝－或x0＝5(舍去)．‎ 所以y0＝.‎ 由此可得M，‎ 所以P(－10,3)．‎ 当P为(－10,3)时，‎ 直线PA的方程是y＝(x＋5)，‎ 即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.‎ 所以x＝－或－5(舍去)，‎ 所以xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴．‎ 所以S四边形ANBM＝2S△AMB ‎＝2××10×＝15.‎