2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

‎2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 ‎ 数 学（文科） 2013.4‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．‎ ‎　　2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．‎ ‎　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．‎ 参考公式：棱锥的体积公式：．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，集合，则等于 A． B． C． D． ‎ ‎2．已知复数的实部为，且，则复数的虚部是 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知命题：，，那么是 A．，‎ B．， ‎ C．，‎ D．，‎ ‎4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于‎110cm的株数是 ‎ A．30 B．60 ‎ ‎90‎ ‎110‎ 周长(cm)‎ ‎ 频率/组距 ‎100‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎80‎ 第4题图 C．70 D．80‎ ‎5．函数，,则 A．为偶函数，且在上单调递减;‎ B．为偶函数，且在上单调递增;‎ C．为奇函数，且在上单调递增;‎ D．为奇函数，且在上单调递减.‎ ‎6．设等比数列的前项和为，则“”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7．已知幂函数，当时，恒有，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎① 若 则 ②若，，则 ‎③ 若，则 ④若，则 其中真命题的序号是 A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③‎ ‎9．直线与不等式组表示平面区域的公共点有 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 ‎10．已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．设是长为2的线段，点集所表示图形的面积为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎（一）必做题(11～13题)‎ ‎11．已知向量满足, ,则向量与的夹角为 .‎ ‎12．已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . ‎ 第13题图 ‎13．将集合{|且}中的元素按上小下大，‎ 左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于 第行第列的数记为（）,则= . ‎ ‎(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)‎ 第15题图 ‎14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 ．‎ ‎15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，‎ 直线与圆O相切于点， 于D，‎ 若，设，则______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限，‎ 已知.‎ ‎（1）若,求的值. ‎ ‎（2）若点横坐标为,求.‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，‎ 第17题图 乙 甲 丙 ‎（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）;‎ ‎（2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的 道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道 相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？ ‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 第18题图 如图，在四棱柱中， 已知底面是边长为的正方形， 侧棱垂直于底面，且．‎ ‎ （1）点在侧棱上，若，‎ ‎ 求证：平面；‎ ‎ （2）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 已知椭圆和抛物线有公共焦点, 的中心和的顶点都在坐标原点，直线过点. ‎ ‎（1）写出抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积，前四年每年以的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加.设第)年新城区的住房总面积为，该地的住房总面积为.‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎（2）若每年拆除，比较与的大小.‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 已知函数，，是常数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若有极大值，求的取值范围.‎ 文科数学评分参考 一、填空题 BDBCACBDBD 二、填空题 ‎11． 12． 13．‎ ‎14．（或） 15．‎ 三、解答题 ‎16．⑴解法1、‎ 由题可知：，， ……1分 ‎， ……2分 ‎，得 ……3分 ‎∴， ……4分 解法2、‎ 由题可知：， ……1分 ‎， ……2分 ‎∵，∴ ……3分 ‎， 得 ……4分 解法3、‎ 设，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）‎ ‎⑵解法1、‎ 由⑴， 记， ‎ ‎∴，（每式1分） ……6分 ‎∵ ，得（列式计算各1分） ……8分 ‎（列式计算各1分） ……10分 ‎∴（列式计算各1分） ……12分 解法2、‎ 由题意得：的直线方程为 ……6分 则 即（列式计算各1分） ……8分 则点到直线的距离为（列式计算各1分） ……10分 又，∴（每式1分）…12分 解法3、‎ ‎ 即 （每式1分） ……6分 即：， ， ……7分 ‎，，……9分 ‎（模长、角的余弦各1分）‎ ‎∴ ……10分 则（列式计算各1分） ……12分 解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）‎ ‎17．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2个1分，3-5个2分，5-7个3分，7-11个4分，） ……5分 共12种情况 ……6分 ‎⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分 共4种情况， ……8分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率（文字说明1分）……12分 ‎18．⑴解法1、‎ 依题意，，，在中， ……1分 同理可知，， （每式1分） ……3分 所以， ……4分 则， ……5分 同理可证，， ……6分 由于，平面，平面， ……7分 所以，平面． ……8分 解法2、‎ 由（或）和证明平面（证明任何一个线线垂直关系给5分，第二个线线垂直关系给1分）‎ ‎⑵解法1、‎ ‎（第8题图1）‎ ‎（第18题图2）‎ 如图1，易知三棱锥的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即（文字说明1分）……11分 ‎ ……13分 ‎ ……14分 解法2、‎ 依题意知，三棱锥的各棱长分别是 ‎，（每式1分）……10分 如图2，设的中点为，连接，‎ 则，，且，‎ 于是平面， ……12分 设的中点为，连接，则，且，‎ 则三角形的面积为， ……13分 所以，三棱锥的体积． ……14分 ‎19．⑴由题意，抛物线的焦点，则 ……2分 所以方程为：． ……3分 ‎⑵解法1、‎ 设，则中点为， ……4分 因为两点关于直线对称，所以（每方程1分）……6分 即，解之得， ……7分 将其代入抛物线方程，得：，所以（列式计算各1分）……9分 联立 ，消去，得： ……11分 由，得， ……12分 注意到，即，所以，即， ……13分 因此，椭圆长轴长的最小值为. ……14分 解法2、‎ 设 ，因为两点关于直线对称，则， ……5分 即，解之得 ……6分 即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于 如图.则,于是直线方程为（讨论、斜率与方程各1分） ……9分 联立 ，消去，得： ……11分 由，得， ……12分 注意到，即，所以，即， ……13分 因此，椭圆长轴长的最小值为. ……14分 ‎20．⑴设第年新城区的住房建设面积为，则当时，；……1分 当时，. ……2分 所以, 当时， ……3分 当时，（列式1分）……5分 故 ……6分 ‎⑵时，，，显然有 ……7分 ‎ 时，，，此时. ……8分 ‎ 时，，（每式1分）……10分 ‎. ……11分 所以,时，；时，.时，显然……13分 ‎（对1-2种情况给1分，全对给2分）‎ 故当时，；当 时，. ……14分 ‎21．⑴ ……1分 设，其判别式 ……2分 ①当时，，,在定义域上是增函数； ……3分 当时，由解得：‎ ‎ （每个根1分）……5分 ②当时，，；又，，故，即在定义域上有两个零点 在区间上，，，， 为上的增函数 在区间上，，，，为上的增函数 在区间上，，，,为上的增函数. ……6分 ③当时，，在区间上，，，；在区间上，，，， ……7分 ④当时，函数的定义域是，，在上有零点，在上有零点；在区间和上，，在和上为增函数；在区间和上，，在和上位减函数. ……8分 综上: 当时,函数的递增区间是；当时, 的递增区间是和,递减区间是；当时，的递减区间是；递增区间是；当时，的递减区间和,递增区间是和. ……9分 ‎⑵当时，的定义域是，当时，的定义域是，，令，则（每个导数1分） ……11分 在区间上，，是增函数且；‎ 在区间上，，是减函数且；‎ 当时，. ……12分 故当时，，无极大值；‎ 当时，，方程在区间和上分别有一解，此时函数在处取得极大值； ……13分 当时，方程在区间上有一解，此时函数在处取得极大值.‎ 综上所述，若有极大值，则的取值范围是. ……14分