2017-2018学年山东省栖霞二中高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省栖霞二中高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省栖霞二中高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由交集的定义求得参数，再根据并集定义求得并集．‎ 详解：由题意，，则，又，∴，即，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查集合交集与并集运算，解题时可根据是和的子集求得参数，从而得集合，再根据并集运算定义求得并集．解决集合问题确定集合的元素是解题关键．‎ ‎2．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据函数的定义，中的与中的的取值范围相同．‎ 详解：由题意，解得．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查求抽象函数定义域．解题的根据是中的与中的的取值范围相同，由此可得的不等关系．‎ ‎3．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据定义判断奇偶性再判断单调性．‎ 详解：A既不是奇函数也不偶函数，B是偶函数，，C、D是奇函数，而C中函数在上递减，只有D中函数在上是增函数．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，可根据奇偶性的定义判断奇偶性，再在奇函数里考察其单调性．‎ ‎4．若函数的唯一零点同时在区间，，内，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 函数在区间内有零点 B. 函数在区间或内有零点 C. 函数在区间内无零点 D. 函数在区间内无零点 ‎【答案】D ‎【解析】分析：题中三个区间的交集是，但到底是小于1还是大于1或者就等于1，是未知的，因此A、B、C均错．‎ 详解：由题意函数的唯一零点在区间上，因此在上无零点，只有D正确．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查函数的零点，解题时要掌握零点存在定理的意义．在一个区间内存在零点，那么在此区间的内任何数都可能是零点，零点存在定理并没有说明零点的大小．‎ ‎5．若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：两个对数化为同底数的对数，幂借助中间数比较．‎ 详解：，，又，∴，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ 点睛：比较对数与幂的大小时，能化为同底数的幂和对数分别化为同底数的，再进行比较，不能化为同底数的或不是同一类型的数可借助中间数比较，如0，1，2等等．‎ ‎6．已知曲线的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设切点坐标，求出切线斜率，利用切线过原点求出切点坐标，从而得结论．‎ 详解：设切点为，则由得，又切线过原点，∴，解得，∴．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查导数的几何意义，曲线在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别：曲线在处的切线方程为，若求过点处的切线，则可设切点为，由切点得切线方程，再由切线过点，代入求得，从而得切线方程．‎ ‎7．若函数的极小值为-1，则函数的极大值为（ ）‎ A. 3 B. -1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出导函数，确定极小值点和极大值点，由极小值确定，再求得极大值．‎ 详解：，显然当时，，当时，，∴是极大值点，1是极小值点，于是有，，‎ 从而，即极大值为3．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查用导数求函数的极值．解题时求出导函数，解不等式（或）确定函数的单调区间，从而可得极值点．‎ ‎8．若是函数的反函数，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据反函数定义求得，再由复合函数的单调性求得增区间．‎ 详解：的反函数是，即，它是增函数．‎ 设，由得，则上递增，在上递减，所以所求增区间为．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查主要考查复合函数的单调性．复合函数单调性如下表：在函数定义域内：‎ 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 ‎9．定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由周期性化为，再由奇函数性质可求值．‎ 详解：∵，∴是周期为2的周期函数，又函数为奇函数，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴．‎ 点睛：本题考查函数的周期性与奇偶性，这类函数的求值一般是用周期性把自变量由大化小，再由奇偶性化到已知解析式的区间上，从而求得值．‎ ‎10．已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：分别求出函数的导数，确定函数的单调性后可选择正确答案．‎ 详解：A．，显然在上递减，；B．，在上递增；C．，在上递增，在上递减且此时；D．，在上递减．只有C符合要求．‎ 故选C．‎ 点睛：由函数解析式选择函数图象，可通过研究函数的性质，利用排除法得出正确选择．如函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、特殊值（如极值、最值）、与坐标轴的交点、函数值的正负等等．‎ ‎11．已知函数，则函数的零点个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：化为，函数的图象与直线的交点个数即为所求零点个数．‎ 详解：由得，在同一坐标系中作出的图象和直线，如图，可知它们有两个交点，即有两个零点．‎ 故选B．‎ 点睛：函数的零点个数就是方程根的个数，通常转化为函数图象交点个数，而且常转化为直线与函数图象交点个数，这样容易从图象上观察出结果．解题时一定要注意转化的要求：图象要容易画出．如有参数，变化的一般是直线．‎ ‎12．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出的值域A，及的值域B，由可得结论．‎ 详解：，∴时，，递减，时，，递增，的极小值也是最小值为，当时，，，∴的值域为，又，∴当时，的值域为，由题意，解得．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查转化与化归思想．解题关键是对“存在”和“任意”的理解与转化．在集合D上：设的值域为，的值域为，‎ 若对任意 ，总存在，使得，则有．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，若，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：先求，再求，然后解方程可得值．‎ 详解：，，由得．‎ 点睛：本题考查分段函数，解题关键是求值要确定自变量的范围，在不同范围内要选用不同的解析式计算．‎ ‎14．幂函数在上是增函数，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】幂函数满足，解得或2.‎ 当时，在上是减函数，不满足题意；‎ 当时，在上是减函数，‎ 所以.‎ 答案为：2.‎ ‎15．已知函数满足：，且 ，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：赋值，分别令，可得．‎ 详解：令，得，∵，∴，‎ 令，得，，‎ 令，得，，‎ 令，得，，‎ 故答案为－4．‎ 点睛：本题考查抽象函数问题．在抽象函数中常用赋值法求值．如要判断函数的奇偶性，则可能要先求得，然后再赋值，得出与的关系，赋值时要先尽量与已知条件靠拢，才能通过已知值求出其他值．‎ ‎16．已知函数是定义在上的奇函数，且.若时，，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：构造函数，由的单调性结合的奇偶性可得解．‎ 详解：设，则，当时，由已知得，为增函数，由为奇函数得，即，∴当时，，当时，，，又是奇函数，∴当时，，时，．∴不等式的解集为．‎ 故答案为．‎ 点睛：本题考查考查用导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，注意根据已知导数不等式构造新函数，常见的新函数有，，，．‎ 三、解答题 ‎17．设全集为，函数的定义域为，集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由二次根式的定义求得集合A，解一元二次不等式得集合B，根据并集运算定义求得并集；‎ ‎（2）由得，利用子集的概念分类求得的范围．‎ 详解：（1）令，解得.‎ 令，解得时. ‎ 于是，，‎ 所以. ‎ ‎（）因为，所以. ‎ 当时，时，满足题意. ‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，解得. ‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 点睛：本题考查集合的运算与集合的关系． ，，另外对子集问题一定要考虑空集，因为空集是任何集合的子集．‎ ‎18．已知二次函数满足，且对任意恒有.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设函数，其中为的导函数.若对任意，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）设，代入已知，由恒等式知识可求得；‎ ‎（2）由（1）得，题意说明在上恒成立，由分离参数法得，问题转化为求的最小值．‎ 详解：（1）设，，. ‎ 于是 ‎. ‎ 解得，. ‎ 所以. ‎ ‎（2）由已知得 在上恒成立. ‎ 即在上恒成立. ‎ 令，‎ 可得.‎ 函数在单调递增， . ‎ ‎ 的取值范围是.‎ 点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为，这样只要求得的最小值，然后再解，即得范围．‎ ‎19．已知函数（且）.‎ ‎（1）判断的奇偶性，并予以证明；‎ ‎（2）求使得成立的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（I）先求得函数的定义域，然后利用奇偶性的定义判断出函数为奇函数.（2）化简原不等式，并按两种情况来解不等式，由此求得的取值范围.‎ ‎【试题解析】(Ⅰ)由得 定义域为 ‎ ‎ 是奇函数 ‎ ‎(Ⅱ)由得 ‎①当时，，解得 ‎②当时，，解得 ‎ 当时的取值范围是；当时的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查函数的性质，考查函数的定义域和奇偶性，考查不等式的求解方法，考查分类讨论的数学思想.要判断一个函数的奇偶性，首先要求函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数.含有参数不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.‎ ‎20．已知函数，其中，且曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若曲线与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由切线方程知，列方程组可求得；‎ ‎（2）题意说明方程有三个不同的实根，即函数有三个不同的零点.，由导数求出极大值和极小值，得出关于极大值和极小值的不等关系可得的范围．‎ 详解：（1），‎ 因为切线方程为，所以切点为，切线斜率为.‎ 于是， ‎ ‎.‎ 解得 ，.‎ ‎（2）因为曲线与直线有三个不同交点，‎ 所以方程有三个不同的实根，即函数有三个不同的零点. ‎ 易得，令得:，. ‎ 极大值 极小值 所以的极大值为，所以的极小值为，‎ 于是，解得.‎ 点睛：曲线交点问题与函数的零点问题经常相互转化，在函数极值容易求得的情况下，象本题，问题转化为函数有三个不同的零点.，即且，从而可得参数范围．问题也可转化为有三个解，因此有．‎ ‎21．某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.‎ ‎（1）写出与 之间的函数关系式；‎ ‎（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，和（），在时，培训费用为；‎ ‎（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．‎ 详解：（1）依题意得，当时，； ‎ 当时，. ‎ ‎. ‎ ‎（2）当时，, ‎ 时, 取得最大值. ‎ 当时,‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 当或时, 取得最大值. ‎ 因为，‎ 当公司参加培训的员工人数为或时，‎ 培训机构可获得最大利润元.‎ 点睛：本题考查分段函数模型的实际应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，这只要认真审题，仔细阅读题目就可得出．函数应用题中关系式一般在题中都有给出，关键是要读懂题意．‎ ‎22．已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，求函数在上的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出导函数，对按和分类后可确定 的正负，即得的单调区间；‎ ‎（2）由（1）的极值点是，因此在时，函数在上单调递增，当时，可证（用导数的知识证明），然后比较和的大小，最终求得最大值．‎ 详解：（1），． ‎ 当时，，则在上单调递增；‎ 当时，令，得．‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增． ‎ 综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. ‎ ‎（2），令，则．‎ 当时，，由（1）的结论可知函数在上单调递增,. ‎ 当时，，下证.事实上，令，‎ 则.当时，，所以在为增函数，且 ‎，即当时，恒成立.‎ 由（1）的结论，知在单调递减,在单调递增.‎ 所以在上的最大值等于． ‎ 设，则 令，易得，因为，且在恒成立，所以在单调递增，所以，即恒成立，所以在在上单调递增，所以在上成立，即.因此，当时，在上的最大值为．‎ 综上所述，当时，.‎ 点睛：（1）当函数在上连续，在上可导时，先求导数为0‎ 的点的函数值，再与区间两端点处的函数值进行比较，直接取最值；‎ ‎（2）函数在上间断，或在上连续，则不一定有最值；‎ ‎（3）含参数问题时，一般要确定函数的单调性，取增区间的右端点和减区间的左端点处的函数值比较大小得最大值．‎