- 2021-06-21 发布 |
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文档介绍
高一数学教案:第17讲 等比数列
辅导教案 学员姓名: 学科教师: 年 级: 辅导科目: 授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 等比数列 教学内容 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题; 2.理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质. (以提问的形式回顾) 1. 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数 列,常数称为等比数列的公比. 2. 通项公式与前项和公式 (1)通项公式:,为首项,为公比 . (2)前项和公式:①当时,; ②当时,. 3. 等比中项: 如果成等比数列,那么叫做与的等比中项. 即:是与的等差中项,,成等差数列. 4. 等比数列的判定方法 (1)定义法:(,是常数)是等比数列; (2)中项法:()且是等比数列. 5. 等比数列常用性质: ① ②则, ③,则 (采用教师引导,学生轮流回答的形式) 例1. (1)已知为等比数列前项和,,,公比,则项数 . (2)已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数. 解:(1)由,,公比,得. (2)方法1:设这四个数分别为,则; 方法2:设第个数分别为,则第个数为,第个数为,则 或; 试一试: 1. 设是有正数组成的等比数列,为其前n项和。已知, ,则( ) .; .; .; .. 解:选.根据题意可得: 2. 已知为等比数列的前项和,,则 . 解:或, 当时,; 当时,无整数解. 例2. 已知为等比数列前项和,,求. 解: ,① ② ①—②,得 试一试: 1. 一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列. 解:设所求的等比数列为,,; 则,且; 解得,或,; 故所求的等比数列为2,6,18或,-,. 2. 已知等比数列的前三项依次为,,,则( ) . . . . 解:. ,, ∴ 例3. 已知数列和满足:,,,其中为实数,. (1)对任意实数,证明数列不是等比数列; (2)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论. 解: (1)证明:假设存在一个实数,使是等比数列,则有, 即矛盾. 所以不是等比数列. (2)解:因为 又,所以 当,此时不是等比数列; 当时,由上可知,此时是等比数列. 试一试: 1.设是数列的前项和,且,则是( ) .等比数列,但不是等差数列; .等差数列,但不是等比数列; .等差数列,而且也是等比数列 .既非等比数列又非等差数列. 答案:. 解法一:. ∴(n∈N). 又为常数,≠常数. ∴是等差数列,但不是等比数列. 解法二:如果一个数列的和是一个没有常数项的关于的二次函数,则这个数列一定是等差数列. 2. 已知数列的首项,,….证明:数列是等比数列; 解:, ∴ , ∴ ,又,, ∴数列是以为首项,为公比的等比数列. 例4. 已知等比数列的前项和为,且. (1)求、的值及数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 解:(1)当时,. 而为等比数列,得,即,从而. 又∵, ∴. (2), 两式相减得, 因此,. (学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解) 1. 已知等比数列的公比,其前项的和为,则与的大小关系是( ) A A. B. C. D.不确定 2. 若是等比数列,前n项和,则( ) D A. B. C. D. 3. 等比数列{}的公比, 已知=1,,则{}的前4项和= . 4. 在等比数列中,为数列的前项和,则 .2015 5. 已知等比数列记其前n项和为 (1)求数列的通项公式; (2)若 解析:(1)设等比数列的公比为q,则 解得 所以 (2) 由 6. 已知等比数列的公比, 是和的一个等比中项,和的等差中项为,若数列满足(). (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和. 解:(Ⅰ)因为是和的一个等比中项, 所以.由题意可得因为,所以.解得 所以.故数列的通项公式. (Ⅱ)由于(),所以. . ① . ② ①-②得 . 所以 本节课主要知识:等比数列的性质,通项公式及前n项和公式应用,错位相减法的介绍。 【巩固练习】 1.在各项都为正数的等比数列中,首项 ,前三项和为,则= ( ) C A.33 B.72 C.84 D.189 2.等比数列{}中,其公比q<0,且,则= ( ) B A. 8 B. -8 C.16 D.-16 3.已知等比数列的公比为2,且前四项之和等于1,那么前八项之和等于 ( ) D A. 15 B. 21 C. 19 D. 17 4. 设等比数列中,前项和为,已知,则__________. 5.设等比例的前n项和为. 6. 设{}为公比q>1的等比数列,若和是方程的两根,则____. 18 7. 已知是等比数列,,则= . 8. 在数列{an}中,,,. (1)证明数列是等比数列; (2)求数列的前项和; (1)证明:由题设,得,. 又,所以数列是首项为,且公比为的等比数列. (2)解:由(1)可知,于是数列的通项公式为 . 所以数列的前项和. 【预习思考】 通过观察表格回答下面问题 数列 等差数列 等比数列 定义 通项公式 中项公式 若, 若, 简单性质 若, 若, 1. 在等差数列中,若项数数列是等差数列,则仍是等差数列。 类比:若是等比数列,当是________数列时,是________数列。 2. 有一位同学发现:若为等差数列,则也成等差数列。由此经过类比,他猜想:若为等比数列,则、也为等比数列。你认为呢? 3. 一位同学发现:若是等差数列的前n项和,则 也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论?为什么? 4. 我们知道对于等差数列,成立。通过类比,尝试发现等比数列中的相似结论并给予证明.查看更多