2018届高三数学（文）二轮复习冲刺提分作业：第一篇+突破+二+函数与导数+第3讲 导数及其应用第2课时+导数的综合应用
第 2 课时 导数的综合应用
A 组 基础题组
时间:30 分钟 分值:45 分
1.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
2.(2017 安徽皖南八校联考)已知 x∈(0,2),若关于 x 的不等式 < 恒成立,则实数 k 的
取值范围为( )
A.[0,e+1) B.[0,2e-1) C.[0,e) D.[0,e-1)
3.(2017 甘肃兰州模拟)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f '(x),∀x∈R,f(x)+f(-x)=x2,在(0,+∞)
上,
f '(x)-x<0,若 f(4-m)-f(m)≥8-4m,则实数 m 的取值范围是 .
4.(2017 河 北 唐 山 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x)= , 若 对 任 意 的 x1,x2∈ , 且
x1≠x2, > 恒成立,则实数 k 的取值范围是 .
5.(2017 江西南昌十校第二次模拟)已知函数 f(x)=(x2-x-5)·ex,g(x)=tx2+ex-4e2(t∈R)(其中 e
为自然对数的底数).
(1)求函数 f(x)的单调区间与极值;
(2)是否存在 t<0,对任意的 x1∈R,任意的 x2∈(0,+∞),都有 f(x1)>g(x2)?若存在,求出 t 的取值范
围;若不存在,请说明理由.
6.(2017 课标全国Ⅲ,21,12 分)已知函数 f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)当 a<0 时,证明 f(x)≤- -2.
B 组 提升题组
时间:20 分钟 分值:25 分
1.已知函数 f(x)= +ln x 在(1,+∞)上是增函数,且 a>0.
(1)求 a 的取值范围;
(2)若 b>0,试证明
1,则 a> .
令 g(x)= ,则 g'(x)= .
当 x∈ 时,g'(x)<0,g(x)为减函数,
当 x∈ 时,g'(x)>0,g(x)为增函数,
要满足题意,则 x0=2,此时需满足 g(2)0,g(x)为增函数,
当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,
要满足题意,则 x0=0,此时需满足 g(-1)≤a0,即 k>x2-2x 对任意 x∈(0,2)恒成立,从而 k≥0,所以由 <
可得 k< +x2-2x.令 f(x)= +x2-2x,则 f '(x)= +2(x-1)=(x-1) .
令 f '(x)=0,得 x=1,当 x∈(1,2)时, f '(x)>0,函数 f(x)在(1,2)上单调递增,当 x∈(0,1)时, f
'(x)<0,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,所以 k ,得 >k,令
g =f(x),x∈ , 则 g(x)=x+xln x,x∈[e2,+∞),g'(x)=2+ln x≥4, 又
= 表示曲线 y=g(x)在[e2,+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值,
则 >4,则 k≤4,则实数 k 的取值范围是(-∞,4].
5.解析 (1)∵f(x)=(x2-x-5)ex,
∴f '(x)=(2x-1)ex+(x2-x-5)ex=(x2+x-6)ex=(x+3)(x-2)ex.
当 x<-3 或 x>2 时, f '(x)>0,即函数 f(x)单调递增.
当-3g(x)max.
由(1)可得当 x 趋近于-∞时, f(x)趋近于 0,
∴f(x)min=f(2)=-3e2,
∵g(x)=tx2+ex-4e2=t - -4e2,
∴g(x)max=g =- -4e2.
故-3e2>- -4e2,即 1>- ,得到 t<- ,
∴存在负数 t∈ 满足题意.
6.解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)= +2ax+2a+1= .
若 a≥0,则当 x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)单调递增.
若 a<0,则当 x∈ 时, f '(x)>0;
当 x∈ 时, f '(x)<0,
故 f(x)在 单调递增,在 单调递减.
(2)证明:由(1)知,当 a<0 时, f(x)在 x=- 取得最大值,最大值为 f =ln -1- .
所以 f(x)≤- -2 等价于 ln -1- ≤- -2,即 ln + +1≤0.
设 g(x)=ln x-x+1,则 g'(x)= -1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递
减 . 故 当 x=1 时 ,g(x) 取 得 最 大 值 , 最 大 值 为 g(1)=0. 所 以 当 x>0 时 ,g(x)≤0. 从 而 当 a<0
时,ln + +1≤0,即 f(x)≤- -2.
B 组 提升题组
1.解析 (1)f '(x)=- + = .
因为 f '(x)≥0,且 a>0,所以 ax-1≥0,即 x≥ ,因为 x∈(1,+∞),所以 ≤1,即 a≥1.
(2) 证 明 : 因 为 b>0,a≥1, 所 以 >1, 又 f(x)= +ln x 在 (1,+∞) 上 是 增 函 数 , 所 以
f >f(1),即 +ln >0,
化简得 0).
①当 a≤0 时, f '(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数既无极大值,也无极小值;
②当 a>0 时,由 f '(x)=0,得 x= 或 x=- (舍去).
当 x 变化时, f '(x)与 f(x)的变化情况如下表:
x (0, )
( ,+
∞)
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ ↗
所以, f(x)的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是( ,+∞);
函数 f(x)在 x= 处取得极小值 f( )= ,无极大值.
综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞),函数 f(x)既无极大值也无极小值;
当 a>0 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0, ),单调递增区间为( ,+∞),函数 f(x)有极小值
,无极大值.
(3)当 a≤0 时,由(2)知函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故函数 f(x)在区间(1,e2]内至多有一
个零点,不合题意.
当 a>0 时,由(2)知,当 x∈(0, )时,函数 f(x)单调递减;当 x∈( ,+∞)时,函数 f(x)单调递增,
函数 f(x)在(0,+∞)上的最小值为 f( )= .
若函数 f(x)在区间(1,e2]内恰好有两个零点,则需满足 即 整理得
所以 e
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