上海交通大学附属中学2020届高三下学期期中考试数学试题

上海交通大学附属中学2020届高三下学期期中考试数学试题

‎2020年高考数学二模试卷 一、填空题（共12小题）.‎ ‎1．计算矩阵的乘积：（ab）　 　．‎ ‎2．323n　 　．‎ ‎3．已知，则sinθ的值等于　 　．‎ ‎4．若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为　 　．‎ ‎5．在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第　 　项．‎ ‎6．如图，二面角α﹣l﹣β的大小是，线段AB⫋α，B∈l，AB与l所成的角为，则AB与平面β所成的角是　 　（用反三角函数表示）．‎ ‎7．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　 　．‎ ‎8．已知函数f（x）＝lg（x+1），g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），则函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数是y＝　 　．‎ ‎9．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，方程f（2019+x）×f（2020﹣x）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为　 　．‎ ‎10．设0.是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且a≠b，b≠0，若集合，则A中所有元素的和为　 　‎ ‎11．已知数列{an}满足（n∈N*），（k是一个已知的正整数），若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p＝　 　‎ ‎12．若实数x，y满足2cos2（x+y﹣1），则xy的最小值为　 　．‎ 二.选择题 ‎13．已知函数y＝f（x）是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1＜x2”是“f（x1）＜f（x2）”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 ‎ C．充分必要 D．非充分非必要 ‎14．已知z1≠﹣1，（b∈R），，则z对应的点在（　　）‎ A．圆上 B．抛物线上 C．双曲线上 D．椭圆上 ‎15．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||•2，则点集{P|λμ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎16．已知a1，a2，a3，a4∈{1，2，3，4}，N（a1，a2，a3，a4）为a1，a2，a3，a4中不同数字的种类，如N（1，1，2，3）＝3，N（1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a1，a2，a3，a4）的排列所得的N（a1，a2，a3，a4）的平均值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 三.解答题 ‎17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．‎ ‎（1）求该圆锥的表面积S和体积V；‎ ‎（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．‎ ‎18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示．‎ ‎（1）求出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若将函数f（x）的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y＝g（x）的单调递增区间及对称中心．‎ ‎19．若函数y＝f（x）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使f（x1）f（x2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．‎ ‎（1）分别判断函数①f（x）＝2x，②g（x）＝log2x是否为“依附函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数y＝h（x）的值域为[m，n]，求证：“y＝h（x）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m，n]”．‎ ‎20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足，，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．‎ ‎（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；‎ ‎（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．‎ ‎21．设数列{an}（n∈N*）是公差不为零的等差数列，满足a3+a6＝a9，a5+a72＝6a9；数列{bn}（n∈N*）的前n项和为Sn，且满足4Sn+2bn＝3．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1，x11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21，x22，使b2，x21，x22，b3成等差数列；……；在bn和bn+1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使bn，xn1，xn2，…xnn，bn+1成等差数列．‎ ‎（i）求Tn＝x11+x21+x22+…+xn1+xn2+…+xnn；‎ ‎（ii）是否存在正整数m，n，使Tn成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 一.填空题 ‎1．计算矩阵的乘积：（ab）　（3aac）　．‎ ‎【分析】利用矩阵的乘积运算法则即可得出．‎ 解：∵3a+b×0＝3a，ac+b×0＝ac，‎ ‎∴（ab）（3aac）．‎ 故答案为：（3aac）．‎ ‎2．323n　4n　．‎ ‎【分析】根据二项式展开式定理，逆用即可．‎ 解：323n ‎•3•32•3n ‎＝（1+3）n ‎＝4n．‎ 故答案为：4n．‎ ‎3．已知，则sinθ的值等于　　．‎ ‎【分析】把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出sinθ的值．‎ 解：把两边平方得：‎ ‎（sincos）2＝（）2，‎ 即sin22sincoscos21+sinθ，‎ ‎∴sinθ．‎ 故答案为：‎ ‎4．若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为　　．‎ ‎【分析】通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．‎ 解：双曲线的焦距为6，‎ 可得，解得m．‎ 所以双曲线的虚轴长为：2．‎ 故答案为：2．‎ ‎5．在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第　5　项．‎ ‎【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．‎ 解：可得，等比数列的通项公式an＝21，则数列单调递减，‎ a5﹣11，1﹣a6＝1，‎ 故当n＝5时，数列的项与1最接近．‎ 故答案为：5．‎ ‎6．如图，二面角α﹣l﹣β的大小是，线段AB⫋α，B∈l，AB与l所成的角为，则AB与平面β所成的角是　arcsin　（用反三角函数表示）．‎ ‎【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，可得∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中即可求解．‎ 解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，‎ 在β内过C作l的垂线，垂足为D，‎ 连接AD，由三垂线定理可知AD⊥l，‎ 故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为，‎ 又由已知，∠ABD，‎ 连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角．‎ 设AD＝2，则AC，CD＝1，AB4．‎ ‎∴直线AB与平面β所成的角的正弦值sin∠ABC，‎ 即AB与平面β所成的角是arcsin．‎ 故答案为：arcsin．‎ ‎7．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2＝c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．‎ 解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC ‎⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c ‎⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，‎ 又因为：a＝2，‎ 所以：，‎ ‎△ABC面积，‎ 而b2+c2﹣a2＝bc ‎⇒b2+c2﹣bc＝a2‎ ‎⇒b2+c2﹣bc＝4‎ ‎⇒bc≤4‎ 所以：，即△ABC面积的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎8．已知函数f（x）＝lg（x+1），g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），则函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数是y＝　3﹣10x（x∈[0，lg2]）　．‎ ‎【分析】结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．‎ 解：当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，‎ ‎∴y＝g（x）＝g（x﹣2）＝g（2﹣x）＝f（2﹣x）＝lg（3﹣x），‎ 由单调性可知y∈[0，lg2]，‎ 又∵x＝3﹣10y，‎ ‎∴所求反函数是y＝3﹣10x，x∈[0，lg2]．‎ 故答案为：3﹣10x，x∈[0，lg2]．‎ ‎9．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，方程f（2019+x）×f（2020﹣x）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为　3.5　．‎ ‎【分析】构造函数g（x）＝f（2019+x）×f（2020﹣x），则函数g（x）满足g（1﹣x）＝g（x），即函数g（x）关于直线x对称，所以方程g（x）＝0的7个解有一个根为，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．‎ 解：设g（x）＝f（2019+x）×f（2020﹣x），‎ 则g（1﹣x）＝f（2020﹣x）×f（2019+x），‎ ‎∴函数g（x）满足g（1﹣x）＝g（x），‎ ‎∴函数g（x）关于直线x对称，‎ ‎∴方程g（x）＝0的所有实数根也是关于在数轴上对称分布，‎ ‎∴一旦在的左侧取到实数根，一定也能在的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，‎ ‎∵方程f（2019+x）×f（2020﹣x）＝0恰好有7个解，即方程g（x）＝0恰好有7个解，‎ ‎∴有一个根为，左右各对应3个根，‎ ‎∴这7个解的和为1+1+13.5，‎ 故答案为：3.5．‎ ‎10．设0.是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且a≠b，b≠0，若集合，则A中所有元素的和为　143　‎ ‎【分析】先由题意得到0.⇒n，再利用列举法求出满足题意的n即可．‎ 解：由题意可知0.，∴n．又∵a和b分别为10以内的非负整数，且a≠b，b≠0，‎ ‎∴①当a＝0时，b＝1，3，9，此时n依次等于99，33，11；‎ ‎②当a≠0时，n均不存在．‎ 综合①②知：A＝{99，11，33}，故A中所有元素的和为99+11+33＝143．‎ 故答案为：143．‎ ‎11．已知数列{an}满足（n∈N*），（k是一个已知的正整数），若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p＝　﹣1　‎ ‎【分析】推导出an＝p，an+1＝3p+1，an+2p，由此能求出p．‎ 解：若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，‎ 则an＝p，an+1＝3p+1，an+2p，‎ 解得p＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎12．若实数x，y满足2cos2（x+y﹣1），则xy的最小值为　　．‎ ‎【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）（x﹣y+1），由基本不等式可得（x+y+1）2，或（x﹣y+1）2，进而可得cos（x+y﹣1）＝±1，x＝y，由此可得xy的表达式，取k＝0可得最值．‎ 解：∵，‎ ‎∴2cos2（x+y﹣1）‎ ‎∴2cos2（x+y﹣1），‎ 故2cos2（x+y﹣1）（x﹣y+1），‎ 由基本不等式可得（x﹣y+1）2，或（x﹣y+1）2，‎ ‎∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y﹣1）＝2，‎ 故cos2（x+y﹣1）＝1，即cos（x+y﹣1）＝±1，此时x﹣y+1＝1，即x＝y ‎∴x+y﹣1＝kπ，k∈Z，故x+y＝2x＝kπ+1，解得x，‎ 故xy＝x•x，当k＝0时，xy的最小值，‎ 故答案为：‎ 二.选择题 ‎13．已知函数y＝f（x）是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1＜x2”是“f（x1）＜f（x2）”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 ‎ C．充分必要 D．非充分非必要 ‎【分析】利用增函数的定义即可判断出关系．‎ 解：函数y＝f（x）是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1＜x2”⇔“f（x1）＜f（x2）”，‎ 故选：C．‎ ‎14．已知z1≠﹣1，（b∈R），，则z对应的点在（　　）‎ A．圆上 B．抛物线上 C．双曲线上 D．椭圆上 ‎【分析】由已知求得z1，代入z化简得到z＝﹣b2﹣2bi，设P（x，y），则，消去b即可得到点P的轨迹．‎ 解：因为，所以z1，‎ 则1＝（1﹣bi）2﹣1＝﹣b2﹣2bi，‎ ‎∴复数z在复平面内所对应的点为P（﹣b2，﹣2b），‎ 设P（x，y），则，消去b得：y2＝﹣4x（y≠0）．‎ 故z对应的点在抛物线上，‎ 故选：B．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||•2，则点集{P|λμ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由两定点A，B满足2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．‎ 解：由两定点A，B满足2，，则||2＝（）22•4，则||＝2，说明O，A，B 三点构成边长为2的等边三角形．‎ 不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．‎ 由，得：．‎ 所以，解得①．‎ 由|λ|+|μ|≤1．‎ 所以①等价于或或或．‎ 可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，‎ 则区域面积为．‎ 故选：D．‎ ‎16．已知a1，a2，a3，a4∈{1，2，3，4}，N（a1，a2，a3，a4）为a1，a2，a3，a4中不同数字的种类，如N（1，1，2，3）＝3，N（1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a1，a2，a3，a4）的排列所得的N（a1，a2，a3，a4）的平均值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，依次分析N（a1，a2，a3，a4）＝1、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．‎ 解：根据题意，（a1，a2，a3，a4）的排列共有256种，‎ 其中当N（a1，a2，a3，a4）＝1时，即排列中只有1个数字，有4种情况，‎ 当N（a1，a2，a3，a4）＝2时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有C42C43A22＝48种情况，‎ 若有2个数字相同，有C42C42＝36种情况，‎ 此时有48+36＝84种情况，‎ 当N（a1，a2，a3，a4）＝3时，即排列中有3个不同的数字，有3×C43C42A22＝144种情况，‎ 当N（a1，a2，a3，a4）＝3时，即排列有4个不同的数字，有A44＝24种情况，‎ 则N（a1，a2，a3，a4）的平均值为；‎ 故选：D．‎ 三.解答题 ‎17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．‎ ‎（1）求该圆锥的表面积S和体积V；‎ ‎（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．‎ ‎【分析】（1）设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则l＝10厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得r＝5厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．‎ ‎（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．‎ 解：（1）设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则l＝10厘米，且2πr＝πl，‎ 解得：r＝5厘米，‎ 表面积S＝πrl＝50π（平方厘米），‎ 圆锥的高（厘米），‎ ‎∴体积（立方厘米）．‎ ‎（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，‎ ‎∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，厘米．‎ 故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d厘米．‎ ‎18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示．‎ ‎（1）求出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若将函数f（x）的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y＝g（x）的单调递增区间及对称中心．‎ ‎【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，最高点求出φ的值，可得函数的解析式．‎ ‎（2）由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数y＝g（x）的单调递增区间及对称中心．‎ 解：（1）由函数f（x）的图象可得 ，解得：．‎ 又由得：，∴．‎ 而 得：，k∈Z，∵，∴，‎ 综上：．‎ ‎（2）显然，‎ 由，k∈Z，得g（x）的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由，k∈Z得：对称中心是，k∈Z．‎ ‎19．若函数y＝f（x）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使f（x1）f（x2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．‎ ‎（1）分别判断函数①f（x）＝2x，②g（x）＝log2x是否为“依附函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数y＝h（x）的值域为[m，n]，求证：“y＝h（x）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m，n]”．‎ ‎【分析】（1）根据“依附函数”的定义直接判断即可；‎ ‎（2）从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．‎ 解：（1）①可取λ＝1，则对任意x1∈R，存在x2＝﹣x1∈R，使得成立，‎ ‎（说明：可取任意正数λ，则x2＝log2λ﹣x1……2分）‎ ‎∴f（x）＝2x是“依附函数”，……‎ ‎②对于任意正数λ，取x1＝1，则g（x1）＝0，……‎ 此时关于x2的方程g（x1）g（x2）＝λ无解，‎ ‎∴g（x）＝log2x不是“依附函数”．……‎ ‎（2）证明：必要性：（反证法）假设0∈[m，n]，‎ ‎∵y＝h（x）的值域为[m，n]，∴存在定义域内的x1，使得h（x1）＝0，……‎ ‎∴对任意正数λ，关于x2的方程h（x1）h（x2）＝λ无解，‎ 即y＝h（x）不是依附函数，矛盾，……‎ 充分性：假设0∉[m，n]，取λ＝mn＞0，……‎ 则对定义域内的每一个值x1，由h（x1）∈[m，n]，可得，‎ 而y＝h（x）的值域为[m，n]，‎ ‎∴存在定义域内的x2，使得，即h（x1）h（x2）＝λ成立，‎ ‎∴y＝h（x）是“依附函数”．……‎ ‎20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足，，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．‎ ‎（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；‎ ‎（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．‎ ‎【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出D、E坐标，设A（3，9），B（﹣1，1），然后判断求解弦AB所在的直线方程．‎ ‎（2）设l1：y﹣9＝k1（x﹣3），与C：y2＝x联立，并令△＝0，可得k1＝6，同理l2的斜率k2＝﹣2，求出交点坐标，然后推出直线PM的方程即可．‎ ‎（3）设P（x0，y0），设出A、B坐标，由，求出，代入y＝x2，说明x1、x2是方程的两个不同的根，利用韦达定理，求出P、Q坐标，然后求解线段比例即可．‎ ‎【解答】（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，，‎ 可得，，‎ 由D点在C上可得：，化简得：，同理可得：，‎ ‎∵A、B两点不同，不妨设A（3，9），B（﹣1，1），‎ ‎∴弦AB所在的直线方程为2x﹣y+3＝0．‎ ‎（2）证明：由（1）可知，A（3，9），B（﹣1，1），设l1：y﹣9＝k1（x﹣3），‎ 与C：y2＝x联立，并令△＝0，可得k1＝6，同理l2的斜率k2＝﹣2，‎ ‎∴l1：6x﹣y﹣9＝0，l2：2x+y+1＝0，‎ 解方程组得：交点N（1，﹣3），而直线PM的方程为x＝1，得证．‎ ‎（3）证明：设P（x0，y0），，，由，得，‎ 代入y＝x2，化简得：，‎ 同理可得：，‎ 显然x1≠x2，∴x1、x2是方程的两个不同的根，‎ ‎∴x1+x2＝2x0，，‎ ‎∴，即直线PM的方程为x＝x0，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴线段PQ与QM的比为定值．‎ ‎21．设数列{an}（n∈一、选择题*）是公差不为零的等差数列，满足a3+a6＝a9，a5+a72＝6a9；数列{bn}（n∈N*）的前n项和为Sn，且满足4Sn+2bn＝3．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1，x11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21，x22，使b2，x21，x22，b3成等差数列；……；在bn和bn+1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使bn，xn1，xn2，…xnn，bn+1成等差数列．‎ ‎（i）求Tn＝x11+x21+x22+…+xn1+xn2+…+xnn；‎ ‎（ii）是否存在正整数m，n，使Tn成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设数列{an}的公差为d，（d≠0），利用等差数列的通项公式求出d＝1，从而an＝n．再由4Sn+2bn＝3，当n≥2时，4Sn﹣1+2bn﹣1＝3，推导出{bn}是首项为，公比为的等比数列，由此能求出bn．‎ ‎（2）（i）在bn和bn﹣1之间插入n个数，，…，，推导出，从而xnk＝bn+kdn，进而Tn＝x11+x21+…+xn1+xn2+…+xnn，由此利用错位相减法能求出Tn．‎ ‎（ii）m2，当n＝1时，m＝23∉N*，当n＝2时，m＝29*，当n＝3时，m＝2+1＝3∈N*，再证明当n≥4（n∈N*）时，3n﹣6n﹣9＞0，由此能求出所有的正整数对．‎ 解：（1）设数列{an}的公差为d，（d≠0），‎ 则由a3+a6＝a9，得（a1+2d）+（a1+5d）＝a1+8d，∴a1＝d，‎ ‎∵a5+a72＝6a9，∴（a1+4d）+（a1+6d）2＝6（a1+8d），‎ 将a1＝d代入上式，得5d+49d2＝54d，∴49d2＝49d，‎ ‎∵d≠0，∴d＝1，∴an＝n．‎ 由4Sn+2bn＝3，①‎ 当n≥2时，4Sn﹣1+2bn﹣1＝3，②‎ ‎①﹣②，得4bn+2bn﹣2bn﹣1＝0，∴，（n≥2），‎ 又4b1+2b1＝3，∴0，‎ ‎∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴bn，（n∈N*）．‎ ‎（2）（i）在bn和bn﹣1之间插入n个数，，…，，‎ ‎∵bn，xn1，xn2，…xnm，bn+1成等差数列，设公差为dn，‎ ‎∴，‎ 则xnk＝bn+kdn，‎ ‎∴•n，‎ ‎∴Tn＝x11+x21+…+xn1+xn2+…+xnn，①‎ 则，②‎ ‎①﹣②，得Tn（1），‎ ‎∴Tn．‎ ‎（ii）假设存在正整数m，n，使Tn成立，．‎ m2，‎ 当n＝1时，m＝23∉N*，‎ 当n＝2时，m＝29∈N*，‎ 当n＝3时，m＝2+1＝3∈N*，‎ 下证，当n≥4（n∈N*）时，有3n﹣2n﹣3＞4n+6，即证3n﹣6n﹣9＞0，‎ 设f（x）＝3x﹣6x﹣9，x≥4，则f′（x）＝3xln3﹣6＞3x﹣6＞0，‎ ‎∴f（x）在[4，+∞）上单调递增，‎ 故n≥4时，3n﹣6n﹣9＞34﹣6×4﹣9＝48＞0，‎ ‎∴01，‎ ‎∴n≥4时，m不是整数，‎ ‎∴所有的正整数对（m，n）为（9，2）及（3，3）．‎ ‎ ‎