2019-2020学年重庆市南岸区高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市南岸区高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市南岸区高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，，，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的定义域为，排除选项A；‎ 当时，，且 ，故当时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，排除选项C；‎ 当时，函数，排除选项D，选项B正确．选B．‎ 点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎3．已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 该几何体中图中粗线部分，体积为，故选B．‎ ‎5．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标为，求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则外接圆的方程为，‎ 设的坐标为，‎ 过点作垂直轴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，， ‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，其中，，‎ 当时，有最大值，最大值为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．‎ ‎6．将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（ ）‎ A．在上单调递增，为偶函数 B．最大值为1，图象关于直线对称 C．在上单调递增，为奇函数 D．周期为，图象关于点对称 ‎【答案】A ‎【解析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向右平移个单位后得到函数 的图象， 故当x∈时，2x∈，故函数g（x）在上单调递增，为偶函数， 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．‎ ‎7．《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步? ” 请问乙走的步数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设甲和乙相遇时间为，那么甲和乙走过的路程构成直角三角形，有 ，解得（舍）或 ，当时，乙走了 步，甲走了 步，故选C.‎ ‎8．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可判断函数f（x）的周期为6，对称轴为x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小 ‎【详解】‎ ‎∵函数满足，∴=，‎ ‎∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），‎ 又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），‎ 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，‎ 且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）‎ 即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题．‎ ‎9．已知命题对任意，总有；‎ 是的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；‎ 所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.‎ ‎【考点】1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.‎ ‎10．定义在上的函数满足：，且当时，，则函数的零点个数是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出函数的解析式，利用函数的图象以及函数值判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：定义在上的函数满足：，且当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 在坐标系中画出两个函数与的图象如图：‎ ‎ ‎ 由图象可知两图象有5个交点，故函数有5个零点，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题.‎ ‎11．已知圆的圆心为，点是直线上的点，若该圆上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：当且仅当过P的直线都是圆的切线时，两直线的夹角最大，此时CP=4，故圆心到直线的距离 ‎【考点】直线与圆的综合应用．‎ ‎12．不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.已知，给出下列结论：‎ ‎①是偶函数；‎ ‎②是周期函数，且最小值周期为；‎ ‎③的单调递减区间为；‎ ‎④的值域为.‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以不是偶函数，答案①不正正确；又因为，所以答案②也不正确；由于函数是单调递增函数，且，因此在上单调递减，所以其值域为，故答案④也不正确；则答案③是正确的，应选答案B 。‎ 点睛：解答本题的关键是掌握新定义的函数的图像和性质，进而依据新定义的信息，综合运用所学知识对题设中所提供的四个答案逐一进行分析推断，从而做出正确判断使得问题简捷、巧妙获解。‎ 二、填空题 ‎13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是____________．‎ ‎【答案】[－2，2]‎ ‎【解析】由题意知原命题等价于直线上存在点P使得PC＝2，从而(PC)min≤2，即圆心C(2，0)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝≤2，解得－2≤k≤2.‎ ‎14．如图，在平面四边形中，，．若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过D作，则，利用三角形的相似比表示出x，y即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 如图，过D作BC的垂线，交BC延长线于M，‎ 设∠BAC=α，则∠ACD=2α，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（为相似比）．‎ 又，‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对平面向量基本定理的理解和应用，解题时借助平面几何知识求解是解答本题的关键，合理构造相似三角形并由三角形的相似比得到的取值后可得所求．‎ ‎15．若，，且，则使得取得最小值的实数______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】构造基本不等式的性质即可求解，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，且，‎ ‎∴，‎ 那么：‎ ‎，‎ 当且仅当时即取等号，‎ 联立，‎ 解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题.‎ ‎16．如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为25的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据得 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：∵,,∴,在中,由正弦定理有,代入,计算得出,在中,由正弦定理有,代入,计算得出,所以.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ 三、解答题 ‎17．在 中，内角 所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角 的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意结合余弦定理可得；‎ ‎(2)利用题意首先求得b的长度，然后利用面积公式求得△ABC的面积为.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)，，由余弦定理得，又.‎ ‎(2) 根据正弦定理得,又，.‎ ‎18．已知等比数列的各项均为正数，．‎ Ⅰ求数列的通项公式；‎ Ⅱ设证明：为等差数列，并求的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）   （Ⅱ）见解析，‎ ‎【解析】（1）利用及求得，从而得到通项公式．‎ ‎（2）利用定义证明等差数列，并利用公式求和．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设等比数列的公比为，依题意．‎ 由得，解得．‎ 故 ．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．‎ 故，所以是首项为1，公差为的等差数列，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明；（2）证明：.‎ ‎19．如图，某公园有三条观光大道、、围成直角三角形，其中直角边，斜边，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在、、大道上嬉戏，所在位置分别记为点、、.‎ ‎（1）若甲乙都以每分钟100的速度从点出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；‎ ‎（2）设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：(1)先求出B，在三角形BDE中，利用余弦定理求出DE（2）先在直角三角形CEF中求出，在三角形BDE中由正弦定理得代入得出y与θ的关系，求出最小值.‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意得BD=300，BE=100，在三角形ABC中 在三角形BDE中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎（2）由题意得 ，在直角三角形CEF中， ，‎ 在三角形BDE中由正弦定理得 ‎ ‎ ‎ 所以当时，有最小值. 即甲乙之间的最小距离为.‎ 点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确熟练地使用正弦、余弦定理是关键.‎ ‎20．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面BCD；‎ ‎（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；‎ ‎（3）求点E到平面ACD的距离。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】（1）连接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD；‎ ‎（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦；‎ ‎（3）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，，故，由AO＝1，知，由此能求出点E到平面ACD的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，‎ ‎∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．‎ 在△AOC中，由题设知，AC＝2，‎ ‎∴AO2+CO2＝AC2，‎ ‎∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．‎ ‎∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，‎ ‎∴AO⊥平面BCD．‎ ‎（2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，‎ 知ME∥AB，OE∥DC，‎ ‎∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．‎ 在△OME中，， ‎ ‎∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为 ‎（3）解：设点E到平面ACD的距离为h．‎ ‎，‎ ‎，‎ 在△ACD中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵AO＝1，，‎ ‎∴，‎ ‎∴点E到平面ACD的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．‎ ‎21．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.‎ 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.‎ ‎（1）计算弧田的实际面积；‎ ‎（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）‎ ‎【答案】(1)()；(2)少．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．‎ 试题解析：(1) 扇形半径， ‎ 扇形面积等于 ‎ 弧田面积=（m2）‎ ‎（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得 ‎（弦´矢+矢2）=. ‎ 平方米 ‎ 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.‎ ‎【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．‎ ‎22．如图已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，点是棱的中点，点在棱上，且，平面.‎ ‎（1）求实数的值； ‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】【试题分析】（1）运用空间三角形的相似建立等式求解；（2）先确定三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解：‎ ‎（Ⅰ）连接，设，则平面平面，‎ ‎//平面，//， ‎ ‎∽，，‎ ‎，． ‎ ‎（Ⅱ），‎ 又 ，‎ ‎，， ‎ 平面， ‎ 所以．‎