2018届二轮复习数列的概念及简单表示法课件（全国通用）

2018届二轮复习数列的概念及简单表示法课件（全国通用）

第一节　 数列的概念及简单表示法 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 数列的概念 . 2. 数列的表示 . 3. 递推关系 . 1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ). 2. 了解数列是自变量为正整数的一类函数 . 　　考查通项公式的题目，常用递推关系或实际背景提供条件求通项公式，或考查通项所应满足的性质；考查前 n 项和则重在考查 a n 与 S n 之间的关系，由 S n 的关系转化成 a n 的关系 . 　　预测高考对本节内容主要考查已知数列的递推关系式求数列的通项公式，已知 S n 与 a n 的关系求 a n 等 . 有时也结合函数的性质考查数列的单调性、数列的最大值或前 n 项和的最大值等问题 . 知识点 数列的概念 1. 数列的定义 按照 _________ 排列着的一列数称为数列 . 数列中的每一个数叫做这个数列的项 . 一定顺序 2. 数列的分类 > < 有限 无限 3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式 . 4. 数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项 a n 与 n 之间的函数关系可以用一个式子 a n ＝ f ( n ) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 . 5. 递推公式 如果已知数列 { a n } 的 _______ ( 或 ______ ) ，且任何一项 a n 与它的前一项 a n － 1 ( 或前几项 ) 间的关系可以用一个式子来表示，即 a n ＝ f ( a n － 1 ) 或 a n ＝ f ( a n － 1 ， a n － 2 ) ，那么这个式子叫做数列 { a n } 的递推公式 . 第一项 前几项 【 名师助学 】 方法 1 由递推关系式求通项公式 由递推公式求数列通项的常用方法 【 例 1】 (1) (2014· 山东菏泽高三期末检测 ) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， ( n ＋ 1) a n ＝ na n ＋ 1 ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. (2) (2014· 安徽合肥一模 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 4 ， a n ＋ 2 ＋ 2 a n ＝ 3 a n ＋ 1 ( n ∈ N * ) ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. (2) 由 a n ＋ 2 ＋ 2 a n － 3 a n ＋ 1 ＝ 0 ， 得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1 － a n ) ， ∴ 数列 { a n ＋ 1 － a n } 是以 a 2 － a 1 ＝ 3 为首项 ， 2 为公比的等比数列 ，∴ a n ＋ 1 － a n ＝ 3·2 n － 1 ， ∴ n ≥ 2 时 ， a n － a n － 1 ＝ 3·2 n － 2 ， … ， a 3 － a 2 ＝ 3·2 ， a 2 － a 1 ＝ 3 ， 将以上各式累加得 a n － a 1 ＝ 3·2 n － 2 ＋ … ＋ 3·2 ＋ 3 ＝ 3(2 n － 1 － 1) ，∴ a n ＝ 3·2 n － 1 － 2( 当 n ＝ 1 时 ， 也满足 ). 答案　 (1) n 　 (2)3·2 n － 1 － 2 方法 2 利用数列通项公式求数列最大（小）项的，常用方法 (1) 函数法：利用数列的增减法或图象求最值 . [ 点评 ] 　 解决本题的关键是充分利用通项公式对应的函数的单调性 ，再利用 n ∈ N * 确定最大项 . 方法 3 根据 S n 求 a n 已知 S n 求 a n 时应注意的问题 (1) 应重视分类讨论思想的应用，分 n ＝ 1 和 n ≥ 2 两种情况讨论；特别注意 a n ＝ S n － S n － 1 中需 n ≥ 2. (2) 由 S n － S n － 1 ＝ a n 推得 a n ，当 n ＝ 1 时， a 1 也适合 “ a n 式 ” ，则需统一 “ 合写 ” . 【 例 3】 (2012· 广东 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 { S n } 的前 n 项和为 T n ，满足 T n ＝ 2 S n － n 2 ， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . [ 解题指导 ] 第 1 步：赋值 n ＝ 1 ，可求 a 1 ； 第 2 步：当 n ≥ 2 时，由 S n ＝ T n － T n － 1 ， a n ＝ S n － S n － 1 找出 a n ＋ 1 与 a n 的关系式； 第 3 步：变形 . 解　 (1) 令 n ＝ 1 时， T 1 ＝ 2 S 1 － 1 ， ∵ T 1 ＝ S 1 ＝ a 1 ， ∴ a 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1. (2) 当 n ≥ 2 时， T n － 1 ＝ 2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ， 则 S n ＝ T n － T n － 1 ＝ 2 S n － n 2 － [2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ] ＝ 2( S n － S n － 1 ) － 2 n ＋ 1 ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1. 因为当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 也满足上式， 所以 S n ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1( n ≥ 1) ， 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 2( n － 1) ＋ 1 两式相减得 a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 － 2 ， 所以 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 2( n ≥ 2) ，所以 a n ＋ 2 ＝ 2( a n － 1 ＋ 2) ， 因为 a 1 ＋ 2 ＝ 3 ≠ 0 ， 所以数列 { a n ＋ 2} 是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列 . 所以 a n ＋ 2 ＝ 3 × 2 n － 1 ， ∴ a n ＝ 3 × 2 n － 1 － 2 ， 当 n ＝ 1 时也满足上式；所以 a n ＝ 3 × 2 n － 1 － 2. [ 点评 ] 　 第一步：令 n ＝ 1 ， 由 S n ＝ f ( a n ) 求出 a 1 ； 第二步：令 n ≥ 2 ， 构造 a n ＝ S n － S n － 1 ， 用 a n 代换 S n － S n － 1 ( 或用 S n － S n － 1 代换 a n ， 这要结合题目特点 ) ， 由递推关系求通项； 第三步：验证当 n ＝ 1 时的结论适合当 n ≥ 2 时的结论； 如果适合 ， 则统一 “ 合写 ” ；如果不适合 ， 则应分段表示； 第四步：写出明确规范的答案； 第五步：反思回顾 . 查看关键点、易错点及解题规范 . 本题的易错点 ， 易忽略对 n ＝ 1 和 n ≥ 2 分两类进行讨论 ， 同时易忽视结论中对二者的合并 .