2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题-解析版

江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、选择题 ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵直线的斜率为﹣tan = ，‎ 由tanα=，且0≤α＜π，得．‎ 故选：D．‎ 点睛：由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案。‎ ‎2．焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（ ）‎ A. 11 B. 33 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件知 ，焦距为 ‎ 所以 ，长轴长是 .‎ 故选C；‎ ‎3．直线（）与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与的值有关 ‎【答案】D ‎【解析】∵直线l：（k+1）x﹣ky+1=0可化为：x+1+k（﹣y+1）=0，‎ ‎∴对于任意实数k，直线l过定点（-1，1）．‎ ‎∵12+（1﹣1）2=1，‎ ‎∴点（-1，1）在圆C内，‎ ‎∴直线l与圆相交.‎ 故选：A．‎ ‎4．已知直线与关于直线对称， 与垂直，则（ ）‎ A. B. C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】与垂直，故的斜率是2，设 ， 过定点 ， 和x轴的交点为 ， 与关于直线对称，故 ‎ 和的交点 也是和的交点，代入解得 ‎5．点为圆上一点，过点K作圆切线为与： 平行，则与之间的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，kCM= ，‎ ‎∴过M的圆的切线的斜率为kl= ，∴直线l的方程为4x﹣3y+6=0‎ ‎∵l与l′：4x﹣ay+2=0平行，∴a=3，‎ ‎∴l与l′之间的距离是 ，‎ 故答案为： ．‎ 点睛：由切线与过切点的半径所在直线垂直求出切线的斜率，即可求出两直线方程，再用距离公式即可．‎ ‎6．曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过点的一条直线，如下图所示，当直线与圆相切时，‎ ‎，∴，故选A.‎ 考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.‎ ‎【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．‎ ‎7．若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是(　　)‎ A. (－12，8) B. (－8，12) C. (－13，17) D. (－17，13)‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣20=0化为（x﹣1）2+（y+2）2=25，‎ 则圆心C为（1，﹣2），半径r=5．‎ 若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=25有四个不同的点到直线l：4x+3y+c=0的距离为2，‎ 则圆心C（1，﹣2）到直线l的距离d＜3， ‎ 即解得：﹣13＜c＜17，∴c的取值范围是（﹣13，17）．‎ 故选：C．‎ 点睛: 由题意画出图形，若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=25有四个不同的点到直线l：4x+3y+c=0的距离为2，则圆心C（1，﹣2）到直线l的距离d＜3，由此列关于c的不等式得答案．‎ ‎8．两圆和恰有三条公切线，若 ‎， ，且，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为两圆的圆心和半径分别为，所以由题设可知两圆相外切，则，故，即，所以 ，应选答案C。‎ 点睛：解答本题的关键是准确理解题设中恰有三条切线这一信息，并进一步等价转化为“在，即的前提下，求的最小值问题”。求解时充分借助题设条件，巧妙地将化为，再运用基本不等式从而使得问题的求解过程简捷、巧妙。‎ ‎9．已知圆，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点A，B，D，E，则四边形ABDE面积的最大值为(　　)‎ A. 4 B. 7‎ C. 4 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆心 ，设圆心到l1，l2的距离分别为d1，d2，‎ 则 又 ‎ 两式相加，得：EF2+GH2=14≥2EF•GH， ‎ 即（S四边形EFGH）max=7．‎ 点睛：设圆心到l1，l2的距离分别为d1，d2，根据垂径定理求出距离的平方和及勾股定理得到EF2+GH2=74≥2EF•GH，而因为四边形的对角线互相垂直得四边形的面积S= EF•GH，代入即可求出面积的最大值．‎ ‎10．一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路程是( )‎ A. 4 B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 先作出已知圆C关于x轴对称的圆C′，则圆C′的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=1，所以圆C′的圆心坐标为（2，﹣3），半径为1，‎ 则最短距离d=|PC′|﹣r=. ‎ ‎ 故选C．‎ 点睛：‎ 先作出圆C关于x轴的对称的圆C′，问题转化为求点P到圆C′上的点的最短路径，方法是连接PC′与圆交于B点，则PB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出PC′，然后减去半径即可求出．‎ ‎11．椭圆的左、右焦点分别为,弦过，若的内切圆面积为，A、B两点的坐标分别为和，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵椭圆的左右焦点分别为F1，F2，‎ 过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，‎ ‎△ABF2的内切圆的面积为π，‎ ‎∴△ABF2内切圆半径r=1．‎ ‎△ABF2面积S= ×1×（AB+AF2+BF2）=2a=10，‎ ‎∴ABF2面积=|y1﹣y2|×2c=|y1﹣y2|×2×3=10，‎ ‎∴|y1﹣y2|= ．‎ 故选：D．‎ 点睛：由已知△ABF2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．‎ ‎12．设直线系,则下列命题中是真命题的个数是 ‎ ‎①存在一个圆与所有直线不相交 ‎ ‎②存在一个圆与所有直线相切 ‎ ‎③中所有直线均经过一个定点 ‎ ‎④存在定点不在中的任一条直线上 ‎ ‎⑤中的直线所能围成的正三角形面积都相等 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；‎ 可取圆心为（0，2），半径分别为2， ，1得到①②正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，③错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以④正确；⑤可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；‎ 故选：C.‎ 二、填空题 ‎13．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，‎ 的大小为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：,，，所以利用余弦定理可得,所以的大小为.‎ 考点：本小题主要考查椭圆定义的应用和余弦定理的应用，考查学生的运算求解能力.‎ 点评：解决此小题的关键在于利用椭圆的定义求出了.‎ ‎14．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.‎ 考点：直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.‎ ‎15．已知椭圆C的方程为＋＝1，A、B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，直线x＝4与直线PA、PB分别交于M、N两点；若D(7，0)，则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0），‎ 则 +=1，即有y02=3（1﹣），‎ 设PA，PB的斜率为k1，k2，‎ 则k1•k2= •==﹣ ，‎ 设PA：y=k1（x+2），‎ 则M（4，6k1），‎ PB：y=k2（x﹣2），则N（4，2k2），‎ 又kDM=﹣ =﹣2k1，kDN=﹣k2，kDM•kDN=﹣1，‎ 设圆过定点F（m，0）则 ， ‎ 解得m=1或m=7（舍去），‎ 故过点D，M，N三点的圆是以MN为直径的圆过F（1，0）．‎ 故答案为：（1，0）．‎ 点睛：设A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0），由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得到定点坐标．‎ 三、解答题 ‎16．已知的三个顶点分别为, ， ，求 ‎ （1）边上的中线所在的直线方程的一般式；‎ ‎ （2）求的面积 ‎【答案】（1.0）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出中点D的坐标，用两点式求出中线MD 所在直线的方程，并化为一般式．‎ ‎（Ⅱ） 求出线段的长度，求出直线的方程和点到直线的距离，即可求得，∴△的面积．‎ ‎（1）由已知得BC中点D的坐标为， ∴中线AD所在直线的方程是，‎ 即 ‎（2）∵， 直线BC的方程是，‎ ‎ 点A到直线BC的距离是 ∴△ABC的面积是．‎ 点睛：本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A到直线BC的距离是解题的难点．‎ ‎17．已知直线过点且与圆O： 相交于两点， .求直线方程的一般式.‎ ‎【答案】（1） ；（2）14.‎ ‎【解析】试题分析：由可以设直线斜率为k，则y﹣1=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k+1=0，‎ 求出k值，从而得到直线方程.‎ 由题意，因为圆的半径为2，∠AOB=120°，所以圆心到直线的距离为1，设直线斜率为k，则y﹣1=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k+1=0，所以 解得k=0或k= ，‎ 所以直线AB的方程为y=1或4x﹣3y﹣5=0．‎ ‎18．求与圆M：x2 +y2 = 2x外切,并且与直线x+y=0相切于点Q(3,－)的圆的方程的标准式.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：根据两圆外切得到两个圆心之间的距离等于半径的和，圆C与直线x+)y=0相切于点Q（3，﹣ ），可得圆心与点Q（3，﹣）的连线与直线x+)y=0垂直，其斜率为,列出式子求解即可；‎ ‎∵圆C与圆x2+y2﹣2x=0相外切，‎ 故两个圆心之间的距离等于半径的和，‎ 又∵圆C与直线x+y=0相切于点Q（3，﹣ ），‎ 可得圆心与点Q（3，﹣)）的连线与直线x+)y=0垂直，其斜率为,‎ 设圆C的圆心为（a，b ），‎ 则 ‎ 解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=﹣4，r=6，‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣4）2+y2=4或x2+（y+4）2=36．‎ ‎19．已知直线： 恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求定点的坐标；‎ ‎（2）求圆的方程；‎ ‎（3）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线过定点问题，应将直线： 的方程中含 的项合并，变为，解方程组即可求定点坐标；（2）方法一：设圆的一般方程为，其圆心为 ，由条件可得关于 三元方程组，解方程组可求解；方法二：设圆的方程为标准方程。（3）圆心C为 的中点，由中点坐标公式求点 的坐标。点M到圆心C距离大于半径，所以点M在圆C外。故 或 为直角，两邻边垂直，斜率乘积为-1，可求m的值。‎ 试题解析：（1）由得， ，‎ 令，得，即定点的坐标为.‎ ‎（2）设圆的方程为，‎ 由条件得，解得.‎ 所以圆的方程为.‎ ‎（3）圆的标准方程为， ，‎ 设点关于圆心的对称点为，则有，‎ 解得， ，故点的坐标为.‎ 因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，‎ 若点为直角三角形的顶点，则有， ，‎ 若点是直角三角形的顶点，则有， ，‎ 综上， 或.‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】三角形的三个顶点都可能为直角，点M到圆心的距离大于半径，故点M在圆外；直角三角形的两邻边垂直，两用斜率之积为-1，可求点的坐标。‎ ‎20．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点．‎ ‎（1）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用垂径定理得到，取的中点N，则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧 则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧．写出圆方程，进一步求得x的取值范围，（2）直线L:y=k（x-4）经过定点R（4，0）过点R作圆 的切线，切点为Q，判断切点在圆弧上，又 ，所以．‎ 试题解析：（1）取AB的中点M，连接．根据垂径定理有即．取的中点N 则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧．其所在圆的方程为，联立解得 所以C: ‎ ‎（2）直线L:y=k（x-4）经过定点R（4，0）过点R作圆的切线，切点为Q，下面判断切点的横坐标是否在内，作出圆 ，C为的圆心，P为（2）中圆弧上端点，P作，则由相似三角形得， 而所以切点Q在（2）求得的圆弧上，又 ，所以．‎ 考点：直线与圆的位置关系的综合应用．‎ ‎21．已知椭圆,四点 ‎ 中恰有三点在椭圆C上 ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， ‎ 轴于点，点在椭圆C上，且 ‎ 求证： ， 三点共线.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .直线与曲线只有一个交点.‎ ‎【解析】试题分析：根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出， ，则， ，再向量坐标化，得到，得到，最终得到；‎ ‎（1）椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：设， ，则， .‎ 因为点， 都在椭圆上，所以 所以 ，‎ 即.‎ 又 ，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以 所以 又 ，‎ 所以，‎ 所以， ， 三点共线.‎ 点睛：主要是第二问，证明三点共线，可以证明两点之间构成的斜率相等；再就是向量坐标化的意识；‎