数学（理）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班上学期第五次月考（2017

数学（理）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班上学期第五次月考（2017

衡阳八中2016年下期高三年级第五次月考试卷 理数（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第五次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎2.已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5.当 ，时，的最小值为（ ）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎6.如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，则实数p的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎9.已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•an为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（　　）‎ A．1024 B．2003 C．2026 D．2048‎ ‎10.右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A﹣B﹣C﹣M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（　　） ‎ ‎ ‎ A．B．C．D．‎ ‎11.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（　　）‎ A．，B．， C．， D．，‎ ‎12.如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：‎ ‎①；②；③；④，其中“函数”的个数有（ ）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.（x2+x+2）5的展开式中，x7的系数为　　． ‎ ‎14.已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为　　． ‎ ‎ ‎ ‎15.已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为　　．‎ ‎16.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积是　 　．‎ ‎          ‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N），等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．‎ ‎（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设Cn=（n∈N），求证Cn+1＜Cn．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面EFGH；‎ ‎（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将 成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.‎ ‎（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；‎ ‎（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；‎ ‎（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 设函数. ‎ ‎（1）若关于的不等式在为自然对数的底数） 上有实数解, 求实数的取值范围； ‎ ‎（2）设,若关于的方程至少有一个解, 求的 最小值； ‎ ‎（3） 证明不等式：. ‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．‎ ‎ ‎ 选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）‎ ‎22.（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．‎ ‎（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．‎ ‎23.（选修4-5：不等式选讲）‎ 设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． ‎ ‎（1）解不等式f（x）＞0； ‎ ‎（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围． ‎ 衡阳八中2016年下期高三实验班第五次月考理数参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B B D B A C C A A A ‎13.50‎ ‎14.‎ ‎15.（，8]‎ ‎16.16π ‎17.‎ ‎（1）①当n≥2时，由an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．‎ 由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．‎ ‎∵a1=1≠0，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎∴．（3分）‎ ‎②等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．‎ ‎∴bn=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．（6分）‎ ‎（2）由（1）可得=．‎ ‎∴=cn．（9分）‎ ‎∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，‎ ‎∴．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（1）∵AB∥平面EFGH，‎ 又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，‎ ‎∴AB∥EF，同理CD∥HE，‎ ‎∵，‎ ‎∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，‎ 同理BC⊥DC，‎ ‎∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，‎ 又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，‎ ‎∴BC⊥平面EFGH．（5分）‎ ‎（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，‎ 作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，‎ 则，（7分）‎ ‎∵x轴⊂平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，‎ ‎∵，∴‎ ‎，得：，即，（8分）‎ 又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，‎ ‎∴，得，即，（9分）‎ 设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，‎ 那么，‎ ‎∴，（11分）‎ ‎∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．（12分）‎ ‎19.（1）频率分布直方图见解析，；（2）；（ 3）分布列见解析，.‎ ‎.（4分）‎ ‎（6分）‎ ‎（9分）‎ 故的分布列如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 依题意，故.（12分）‎ ‎20.（1）（-∞，e2-2];（4分）（2）0；（8分）（3）略.（12分）‎ ‎21.‎ ‎（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2，‎ A为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…（1分）‎ 在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，‎ 交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，‎ 由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，‎ 从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…（4分）‎ 设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，‎ 所以双曲线的标准方程为…（5分）‎ 证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，…（6分）‎ 设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，‎ ‎：…（8分）‎ 由△=0，化简得：…（9分）‎ 令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，…（10分）‎ 因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，…（11分）‎ 知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．…（12分）‎ ‎22.‎ ‎（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，‎ 设Q（x，y），则，‎ 代入圆的方程可得，‎ 化为（x﹣4）2+y2=16．即为点Q的直角坐标方程．（5分）‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16．‎ 得 令A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0．‎ ‎∴．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0， ‎ 得x＞﹣5，所以x≥4成立； ‎ 当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0， ‎ 得x＞1，所以1＜x＜4成立； ‎ 当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立． ‎ 综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（5分） ‎ ‎（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4| ‎ ‎≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9， ‎ 当﹣时等号成立． ‎ 即有F（x）的最小值为9， ‎ 所以m≤9． ‎ 即m的取值范围为（﹣∞，9]．（10分） ‎ ‎ ‎