2017-2018学年重庆市第一中学高二上学期期中考试数学理试题

2017-2018学年重庆市第一中学高二上学期期中考试数学理试题

‎2017-2018学年重庆市第一中学高二上学期期中考试 数学试题卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知命题，，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎2．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若球的体积与其表面积数值相等，则球的大圆面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若双曲线以为渐近线，且过，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列命题是真命题的是（ ）‎ A．命题“若，则或”为真命题 B．命题“若，则或”的逆命题为真命题 C．命题“若，则或”的否命题为“若，则或”‎ D．命题“若，则或”的否定形式为“若，则或”‎ ‎6．已知直线和平面，直线平面，下面四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若直线互为异面直线且分别平行于平面，则 ‎.‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A．8 B．16 C．32 D．48‎ ‎8．直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎9．、《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ）‎ ‎（注：1丈=10尺=100寸，，）‎ A．633立方寸 B．620立方寸 C．610立方寸 D．600立方寸 ‎10．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知为坐标原点，椭圆的方程为，若为椭圆的两个动点且，则的最小值是（ ）‎ A．2 B． C． D．7‎ ‎12．设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．抛物线的焦点坐标为 ．‎ ‎14．条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15．过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点.设为线段的中点，为坐标原点，则 ．‎ ‎16．矩形中，，，沿将折起到使平面平面，是线段的中点，是线段上的一点，给出下列结论：‎ ‎①存在点，使得平面；②存在点，使得平面；‎ ‎③存在点，使得平面；④存在点，使得平面.‎ 其中正确结论的序号是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．设命题，命题：关于不等式的解集为.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题或是真命题，且是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）过点作交于点，求证：平面.‎ ‎19．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率.过的直线交椭圆于两点，三角形的周长为8.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若弦，求直线的方程.‎ ‎20．如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，是的中点.‎ ‎（1）图1中，点是的中点，求异面直线所成角的余弦值；‎ ‎（2）图2中，点分别是的中点，点在线段上，，求证：平面平面.‎ ‎21．在平面内点、、满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）点，在椭圆上，且与轴平行，过点作两条直线分别交椭圆于，两点.若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值.‎ ‎22．已知为坐标原点，直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求证：直线恒过定点；‎ ‎（3）在（2）的条件下过向轴做垂线，垂足为，求的最小值.‎ ‎2017年重庆一中高2019级高二上期半期考试 数学答案（理科）‎ 一、选择题 ‎1-5:CBDDA 6-10:CBAAB 11、12：CD 二、填空题 ‎13． 14． 15．1 16．1，4‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）当为真时，‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴当时，恒成立.‎ ‎∴，∴‎ ‎∴当为真时，‎ ‎（2）当为真时，‎ ‎∵，∴当为真时，；‎ 当为真时，，‎ 由题设，命题或是真命题，且是假命题，‎ 真假可得，‎ 假真可得或 综上可得或 则的取值范围是.‎ ‎18．证明：（1）取的中点，连结 四边形为平行四边形 平面 平面 ‎（2）平面 ‎19．解：（1）‎ ‎（2）设点的坐标为，的坐标为.‎ 的斜率为（显然存在）‎ ‎20．解：（1）解：因为底面四边形为菱形，‎ 所以，异面直线所成角即为直线所成角，‎ 或其补角，连结，，，，，‎ ‎（2）与相似，，，，‎ 所以，又 ‎，，，，‎ 平面平面.‎ ‎21．解：（1）‎ ‎（2）设直线的方程为 联立方程组 ‎∴‎ 直线平分，所以和斜率互为相反数 设直线的方程为 联立方程组 又 ‎22．解：（1）设点的坐标为，则 所以，点到直线的距离.‎ 当且仅当时等号成立，此时点坐标为.‎ ‎（2）设点的坐标为，显然.‎ 当，点坐标为，直线的方程为；可得，直线；‎ 当时，直线的方程为，‎ 化简得；‎ 综上，直线的方程为 与直线的方程联立，可得点的纵坐标为 因为，轴，所以点的坐标为.‎ 因此，点的坐标为 当，即时，直线的斜率.‎ 所以直线的方程为，‎ 整理得 当时，上式对任意恒成立，‎ 此时，直线恒过定点，也在上，‎ 当时，直线的方程为，仍过定点，‎ 故符合题意的直线恒过定点.‎ ‎（3）所以 设的方程为 则，，‎