数学（理）卷·2018届山东省实验中学高三第一次模拟考试（2018

数学（理）卷·2018届山东省实验中学高三第一次模拟考试（2018

山东省实验中学2015级第一次模拟考试 数学试题(理科)‎ ‎2018.04‎ 说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第l页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．‎ 第I卷(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题．每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．设集合 A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．设 A． B． C． D．10‎ ‎4．已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题： 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n=‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎6.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是 A.2 B. ‎ C. D.3‎ ‎8.将函数的图象上各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，设，则的图象大致为 ‎9.如果的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为 A. B. C. D. ‎ ‎10.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面ABC，若该棱锥的体积为，则此球的表面积等于 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知A,B是过抛物线焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足的值为 A. B. C.4 D.2‎ ‎12.已知偶函数满足时，，关于的不等式上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围 A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知实数满足约束条件则的最小值为__________.‎ ‎14.在平面区域内投入一点P，则点P的坐标满足的概率为____________.‎ ‎15.在，过B点作AB交AC于点D，如果，则AD=____________.‎ ‎16.已知函数，直线的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2，4，现有如下命题：‎ ‎①该函数在上的值域是 ‎②在上，函数在处取得最大值 ‎③该函数的最小正周期可以是 ‎④函数的图象可能过原点 以上正确的命题的序号是____________.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）已知数列满足：.‎ ‎（I）令，求证：数列为等比数列并求数列的通项公式；‎ ‎（II）令为数列的前n项和，求证：.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 在刚刚过去的济南市第一次模拟考试中，某班同学表现优异，成绩突出，现将全班50名同学的成绩按班内名次统计成如下的2×2列联表：‎ ‎（I）完成列联表，若定义前20名的学生为优等生，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为该班“成绩是否优等与性别有关”？请说明理由.‎ 附：.‎ ‎（II）优等生中的男生成绩在学校前100名的只有2人，现从这8人中抽取3人，记其中成绩在学校前100名的人数为，求的分布列及数学期望。‎ ‎19. （本小题满分12分）已知四棱锥面ABCD且PD=2，是边长为的正三角形，，M为PC上的点，且.‎ ‎（I）求证：PA//面MBD；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，过焦点且垂直于长轴的弦长为1.过左焦点的直线l与椭圆交于A,B两点，M是AB的中点.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；若直线l不平行于坐标轴，证明：直线OM（O是坐标原点）与直线l的斜率之积为定值；‎ ‎（II）D是椭圆上一点（A,D在x轴的同侧），且满足，求四边形面积的最大值.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（I）函数不存在零点，求实数a的范围；‎ ‎（II）若为函数的导函数，对任意与的大小关系，并给出证明.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中直线l的倾斜角，且经过点，以坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为，直线l与曲线E相交于A,B两点.‎ ‎（I）求直线l的一般方程和曲线E的标准方程；‎ ‎（II）求的值.‎ ‎23. [选修4-5，不等式选讲]（10分）‎ 已知定义在R上的函数恒成立.‎ ‎（I）解关于的不等式；‎ ‎（II）若.‎ 绝密★启用前 山东省实验中学2015级第一次模拟考试 数学答案(理科) 2018．04‎ 一． 选择题 BDBCC ADADB AC 二.填空题 ‎13. 14. 15. 16.①②‎ 三解答题 ‎17. 证明：⑴因为， ‎ 所以，‎ 即，…………………………………………………………………………………2分 又………………………………………………………………………………3分 所以数列为首项是，公比是的等比数列……………………………………………4分 所以，即 所以………………………………………………………………………………6分 ‎⑵由⑴可知 所以……………………………………………………………………………………8‎ 分 故 令，则 ‎，……………………………………………………………9分 两式相减得：‎ ‎…………………………………………11分 所以……………………………………………………………………………………12分 ‎18.解：⑴‎ 前20名 后30名 合计 男生 ‎8‎ ‎20‎ ‎28‎ 女生 ‎12‎ ‎10‎ ‎22‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎……………………………………………………………………………………………………………2分 由列联表得，…………………………………………………4分 因为，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为该班“成绩是否优等与性别有关”。………………………………………………………………5分 ‎⑵的可能取值为………………………………………………………………………6分 ‎，‎ ‎………………………………………………………………………9分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎………………………………………………………………………………………………10分 ‎………………………………………………………………12分 ‎19.⑴证明：取中点，则，进而共线，……………………1分 由已知得，，所以 又 所以……………………………………………………………………………………3分 又面，面 所以面。……………………………………………………………………5分 ‎⑵‎ 过作的平行线，因为面，所以面 所以，‎ 分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系。…………………………………………………………6分 因为 所以 ‎ 因为，所以 设是平面的一个法向量，则 不妨令，则，即………………………………………………9分 显然是面的一个法向量，……………………………………………………10分 设二面角的大小为，‎ 所以 即二面角的余弦值为……………………………………………………12分 ‎20．解：（1） ，得 ，‎ 所求椭圆的标准方程是 .-----------------------------------1分 设，则...(1)，...(2)‎ ‎（1）-（2）得----------------3分 ‎，即，即 ------5分 ‎(2）设直线 ，设 ‎ ‎ 消去x得 ，‎ ‎ ， ---------7分 延长 交椭圆与点E，连接BE，根据对称性，---8分 ‎= ----------10分 令 ， ，‎ 所以当 ，的最大值为3.----------------------------------12分 另解：‎ ‎ ‎ ‎ ----------------------8分 点 到直线的距离 ‎ 根据对称性，= =----------10分 ‎ ‎ 令 ， ，‎ 所以当 ，的最大值为3.----------------------------------12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．解：解：（1）函数的定义域为R，，…………………1分 当时，是增函数， ‎ 且当时，. ‎ 当时，，，取，‎ 则，所以函数存在零点. ------------3分 注：用极限方法说明函数存在零点也是可行的，可参考得分.‎ ‎②当时，. ‎ 在上单调递减，在上单调递增，所以时取最小值.………………5分 函数不存在零点，等价于，‎ 解得.‎ 综上所述：所求的实数的取值范围是.………………6分 ‎（2） ‎ ‎= ‎ ‎-------------------------------------------7分 ‎-=‎ ‎== ‎ ‎=----------------------------8分 令 ，‎ 令 , ------------------------10分 在区间上为减函数，所以，所以 在区间上为减函数，所以，‎ 由此得<.------------------------------------------12分 ‎ ‎ ‎22．解（1）由题意可知直线为，即 曲线：，所以，即，所以标准方程为 -------------------------------5分 ‎（2）根据题意直线的参数方程是，将其代入曲线E方程，可得 ‎，所以，‎ 所以 -------------------------------10分 ‎23．解：因为，所以，，又因为 所以 --------------------------2分 ‎（1）‎ 所以当 当 当 综上可得不等式的解集为 --------------------------5分 ‎ （2）因为，所以 所以，所以 当且仅当时等号成立 所以 -------------------------10分 ‎ ‎