2018届二轮复习古典概型学案（全国通用）

2018届二轮复习古典概型学案（全国通用）

古典概型 ‎【考点梳理】‎ ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、简单古典概型的概率 ‎【例1】(1)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)‎ A．0.4　　 B．0.6‎ C．0.8 D．1‎ ‎(2)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案] (1)B　(2)C ‎[解析] (1)记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2‎ ‎，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.‎ ‎(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.‎ ‎2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．‎ 所以所求事件的概率P＝1－＝.‎ ‎2．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．‎ ‎[答案] ‎[解析] 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.‎ 考点二、复杂古典概型的概率 ‎【例2】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率；‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ ‎[解析] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16，‎ 所以基本事件总数n＝16.‎ ‎(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．‎ 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎(2)记“xy≥8”为事件B，“3，‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出 ；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．‎ ‎2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．‎ ‎【对点训练】‎ 某中 调查了某班全部45名同 参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同 ，求该同 至少参加上述一个社团的概率；‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同 中，有5名男同 A1，A2，A3，A4，A5,3名女同 B1，B2，B3.现从这5名男同 和3名女同 中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ ‎[解析] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，‎ 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，‎ 所以从该班随机选1名同 ，该同 至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从这5名男同 和3名女同 ‎ 中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个.‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．‎ 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.‎ 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.‎ 考点三、古典概型与统计的综合应用 ‎【例3】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62　73　81　92　95　85　74　64　53‎ ‎76　78　86　95　66　97　78　88　82　76　89‎ B地区：73　83　62　51　91　46　53　73　64‎ ‎82　93　48　65　81　74　56　54　76　65　79‎ ‎(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.‎ ‎[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：‎ 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.‎ ‎(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；‎ CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；‎ CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；‎ CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；‎ 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，且C＝CB1CA1＋CB2CA2.‎ ‎∴P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)‎ ‎＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)‎ ‎＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).‎ 又根据茎叶图知P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝.‎ 因此P(C)＝×＋×＝＝0.48.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数 应用意识．‎ ‎2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．‎ ‎【对点训练】‎ 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品中 自A，B，C各地区商品的数量；‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品 自相同地区的概率．‎ ‎[解析] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ＝，‎ 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 ‎50×＝1，150×＝3，100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.‎ ‎(2)设6件 自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.‎ 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2} ，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2 ，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3 ，C2}，{C1，C2}，共15个.‎ 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 记事件D：“抽取的这2件商品 自相同地区”，则事件D包含的基本事件有 ‎{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.‎ 所以这2件商品 自相同地区的概率P(D)＝.‎