2017-2018学年广东省深圳市翠园中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年广东省深圳市翠园中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年广东省深圳市翠园中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎2．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎3．（5分）用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号）．若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是（　　）‎ A．33 B．34 C．35 D．36‎ ‎4．（5分）命题“对任意的x∈R，x2﹣3x+1≤0”的否定是（　　）‎ A．存在x∈R，x2﹣3x+1≤0 B．存在x∈R，x2﹣3x+1≤0‎ C．存在x∈R，x2﹣3x+1＞0 D．对任意的x∈R，x2﹣3x+1＞0‎ ‎5．（5分）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）如图，若程序框图输出的S是127，则判断框①中应为（　　）‎ A．n≤5？ B．n≤6？ C．n≤7？ D．n≤8？‎ ‎8．（5分）已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．‎ ‎9．（5分）已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 广告投入（x万元）‎ ‎9.5‎ ‎9.3‎ ‎9.1‎ ‎8.9‎ ‎9.7‎ 利润（y万元）‎ ‎92‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎87‎ ‎93‎ 由此所得回归方程为y=7.5x+a，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（　　）‎ A．95.25万元 B．96.5万元 C．97万元 D．97.25万元 ‎10．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．‎ ‎④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎11．（5分）已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为（　　）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎12．（5分）已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M，N两点，直线MA，MB，NA，NB的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，则下列关系正确的是（　　）‎ A．k1+k2=k3+k4 B．k1+k3=k2+k4 C．k1+k2=﹣（k3+k4） D．k1+k3=﹣（k2+k4）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是　 　．‎ ‎14．（5分）从分别标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机同时抽取3张卡片，所得的三个数能构成等差数列的概率是　 　．‎ ‎15．（5分）下列命题中，‎ ‎①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；‎ ‎②设x1，x2，…，xn的平均数是，标准差是s，则另一组数2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数和标准差分别是和2s；‎ ‎③“9＜k＜15”是“方程+=1表示椭圆”的充要条件．‎ 其中真命题的是（将正确命题的序号填上）　 　．‎ ‎16．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）某校从参加高二期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求这60名学生中分数在[120，130）内的人数；‎ ‎（Ⅱ）估计本次考试的中位数和平均分．‎ ‎18．（12分）已知c＞0，c≠1，设p：函数f（x）=cx在R上单调递减；q：函数g（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数．‎ ‎（Ⅰ）若，判断p、q的真假；‎ ‎（Ⅱ）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．‎ ‎19．（12分）“∃x∈{﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题．‎ ‎（Ⅰ）求实数m的取值集合M；‎ ‎（Ⅱ）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知中心在原点、焦点在y轴上的椭圆C的一个顶点是D（1，0），其离心率是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）斜率为2的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．‎ ‎21．（12分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过1小时收费10元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人参与但都不超过4小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的．为吸引顾客，每个顾客可以参加一次抽奖活动．‎ ‎（1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过1小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44元的概率；‎ ‎（2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率．‎ ‎22．（12分）已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年广东省深圳市翠园中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．‎ ‎【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，‎ 可知焦点在y轴，且a=3，b=2，‎ 故渐近线方程为y==‎ 故选A ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线的求解，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q可得¬q为x＜2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，‎ 则￢p：﹣3≤x≤1，‎ 又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，‎ 所以￢p是￢q的充分不必要条件；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查充分、必要条件的判断，解题的关键是利用补集的思想，并且根据充要条件的判断可以转化为两个集合之间的关系．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号）．若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是（　　）‎ A．33 B．34 C．35 D．36‎ ‎【分析】按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这20个数成等差数列，首项为3，d=8（d是公差），即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得分段间隔是8，抽出的这20个数成等差数列，首项为3，‎ ‎∴第5组中用抽签方法确定的号码是3+32=35．‎ 故选C．‎ ‎【点评】系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）命题“对任意的x∈R，x2﹣3x+1≤0”的否定是（　　）‎ A．存在x∈R，x2﹣3x+1≤0 B．存在x∈R，x2﹣3x+1≤0‎ C．存在x∈R，x2﹣3x+1＞0 D．对任意的x∈R，x2﹣3x+1＞0‎ ‎【分析】命题“对任意的x∈R，x2﹣3x+1≤0”是全称命题，其否定应为特称命题．‎ ‎【解答】解：：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，‎ ‎∴命题“对任意的x∈R，x2﹣3x+1≤0”的否定是“存在x∈R，x2﹣3x+1＞0”，‎ 故选C．‎ ‎【点评】‎ 命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．‎ ‎【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，‎ 至少一次正面朝上的对立事件的概率为，‎ ‎1﹣=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，‎ 则2a+2c=2×2b，‎ 即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，‎ 整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图，若程序框图输出的S是127，则判断框①中应为（　　）‎ A．n≤5？ B．n≤6？ C．n≤7？ D．n≤8？‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图，可得该程序的作用是计算S=1+2+22+…+2n的值，利用S=127，求出满足条件的n，并确定循环的条件，据此即可得到答案．‎ ‎【解答】解：第一次循环，S=1+2=3，n=2，满足条件，‎ 第二次循环，S=3+22=7，n=3，满足条件，‎ 第三次循环，S=7+23=15，n=4，满足条件，‎ 第四次循环，S=15+24=31，n=5，满足条件，‎ 第五次循环，S=31+25=63，n=6，此时满足条件，‎ 第六次循环，S=63+26=127，n=7，此时不满足条件输出S，所以判断框的条件为n≤6？．‎ 故选B．‎ ‎【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．‎ ‎【分析】首先根据椭圆的定义求出MF2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果．‎ ‎【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2=8，‎ 由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，‎ 根据中位线定理得：|ON|=4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 广告投入（x万元）‎ ‎9.5‎ ‎9.3‎ ‎9.1‎ ‎8.9‎ ‎9.7‎ 利润（y万元）‎ ‎92‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎87‎ ‎93‎ 由此所得回归方程为y=7.5x+a，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（　　）‎ A．95.25万元 B．96.5万元 C．97万元 D．97.25万元 ‎【分析】首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出所获利润．‎ ‎【解答】解：由题意，=（9.5+9.3+9.1+8.9+9.7）=9.3，=（92+89+89+87+93）=90，‎ 将（9.3，90）代入y=7.5x+a，可得a=20.25，‎ ‎∴x=10时，y=75+20.25=95.25．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．‎ ‎④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【分析】利用茎叶图分别求出甲、乙两地某月14时的气温的平均值和标准差，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由茎叶图，得：‎ 甲地该月14时的平均气温=（26+28+29+31+31）=29，‎ 甲地该月14时的平均气温的标准差S甲==，‎ 乙地该月14时的平均气温=（28+29+30+31+32）=30，‎ 乙地该月14时的平均气温的标准差S乙==，‎ ‎∴甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，‎ 甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．‎ ‎∴根据茎叶图能得到的统计结论的标号为①③．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查平均值、标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、平均值、标准差的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为（　　）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足：“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域面积的大小，及0≤x≤2π，|y|≤1对应平面区域面积的大小，再将它们一块代入几何概型的计算公式解答．‎ ‎【解答】解：0≤x≤2π，|y|≤1所对应的平面区域如下图中长方形所示，‎ ‎“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示：‎ 根据余弦曲线的对称性可知，蓝色部分的面积为长方形面积的一半，‎ 故满足“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”的概率 P==．‎ 故选A．‎ ‎【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M，N两点，直线MA，MB，NA，NB的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，则下列关系正确的是（　　）‎ A．k1+k2=k3+k4 B．k1+k3=k2+k4 C．k1+k2=﹣（k3+k4） D．k1+k3=﹣（k2+k4）‎ ‎【分析】设出点的坐标，求出斜率的和，利用点在曲线上，化简，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设M（x，y），则k1+k2=+=‎ ‎∵，∴=﹣，∴k1+k2=﹣‎ 设N（x′，y′），则k3+k4=+=‎ ‎∵，∴=，∴k3+k4=‎ ‎∵O，M，N共线 ‎∴‎ ‎∴k1+k2=﹣（k3+k4）‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合，考查斜率的计算，正确计算是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是　（0，）　．‎ ‎【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得点M在以为F1F2直径的圆上运动且这个圆上的点都在椭圆内部．由此建立a、b、c的不等式，解出a＞c．再利用离心率的公式加以计算，可得此椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），如图所示．‎ 若点M满足=0，则，‎ 可得点M在以为F1F2直径的圆上运动，‎ ‎∵满足=0的点M总在椭圆内部，‎ ‎∴以为F1F2直径的圆是椭圆内部的一个圆，即椭圆短轴的端点在椭圆内．‎ 由此可得b＞c，即＞c，解之得a＞c．‎ 因此椭圆的离心率e=，椭圆离心率的取值范围是（0，）．‎ 故答案为：（0，）‎ ‎【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的范围．着重考查了向量数量积的运算性质、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）从分别标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机同时抽取3张卡片，所得的三个数能构成等差数列的概率是　0.4　．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出所得的三个数能构成等差数列包含的基本事件，由此能求出所得的三个数能构成等差数列的概率．‎ ‎【解答】解：从分别标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机同时抽取3张卡片，‎ 基本事件总数n==10，‎ 所得的三个数能构成等差数列包含的基本事件有：‎ ‎（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（1，3，5），共4个，‎ ‎∴所得的三个数能构成等差数列的概率p=．‎ 故答案为：0.4．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）下列命题中，‎ ‎①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；‎ ‎②设x1，x2，…，xn的平均数是，标准差是s，则另一组数2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数和标准差分别是和2s；‎ ‎③“9＜k＜15”是“方程+=1表示椭圆”的充要条件．‎ 其中真命题的是（将正确命题的序号填上）　①②　．‎ ‎【分析】由命题的逆命题和否命题互为等价命题，即可判断①；‎ 运用平均数和方差（标准差）的性质，即可判断②；‎ 运用椭圆方程的形式和充分必要条件的定义即可判断③．‎ ‎【解答】解：①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；‎ 由命题的逆命题和否命题互为等价命题，可得①正确；‎ ‎②设x1，x2，…，xn的平均数是，标准差是s，方差为s2，‎ 则另一组数2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数和方差分别是和4s2，标准差为2s，则②正确；‎ ‎③方程+=1表示椭圆⇔15﹣k＞0，k﹣9＞0，且15﹣k≠k﹣9⇔9＜k＜15且k≠12，‎ 则“9＜k＜15”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，即③不正确．‎ 故答案为：①②．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断，考查四种命题的关系、充分必要条件的判断和平均数和方差、标准差的求法和性质，以及椭圆方程的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三角形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．‎ ‎【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a ‎∴|AF1|=2m﹣2a ‎∵|AF1|﹣|AF2|=2a ‎∴2m﹣2a﹣m=2a ‎∴m=4a 在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°‎ ‎∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•‎ ‎∴c=a ‎∴=‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）某校从参加高二期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求这60名学生中分数在[120，130）内的人数；‎ ‎（Ⅱ）估计本次考试的中位数和平均分．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出这60名学生中分数在[120，130）内的频率，由此能求出这60名学生中分数在[120，130）内的人数．‎ ‎（Ⅱ）分数在[90，120）的频率为0.4，分数在[120，130）的频率为0.3，由此能估计本次考试的中位数，利用频率分布直方图能估计平均分．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得这60名学生中分数在[120，130）内的频率为：‎ ‎1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，‎ ‎∴这60名学生中分数在[120，130）内的人数为：60×0.3=18．‎ ‎（Ⅱ）∵分数在[90，120）的频率为：（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，‎ 分数在[120，130）的频率为：0.3，‎ ‎∴估计本次考试的中位数为：×10=．‎ 平均分为：=95×0.010×10+105×0.015×10+115×0.015×10+125×0.3+135×0.025×10+145×0.005×10‎ ‎=121．‎ ‎【点评】本题考查频数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知c＞0，c≠1，设p：函数f（x）=cx在R上单调递减；q：函数g（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数．‎ ‎（Ⅰ）若，判断p、q的真假；‎ ‎（Ⅱ）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过指数函数以及二次函数的单调性判断两个命题的真假即可．‎ ‎（Ⅱ）由函数y=cx在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），设p：函数f（x）=（）x在R上单调递减；是真命题；‎ q：函数g（x）=x2﹣x+1它的对称轴为：x=，开口向上的二次函数，在（，+∞）上为增函数．是假命题；‎ ‎（Ⅱ）∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1．‎ 即p：0＜c＜1，‎ ‎∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．‎ 又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．‎ 即q：0＜c≤，‎ ‎∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．‎ 又∵“p或q”为真，“p且q”为假，‎ ‎∴p真q假，或p假q真．‎ ‎①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．‎ ‎②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．‎ 综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．‎ ‎【点评】本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）“∃x∈{﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题．‎ ‎（Ⅰ）求实数m的取值集合M；‎ ‎（Ⅱ）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；‎ ‎（Ⅱ）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，③当a=2﹣a即a=1时，N=φ三种情况进行求解 ‎【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=（x﹣）2﹣‎ ‎∵﹣1＜x＜1‎ ‎∴﹣≤m＜2‎ M={m|﹣≤m＜2}‎ ‎（Ⅱ）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N ‎①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即a＞‎ ‎②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即a＜﹣‎ ‎③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件 综上可得a＞或a＜﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知中心在原点、焦点在y轴上的椭圆C的一个顶点是D（1，0），其离心率是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）斜率为2的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知：b=1，由e2=1﹣=a=2，求出a．即可得出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+m，与椭圆方程联立可得8x2+4mx+m2﹣4=0=0，△≥0，即m2≤8．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用弦长公式，即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）中心在原点、焦点在y轴上的椭圆C的一个顶点是D（1，0），‎ 则b=1，‎ ‎∵e==，‎ ‎∴e2=1﹣=，‎ 解得a2=4，b2=1，‎ 故椭圆的方程为x2+=1，‎ ‎（Ⅱ）设斜率为2的直线l方程为y=2x+m，代入椭圆方程 可得8x2+4mx+m2﹣4=0，‎ ‎∵l与椭圆C交于A、B两点，‎ ‎∴△=16m2﹣32（m2﹣4）≥0，即m2≤8．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=﹣m，x1x2=．‎ ‎∴弦长|AB|2=（1+22）•[（x1+x2）2﹣4x1x2]=5（m2﹣4×）=5×≤10，‎ ‎∴|AB|≤‎ ‎∴当m=0，即l的直线方程为y=2x时，弦长|AB|的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过1小时收费10元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人参与但都不超过4小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的．为吸引顾客，每个顾客可以参加一次抽奖活动．‎ ‎（1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过1小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44元的概率；‎ ‎（2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率．‎ ‎【分析】（1）设甲付费a元，乙付费b元，其中a，b=10，18，26，34，由此利用列举法能求出“甲、乙二人付费之和为44元”的概率．‎ ‎（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1点（x，y）在正方形OABC内，作出条件的区域，由此能求出顾客中奖的概率．‎ ‎【解答】解：（1）设甲付费a元，乙付费b元，其中a，b=10，18，26，34．‎ 则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为：‎ ‎（10，10），（10，18），（10，26），（10，34），（18，10），（18，18），（18，26），（18，34），‎ ‎（26，10），（26，18），（26，26），（26，34），（34，10），（34，18），（34，26），（34，34）共16种情形．（4分）‎ 其中，（10，34），（18，26），（26，18），（34，10）这4种情形符合题意．‎ 故“甲、乙二人付费之和为44元”的概率为．（6分）‎ ‎（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1点（x，y）如图的正方形OABC内，‎ 由条件，得到的区域为图中阴影部分，（9分）‎ 由x﹣2y+1=0，令x=0得；令x=1得y=1；‎ 由条件满足的区域面积．（11分）‎ 设顾客中奖的事件为N，则顾客中奖的概率．（12分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，则P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，则a=4，c=，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当，解得t=±2，代入即可求得，定点的坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，由N：及，知点M在圆N内，则有，‎ 从而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，‎ ‎∴P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 设曲线C的方程为：（a＞b＞0），则2a=4，a=4，c=，‎ b2=a2﹣c2=1‎ 故曲线C的轨迹方程为；‎ ‎（Ⅱ）依题意可设直线AB的方程为x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，‎ 由，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，则△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，‎ 解得：m＞2或m＜﹣2，‎ 由y1+y2=﹣，y1y2=，x1+x2=m（y1+y2）+6=，‎ x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9=，‎ 假设存在定点Q（t，0），使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数，则 ‎（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2=﹣t×+t2=，‎ ‎∴kAQ•kBQ=•==，‎ 要使kAQ•kBQ为非零常数，当且仅当，解得t=±2，‎ 当t=2时，常数为=，‎ 当t=﹣2时，常数为=，‎ ‎∴存在两个定点Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直线AQ，BQ的斜率之积为常数，‎ 当定点为Q1（2，0）时，常数为；当定点为Q2（﹣2，0）时，常数为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎