数学文卷·2018届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试(2017

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文档介绍

数学文卷·2018届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试(2017

兰州一中2017-2018-1学期高三年级期中考试试题 数 学(文)‎ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间150分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 一.选择题(本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={θ|sinθ > cosθ},B={θ|sinθ · cosθ < 0},若θ∈A∩B,则θ所在的象限是( )‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,B(s,t)是直线l外一点,由方程f(x,y)+ f(m,n)+ f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是( )‎ A.斜交 B.垂直 C.平行 D.重合 ‎3.在(x2-1)(x+1)4的展开式中,x3的系数是( )‎ ‎ A.0 B.‎10 ‎ C.-10 D.20‎ ‎4.正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为l,则的取值范围为( )‎ A.(,+∞) B.(,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞)‎ ‎5.设函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为(,+∞),则在整个定义域上,f(x)<2恒成立的充要条件充是( )‎ A.0<a< B.0<a ≤ C.a>且a≠1 D.a≥且a≠1‎ ‎6.设,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是( )【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎ A.a B.b C.c D.不确定 ‎7.的值为( )‎ ‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎8.设f(n)=cos(+),则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2006)=( )‎ ‎ A.- B.- C.0 D.‎ ‎9.已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则的 值是( )‎ ‎ A. B.- C.3 D.-3‎ ‎10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则|QF|=(  )‎ A. B. C.3 D.6‎ ‎11.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是(  )‎ D.‎ C�‎ B.‎ A.‎ ‎ ‎ ‎12.对于任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数(例如:[3.6]=3,[-3.6]=-4等),设函数f(x)= x - [x],给出下列四个结论:①f(x)≥0;②f(x)<1;③f(x)是周期函数;④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是( )‎ ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷 ‎(13题图)‎ 二、填空题:每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.‎ ‎13.函数的图象如图所示,‎ 则ω=  ,φ=  .‎ ‎14.设m=(a,b),n= (c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“”‎ 为mn=(ac-bd,ad+bc),若p=(1,2),pq=(-4,-3),则q= .‎ ‎15.如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒 ‎(15题图)‎ 落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为   . ‎ ‎16.设x、y满足约束条件则目标函数z=6x+3y的 最大值是 .‎ 三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(cosA,sinA),n=(1,0),且向量m+n为单位向量,求: ‎ ‎ (Ⅰ)角A;‎ ‎ (Ⅱ).‎ ‎18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA.‎ ‎ (Ⅰ)证明PC∥平面EBD;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角A—BE—D的正切值.‎ ‎(18题图)‎ ‎19. (本小题满分12分)在同款的四个智能机器人A,B,C,D之间进行传球训练,收集数据,以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出,每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”,记经过第 次传递后球回到A 手中的概率为 Pn.‎ ‎ (Ⅰ)求P1、P2 、P3的值;【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎ (Ⅱ)求Pn关于n的表达式.‎ ‎20. (本小题满分12分)已知椭圆C:,斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A,B.‎ ‎(Ⅰ)设M为弦AB的中点,求动点M的轨迹方程;‎ ‎ (Ⅱ)设F1,F2为椭圆C在左、右焦点,P是椭圆在第一象限内一点,满足,求△PAB面积的最大值.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0.‎ ‎(Ⅰ)求函数y =f(x)的解析式;‎ ‎ (Ⅱ)求函数与y=f(x)的图象有三个交点,求a的范围.‎ ‎  请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,按所做的第一题计分,做答时请写清题号.‎ ‎22. (本小题满分10)(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设 M(x,y)为上任意一点,‎ 求的最小值,并求相应的点M的坐标. ‎ ‎23. (本小题满分10)(选修4-5:不等式选讲)‎ ‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当a=2时,解不等式f(x)≥7﹣|x﹣1|;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)≤2的解集为[﹣1,3],,求证:‎ ‎.‎ 兰州一中2017-2018-1学期高三年级期中考试 数学(文)参考答案及评分标准 一.选择题(本卷共12小题,每小题5分,共60分)【来源:全,品…中&高*考+网】【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B B C D A B B D C 二、填空题:每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.‎ ‎13. 2;;‎ ‎14. (-2,1);‎ ‎15. 0.38;‎ ‎16. 5.‎ 三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(cosA,sinA),n=(1,0),且向量m+n为单位向量,求: ‎ ‎ (Ⅰ)角A;‎ ‎ (Ⅱ).‎ 解:(Ⅰ)∵ m+n=(cosA+1,sinA) 为单位向量,‎ ‎ ∴ (cosA+1)2+sin‎2A=1 ,即2 cosA+1=0,‎ 得cosA=-,∴ A= . ……………………………… 4分 ‎(Ⅱ)∵ A=,∴ B+C= ,即B=-C,结合正弦定理得:‎ ‎==‎ ‎ ==‎ ‎ ==2. ……………………………… 10分 ‎18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA.‎ ‎ (Ⅰ)证明PC∥平面EBD;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角A—BE—D的余弦值.‎ ‎(Ⅰ)证明:连接AC交BD于G,连接EG,‎ ‎ ∵ ,又 ,‎ ‎ ∴ ,∴ PC∥EG,‎ ‎ 又EG平面EBD,PC平面EBD,‎ ‎∴ PC∥平面EBD.‎ ‎…………………………………………… 6分 ‎(Ⅱ)解法一:‎ ‎ ∵ PB⊥平面ABCD, ∴ AD⊥PB.‎ ‎ 又∵ AD⊥AB,∴ AD⊥平面EAB.‎ ‎ 作AH⊥BE于H,连接DH,则DH⊥BE,‎ ‎ ∴ ∠AHD 是二面角A—BE—D的平面角.‎ ‎ 在△ABE中,AE=,由余弦定理可得BE=,‎ 由△ABE 的面积得:AH=,‎ ‎ ∴ tan∠AHD==,‎ ‎ 故 二面角A—BE—D的正切值为. ……………………………… 12分 ‎19. (本小题满分12分)在同款的四个智能机器人A,B,C,D之间进行传球训练,收集数据,以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A传出,每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”,记经过第 次传递后球回到A 手中的概率为Pn.‎ ‎ (Ⅰ)求P1、P2 、P3的值;‎ ‎ (Ⅱ)求Pn关于n的表达式.‎ 解:(Ⅰ)经过一次传球后,球落在B,C,D手中的概率分别为而在A手中的概率为0;‎ 因此,‎ 两次传球后,球落在A手中的概率为 要想经过三次传球后,球落在A手中,只能是经过二次传球后球一定不在A手中,‎ ‎∴ …………………………………… 5分 ‎(Ⅱ)要想经过n次传球后,球落在A手中,只能是经过次次传球后球一定不在A手中,‎ ‎∴ , ……………………………………7分 设 , 则 ,‎ ‎∴ ,, 即 ,‎ 而,所以,是以()为首项,()为公比的等比数列, ……………………………………9分 ‎∴ ,即 ,显然当n=1时也适合,‎ 故 . ……………………………………12分 ‎20. (本小题满分12分)已知椭圆C:,斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A,B.‎ ‎(Ⅰ)设M为弦AB的中点,求动点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)设F1,F2为椭圆C在左、右焦点,P是椭圆在第一象限内一点,满足,求△PAB面积的最大值.‎ 解:(Ⅰ)设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 由 ①, ②;‎ ① ‎﹣②得:,即;‎ ‎∴ . ……………………… 4分 由于弦AB的中点在椭圆内部,得,‎ ‎∴M点的轨迹方程为();……………………… 5分 ‎(Ⅱ)依题意:F1(,0),F2(,0),设P(x,y)(x>0,y>0),‎ 则 ,,‎ 由 得: ,‎ 即,与椭圆的方程联立,解得:‎ ‎∴P点坐标为; …………………………………… 6分 设直线l的方程为,联立,‎ 整理得:,由△>0得﹣2<m<2,‎ ‎∴ ,, ‎ 于是 ,点P到直线l的距离,………………… 8分 ‎∴;‎ 当且仅当m2=4﹣m2,即时,取等号,‎ 故,△PAB面积的最大值1. ……………………… 12分 ‎21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y +7=0. ‎ ‎(Ⅰ)求函数y =f(x)的解析式;‎ ‎ (Ⅱ)求函数与y=f(x)的图象有三个交点,求a的范围.‎ ‎ 解:(Ⅰ)由f(x)的图象经过点P(0,2),得d=2. ………………………… 2分 ‎∴ ,‎ 由在M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程是6x﹣y +7=0,‎ 有﹣6﹣f(﹣1)+7=0,得f(﹣1)=1,且.‎ ‎∴ ,解得b=c=﹣3.‎ 故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2; ……………………………… 5分 ‎(Ⅱ)∵函数g(x)与f(x)的图象有三个交点,‎ ‎∴方程有三个根,‎ 即有三个根, ……………………………… 7分 令,则h(x)的图象与y=a图象有三个交点.‎ 接下来求h(x)的极大值与极小值,‎ h′(x)=3x2﹣9x+6,令h′(x)=0,解得x=1或2,‎ 当x<1或x>2时,h′(x)>0;当1<x<2时,h′(x)<0,‎ ‎∴ h(x)的增区间是(﹣∞,1),(2,+∞);减区间是(1,2),…………… 10分 ‎∴ h(x)的极大值为h(1)=,h(x)的极小值为h(2)=2‎ 故, a的范围是:2<a<. ……………………………… 12分 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,按所做的第一题计分,做答时请写清题号.‎ ‎22. (本小题满分10)(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x,y)为上任意一点,‎ 求的最小值,并求相应的点M的坐标.【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 解:(Ⅰ)圆C的方程为 …………………………………… 1分 ‎ 直线L方程为 ………………………… 3分 ‎(Ⅱ)由和得 ………………… 5分 设M为,则 …… 8分 所以当M为或时原式取得最小值1. …………… 10分 ‎23. (本小题满分10)选修4-5:不等式选讲 ‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当a=2时,解不等式f(x)≥7﹣|x﹣1|;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)≤2的解集为[﹣1,3],,求证:.‎ ‎ 解:(Ⅰ)当a=2时,不等式f(x)≥7﹣|x﹣1|,即|x﹣2|+|x﹣1|≥7,‎ ‎∴ ①,或②,或③.‎ ‎……………………………………… 3分 解①得x≤﹣2,解②得x∈∅,解③得x≥5,‎ ‎∴不等式的解集为(﹣∞﹣2]∪[5,+∞). ……………………………… 5分 ‎(Ⅱ)f(x)≤2,即|x﹣a|≤2,解得a﹣2≤x≤a+2,而f(x)≤2解集是[﹣1,3],‎ ‎∴,解得a=1,∴ (m>0,n>0).……………… 7分 ‎∴,‎ 当且仅当,即,时,取等号.……………… 10分
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