数学文卷·2018届青海省平安县第一高级中学高二下学期期中考试（2017-04）
平安一中 2016-2017 学年度第二学期期中考试试卷
高二数学（文）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3.曲线 在点(1 ， )处切线的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
4. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 如果复数 为纯虚数，则 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
6．使函数 是减函数的区间为( )
A． B． C． D．
7. 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
8.下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
( )2 −i i
2 ( )1
ai a Ri
− ∈+ a =
2, 3
π − 2cosρ θ= −
7
2
9 9
π+
2
4 9
π+
2
1 11x x x
′ + = +
( )2
1log ln 2x x
′ =
( ) 33 3 logx x x′ = ( )2 cos 2 sinx x x x′ = −
z (1 ) 3z i i− = + z =
1 2i+ 1 2i− + 1 2i− 1 2i− −
2
1 2
i
i
+
−
3
5 i− 3
5 i i− i
xxy 22
1 2 −=
2
3−
1− °45 °− 45 °135
13)( 23 +−= xxxf
( )+∞,2 ( )2,∞− ( )0,∞− ( )2,0
班级 姓名 学号 座位号
9. 函数 的极值点的个数是（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
10.极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的图形分别是（ ）
A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、直线 D.圆、圆
11．若函数 在区间 内是增函数，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
12. 设 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， ，当 时，
且 则不等式 的解集是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 .
14．函数 在区间 上的最小值是____________.
15．函数 的极大值为 ，则 等于____________.
16．在极坐标系中，点(2，
π
3 )到直线 ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝6 的距离为________．
三、解答题（5 道大题，共 70 分。第 17 题 10 分，其余每题 12 分。）
17．已知直线 l：{x＝5＋
3
2 t，
y＝ 3＋
1
2t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点 M 的直角坐标为(5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|·|MB|的值．
18.在直角坐标系 xOy 中，直线 的参数方程为 ．在极坐标（与直角坐标
系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C 的方程为
cosρ θ=
1
2 3
x t
y t
= − −
= + t
l
2)( 3 −+= axxxf ),1( +∞ a
),3( +∞ ),3[ +∞− ),3( +∞− )3,( −−∞
)(),( xgxf ( ) 0,g x ≠ 0
( 3) 0,f − = 0)(
)( <
xg
xf
),3()0,3( +∞∪− )3,0()0,3( ∪− ),3()3,( +∞∪−−∞ )3,0()3,( ∪−−∞
z 32 1)1( iiz +=−⋅ i =z
( ) 3 23 5f x x x= − + 51, 2
3 2( ) 2 3f x x x a= − + 6 a
．
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 C 与直线 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（2,1），求|PA|＋|PB|．
19.已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方
程为 ．
（1）求 和 的值；（2）求函数 的解析式．
20.已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）写出直线 l 的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标（ ）．
21. 已知函数 ,曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 的值及函数 的单调区间；
l
3 2( )f x x bx cx d= + + + (0,2)P ( 1, ( 1))M f− −
6 7 0x y− + =
( 1)f − '( 1)f − ( )f x
+−=
−=
ty
tx
1
2 cos( )4
πρ θ= +
πθρ 20,0 <≤≥
( ) xf x e ax= + ( )y f x= ( )( )0, 0f 1y =
a ( )f x
（2）若 ,求 的最大值.
22．已知函数 f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.
(1)若 λ＝0，求 f(x)的最大值；
(2)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 x＋y＋1＝0 垂直，证明： >0.
平安一中 2016-2017 学年度第二学期期中考试试卷
高二数学（文）答案
选择题答案：
ACDA DDBB ACBD
填空题答案：
13. i 14.1 15.6 16.1
解答题答案:
17. 【答案】(1) x2＋y2－2x＝0; (2) |MA|·|MB|＝|t1t2|＝18
试题解析：(1)ρ＝2cos θ 等价于 ρ2＝2ρcos θ.①
将 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.②
(2)将{x＝5＋
3
2 t，
y＝ 3＋
1
2t
(t 为参数)代入②式，
得 t2＋5 3＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，
则由参数 t 的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
( ) ( )0, 1b f x b x c> ≥ − + 2b c
18.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
试题解析：
（Ⅰ）由条件可得 ，∵ ∴
∴化简得曲线 C 的直角坐标方程
（Ⅱ）设点 A、B 对应的参数分别为 ，将
代入 整理得 ，则 ，
又|PA|＋|PB|=
19. 【答案】（1） ， ；
（2） ．
试题解析：（1）∵ 在点 处的切线方程为 ，故点
在切线 上，且切线斜率为 ，得 且 ．
（2）∵ 过点 ，∴ ，∵ ，∴ ，由
得 ，又由 ，得 ，联立方程
得 ，故 ．
20.【答案】（1）ρcosθ+ρsinθ+1=0（2）（1， ）
试题解析：（Ⅰ）∵直线 l 的参数方程为 （t 为参数），
∴消去参数 t，得到直线 l 的普通方程 x+y+1=0，
再将 代入 x+y+1=0，得 ρcosθ+ρsinθ+1=0.
（Ⅱ）曲线 C 的方程为：∴
2 2 4x y x+ = 14
θρρ cos42 = 222,cos ρθρ =+= yxx xyx 422 =+
4)2( 22 =+− yx
21,tt
22 2
21 2
x t
y t
= −
= +
4)2( 22 =+− yx 0322 =−+ tt
−=
−=+
3
2
21
21
tt
tt
( ) 144 21
2
212121 =−+=−=+ tttttttt
( 1) 1f − = '( 1) 6f − =
3 2( ) 3 3 2f x x x x= − − +
( )f x ( 1, ( 1))M f− − 6 7 0x y− + = ( 1, ( 1))f− −
6 7 0x y− + = 6 ( 1) 1f − = '( 1) 6f − =
( )f x (0,2)P 2d = 3 2( )f x x bx cx d= + + + 2'( ) 3 2f x x bx c= + +
'( 1) 6f − = 3 2 6b c− + = ( 1) 1f − = 1 1b c d− + − + =
2
3 2 6
1 1
d
b c
b c d
=
− + =
= − + − +
3
3
2
b
c
d
= −
= −
=
3 2( ) 3 3 2f x x x x= − − +
2
3π
+−=
−=
ty
tx
1
2 cos sinρ ρ θ ρ θ= − 2 2x y x y∴ + = −
联立方程 ∴解得 l 与 C 交点的直角坐标为：（0，-1）
极坐标为（1， ）
21.【答案】（1） ，函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ；
（2） .
解析：（1）函数 的定义域为 ,因为 ,由已知得
,
当 时, ,当 时, ,所以函数 的单调递增区间为
,单调递减区间为 .
（2）不等式 转化为 ,令 , ,由
得,
得 ,所以函数 在 上为减函数, 在 上为
增函数, 所以 , ,令
,则 ,由 得 得
,所以函数 在 上为增函数，在 上为减函数，所以 的
最大值为 ，此时 ，所以 的最大值为 .
22. 【答案】（Ⅰ）0 (2)略
解析：（1）
当
则 f´（x）=
当 f(x)在
−=+
=++
yxyx
yx
22
01
2
3π
1a = − ( )f x ( )0,+∞ ( ),0−∞
21
3 e
( )f x ( ),−∞ +∞ ( )' xf x e a= +
( )' 0 0, 1f a= ∴ = −
0x > ( )' 1 0xf x e= − > 0x < ( )' 0f x < ( )f x
( )0,+∞ ( ),0−∞
( ) ( )1f x b x c≥ − + xe bx c− ≥ ( ) xg x e bx= − ( )' xg x e b= −
( )' 0g x >
( )ln , ' 0x b g x> < lnx b< ( )g x ( ),lnb−∞ ( )ln ,b +∞
( ) ( )min ln ln , lng x g b b b b c b b b= = − ∴ ≤ − 2 3 3 lnb c b b b∴ ≤ −
( ) 3 3 lnh b b b b= − ( ) ( )2' 2 3lnh b b b= − ( )' 0h b > ( )2
30 , ' 0b e h b< < <
2
3b e> ( )h b
2
30,e
当 f(x)在
故 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=0.
(2)证明：由题可得，f′(x)＝λln x＋
λx＋1
x －1.
由题设条件，得 f′(1)＝1，即 λ＝1.
∴f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
由(1)知，ln x－x＋1<0(x>0，且 x≠1)．
当 01 时，f(x)＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x(ln
1
x－
1
x＋1)>0，∴ >0.
综上可知，