数学文卷·2019届河南省滑县第二高级中学高二12月月考（2017-12）

数学文卷·2019届河南省滑县第二高级中学高二12月月考（2017-12）

滑县二中高二12月月考数学试题（文科）‎ 一、选择题 ‎1．设a∈R,则“a=‎1”‎是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2．已知命题总有则为 A.使得 B.使得 C.总有 D.总有 ‎3．若命题“，使得”是假命题，则实数α的取值范围是 Α.[－1，3]　　　　　　　　　　　 Β.(－1，3)‎ C.(－∞，－l]∪[3，＋∞)　　　　　 D.(－∞，－l]∪[3，＋∞)‎ ‎4．如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么等于 A.-6‎ B.‎ C.‎ D.2‎ ‎5．已知(1+i)z=2-i(i为虚数单位),则z的共轭复数=‎ A.-+i B.+i C.+i D.-i ‎6．椭圆的焦点在轴上，的取值范围是 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,与双曲线的渐近线交于两点,若,则双曲线离心率的取值范围为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎9．已知是双曲线的两个焦点,在双曲线上,且满足,则的面积为 A.1‎ B.‎ C.2‎ D.‎ ‎10．过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎11．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为 A.1‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎12．定义在R上的函数f(x)满足:,则不等式exf(x)＞ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 二、填空题 ‎13．已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是                  ht ‎14．已知椭圆:，过点的直线与椭圆交于、两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为            .‎ ‎15．已知双曲线的方程为,点的坐标为是圆上的点,点在双曲线的上支上,则的最小值为        .‎ ‎16．已知函数的导函数为，且满足，则         ．‎ 三、解答题 ‎17．已知设命题函数在R上调单调递增;不等式对任意恒成立,若“或为真,且为假,求的取值范围.‎ ‎18． ‎2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：‎ ‎(1)根据条件完成下列列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？‎ 愿意 不愿意 总计 男生 女生 总计 ‎ (2)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率.‎ 参考数据及公式：‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎.‎ ‎19．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)是否存在与椭圆交于两点的直线，使得成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎20．已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点M在椭圆上,且满足MF2⊥x轴,h|MF1|=.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点,求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值.‎ ‎21．已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求实数a的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的极值.‎ ‎22．已知函数f(x)=2x3-3x.‎ ‎(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;‎ ‎(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(xh?t)相切,求t的取值范围;‎ ‎(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)‎ 参考答案 ‎1.A ‎【解析】因为当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2 :x+2y+4=0平行,而当直线l1:ax+2y-1=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行时,只要满足即可,此时,a=-2或1,所以可知“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.‎ ‎2.A、3.A、4.B、5.C、6.C ‎7.B【解析】本题主要考查双曲线的性质，考查了计算能力.将x=c代入双曲线方程可得,则；将y=c代入渐近线y=可得y=,则，因为,所以,求解可得,故答案为B.‎ ‎8.A ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的几何性质,意在考查考生的运算求解能力与逻辑思维能力.‎ 以线段A‎1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0),半径为a.由题意,圆心到直线bx-ay+2ab=0的距离为=a,即a2=3b2.又e2=1-,所以e=,故选A.‎ ‎9.A ‎【解析】本题主要考查双曲线的定义，考查了计算能力.由双曲线的方程可得a=2，c=，不妨设点P是双曲线右支上一点，则|PF1|-|PF2|=4,,因为,所以|PF1|2+|PF2|2=，将|PF1|-|PF2|=4两边平方化简可得|PF1||PF2|=2, 则的面积S=‎ ‎10.B ‎【解析】本题考查导数的几何意义,直线的斜率.由题意得=,即,解得或.即切线倾斜角的范围为.选B.‎ ‎11.B ‎【解析】本题主要考查导数的几何意义及点到直线的距离.本题对考生的数形结合能力与转化问题的能力提出了较高的要求.当过点P的切线和直线平行时,点P到直线的距离最小.而直线的斜率为1,则令得,(负值舍去),即满足题意的点P(1,1),所求最小距离为.‎ ‎12.A ‎【解析】本题考查了导数与不等式的综合应用.设g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],∵f(x)+f′(x)＞1,∴f(x)+f′(x)﹣1＞0,∴g′(x)＞0,∴y=g(x)在定义域上单调递增,∵exf(x)＞ex+3,∴g(x)＞3,又∵g(0)-e‎0f(0)﹣e0=4﹣1=3,∴g(x)＞g(0),∴x＞0,故选A.‎ ‎13.‎ ‎【解析】本题主要考查了命题的充要性.因为：,,又因为是的充分不必要条件,则,解得,故填.‎ ‎14.‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆、直线的方程与斜率、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了逻辑推理能力与计算能力.设,由题意可得，，且，，两式相减，化简可得，所以直线AB的方程为,即 ‎15.‎ ‎【解析】本题主要考查双曲线的定义、圆的性质、两点间的距离.设点的坐标为则A、D是双曲线的两个焦点，则=‎2a=4，所以,因为点B中圆C：上，则圆心C,所以,即，当M、B在CD上时，等号成立，所以的最小值为 ‎16.‎ ‎【解析】本题考查导数的运算.因为，求导可得；令可得，解得；所以，；所以=0.‎ ‎17.若函数在R上单调递增,则,故命题等价于;‎ 若不等式对任恒成立,‎ 则 ,故命题等价于,‎ 根据题意且为假,或为真,可知中一真一假,‎ 因此(1)当假真时:.‎ ‎(2)当p真q假时: ,当p假q真时:‎ ‎∴取值范围: 或.‎ ‎【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、指数函数,考查了分类讨论思想、恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力.(1)由指数函数的性质可得命题p;根据题意,解不等式组,可得命题q,由或为真,且为假,可知中一真一假,再分p真q假、p真q假求解可得结果.‎ ‎18.(1)‎ 愿意 不愿意 总计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 总计 ‎35‎ ‎65‎ ‎100‎ ‎，‎ 则不能认为在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关.‎ ‎(2)据第一问可知，用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名，‎ 其中男生3名，女生4名，不妨设3名男生分别为1，2，3，4名女生分别为.‎ 从中任取两人，所有可能出现的情况如下：‎ ‎，‎ ‎，共21种.‎ 其中抽取的2人中至少有一名男生有15种.‎ ‎∴.‎ ‎【解析】本题考查独立性检验,古典概型.(1)列出列联表,求得，不能认为在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关.(2)所有可能出现的情况共21种.所求的15种.∴.‎ ‎19.(1)设椭圆C的方程为(a＞b＞0)，半焦距为c.‎ 依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1.‎ 解得c=1，a=2.‎ 所以=4﹣1=3.‎ 所以椭圆C的标准方程是.‎ ‎(2)存在直线l，使得成立.理由如下：‎ 设直线l的方程为y=kx+m，‎ 由，得(3+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎﹣12=0.‎ ‎△=(‎8km)2﹣4(3+4k2)(‎4m2‎﹣12)＞0，化简得3+4k2＞m2.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.‎ 若成立，‎ 即||2=||2，等价于.‎ 所以x1x2+y1y2=0.‎ x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，‎ ‎(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，‎ ‎(1+k2)•，‎ 化简得‎7m2‎=12+12k2.‎ 将代入3+4k2＞m2中，3+4()＞m2，‎ 解得.‎ 又由‎7m2‎=12+12k2≥12，得，‎ 从而，解得或.‎ 所以实数m的取值范围是.‎ ‎20.(1)由已知,得,即a2=‎3c2,又a2=b2+c2,所以b2=‎2c2,故椭圆方程为+=1,设点M在第一象限,由MF2⊥x轴,可得M的坐标为(c,c),‎ 由|MF1|=,解得c=1,‎ 所以椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+2代入椭圆方程,可得(3k2+2)x2+12kx+6=0.‎ 由Δ>0 ,可得3k2-2>0,①‎ 由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,‎ 所以|x1-x2|=,‎ 又原点O到直线y=kx+2的距离为,‎ 所以△ABO的面积S=|x1-x2|·.‎ 令3k2-2=t , 由①知t∈(0,+∞),S=2=2=2≤.‎ 当且仅当t=,即t=4,k=±时,等号成立.即△ABO面积的最大值为.‎ ‎21.(1)由f(x)=x-1+,得f '(x)=1-.‎ 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,‎ 所以f '(1)=0,‎ 即1-=0,解得a=e.‎ ‎(2)①当a≤0时,f '(x)>0恒成立,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.‎ ‎②当a>0时,令f '(x)=0,得ex=a,x=ln a.‎ 当x∈(-∞,ln a)时,f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f '(x)>0.‎ 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,‎ 故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.‎ 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.‎ ‎22.(1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3.‎ 令f '(x)=0,得x=-或x=.‎ 因为f(-2)=-10,f(-)=,f()=-,f(1)=-1,‎ 所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f(-)=.‎ ‎(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),‎ 则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,‎ 所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),‎ 因此t-y0=(6-3)(1-x0).‎ 整理得4-6+t+3=0.‎ 设g(x)=4x3-6x2+t+3,‎ 则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.‎ g '(x)=12x2-12x=12x(x-1),‎ g(x)与g'(x)的变化情况如下:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ g'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎ ‎↗‎ t+3‎ ‎↘‎ t+1‎ ‎↗‎ 所以g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.‎ 当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.‎ 当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.‎ 当g(0)>0且g(1)<0,即-30,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点,由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.‎ 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).‎ ‎(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;‎ 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;‎ 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.‎ ‎ ‎