2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练53　双曲线

2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练53　双曲线

课时分层训练(五十三)　双曲线 ‎(对应学生用书第256页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2017·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1　　 B.－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ A　[已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A．]‎ ‎2．(2018·合肥调研)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋ 2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．＋1‎ B　[由已知得＝2，所以e＝＝＝＝，故选B.]‎ ‎3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)‎ C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)‎ B　[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.‎ 所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]‎ ‎4．(2018·济南一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点到两个焦点的距离分别为10和4，且离心率为2，则该双曲线的虚轴长为(　　) ‎ ‎【导学号：97190293】‎ A．3 B．6‎ C．3 D．6 D　[由题意得2a＝10－4＝6，解得a＝3，又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝6，则b＝＝3，所以该双曲线的虚轴长为2b＝6，故选D.]‎ ‎5．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－y2＝1 D．x2－＝1‎ D　[根据题意画出草图如图所示不妨设点A在渐近线y＝x上．‎ 由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.‎ 又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan 60°＝.‎ 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，‎ ‎∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ 故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎4　[双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝4.]‎ ‎7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．‎ ‎10　[由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|‎ AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.]‎ ‎8．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________. 【导学号：97190294】‎ 　[如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，‎ ‎∴点A到l的距离d＝.‎ 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，‎ ‎∴△MAN为等边三角形，‎ ‎∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，‎ ‎∴e＝＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．‎ ‎[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.‎ 设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ ‎∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，‎ 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ ‎∴＝3，得a＝3，b＝4，‎ ‎∴双曲线G的方程为－＝1.‎ ‎10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0.‎ ‎[解]　(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，‎ ‎∴双曲线的方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，‎ ‎∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎∴kMF1＝，kMF2＝，‎ ‎∴kMF1·kMF2＝＝－.‎ ‎∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，‎ 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即1·2＝0.‎ 证法二：由证法一知1＝(－3－2，－m)，‎ 2＝(2－3，－m)，‎ ‎∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，‎ ‎∵点M在双曲线上，‎ ‎∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴1·2＝0.]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎11．(2017·河南中原名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．　　 B. C． D． D　[由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此e＝.]‎ ‎12．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ y＝±x　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝.‎ 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，‎ ‎∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，‎ ‎∴＝p，即＝，∴＝，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.]‎ ‎13．(2018·湖南五市十校联考)已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆及双曲线的方程．‎ ‎(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积. 【导学号：97190295】‎ ‎[解]　(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则根据题意知双曲线的方程为－＝1且满足 解方程组得 所以椭圆的方程为＋＝1，‎ 双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)，‎ ‎|AB|＝10，‎ 设M(x0，y0)，则由＝得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5, 2y0)．‎ 将M，P坐标代入椭圆和双曲线方程，‎ 得 消去y0，得2x－5x0－25＝0.解之，‎ 得x0＝－或x0＝5(舍去)．‎ 所以y0＝.‎ 由此可得M，‎ 所以P(－10,3)．‎ 当P为(－10,3)时，‎ 直线PA的方程是y＝(x＋5)，‎ 即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.‎ 所以x＝－或－5(舍去)，‎ 所以xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴．‎ 所以S四边形ANBM＝2S△AMB ‎＝2××10×＝15.‎