2017-2018学年四川省雅安市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年四川省雅安市高二上学期期末数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省雅安市高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中另一个职工的编号是（ ）‎ A. 19 B. 20 C. 18 D. 21‎ ‎【答案】A ‎【解析】设样本中另外一个职工的编号是x，则用系统抽样抽出的4个职工的号码从小到大依次为：6，x,32,45，它们构成等差数列，所以6＋45＝x＋32，x＝6＋45－32＝19，因此另外一个职工的编号是19．故选A．‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由方程可知，渐近线方程为 考点：双曲线性质 ‎3. 点关于轴的对称点是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】关于轴对称的点的坐标竖坐标不变，横、纵坐标上相反数，因此结论为，故选C．‎ ‎4. 如图是某次比赛中七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，若去掉一个最高分和最低分，则所剩数据的平均数为（ ）‎ A. 84 B. 85 C. 86 D. 87‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由茎叶图可知样本数据为79,84，84,84,86,87,93.去掉79,93剩余个数平均分为85‎ 考点：茎叶图 点评：本题首要的是读懂茎叶图中的数据 ‎5. 小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）‎ A. 1% B. 2% C. 3% D. 5%‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，故选C．‎ ‎6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（ ）‎ A. -3 B. -10 C. 0 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】循环时参数值分别为；；；，此时满足退出循环条件，输出－3，故选A．‎ ‎7. 已知圆的圆心为，点，设为圆上任一点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，因此P点是以M、N为焦点的椭圆，故选A．‎ 点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．同样双曲线的定义是这样的：到两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹，当绝对值小于两定点间的距离时，轨迹是双曲线，当绝对值等于两定点间的距离时，轨迹是两条射线，当绝对值大于两定点间的距离时，轨迹不存在．在解题时要严格掌握定义中条件，否则易出现错误．‎ ‎8. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】设反射光线所在直线的斜率为，点关于的对称点为，则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得，故选D．‎ ‎9. 在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，M是CD与AB的交点，是等边三角形，O是外心，也是重心，因此有OA＝2OM，记ON＝OM，显然当点在线段MN之间时，所得弦长超过圆内接正三角形边长，因此所求概率为，故选C．‎ ‎10. 点是抛物线与双曲线： 的一条渐近线的交点，若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设F是抛物线的焦点，不妨设A在第一象限，由于A到准线的距离等于，则AF⊥x 轴，所以有，双曲线的渐近线为，所以，即，所以，即，故选C．‎ ‎11. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A. B. 3 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】易知直线与抛物线相离，直线是抛物线的准线，是抛物线的准线，则P到直线的距离等于，因此所求距离之和为P到直线的距离与P到F的距离之和，其最小值不．故选D．‎ ‎12. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，则，，，则，， ，因为，所以，所以，，所以．故选B．‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎【名师点睛】椭圆的参数之间有一个固定关系式，而离心率是的比值，因此要求离心率只要找到关于的一个齐次等式，再化为关于的齐次式，从而得出关于的方程，而求离心率的联欢会范围就是要找到一个关于的齐次不等式，从而得出关于的不等式．这是解这类问题的基本方法．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，若样本数据恰好是 样本数据每个都加2后所得数据，则两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是__________．‎ ‎【答案】方差 ‎【解析】根据样本数字特征，样本数据都加上2后新数据的众数、中位数和平均数都增加2，只有方差计算公式为，结果不变，故答案为方差．‎ ‎14. 袋中含有大小相同的总个数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎15. 不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是__________．‎ ‎【答案】（2，3）‎ ‎【解析】试题分析：直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11="0" 的交点，联立方程组可求定点的坐标．‎ 解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）="0" ‎ 即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，‎ 根据k的任意性可得，‎ 解得，‎ ‎∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．‎ 故答案为：（2，3）．‎ 考点：恒过定点的直线．‎ ‎16. 已知，，动点满足，若双曲线 的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】（1，2）‎ ‎【解析】动点的轨迹方程为，双曲线的一条渐近线为，因为它与圆是相离的，故，也就是即，所以双曲线的离心率为． ‎ 点睛：关注动点的几何意义，从而求出动点的轨迹方程．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知圆与直线相切于点，且经过点，求圆的方程.‎ ‎【答案】x2＋y2－10x－9y＋39＝0‎ ‎【解析】试题分析：本题解法有4种,①由直线与圆相切于点A可设方程,再过点B可求出,即求出圆的方程.②可以设圆的标准方程,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.③可设所求圆的方程的一般式,写出圆心坐标,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.④设出圆心坐标,由几何意义可以由圆心和切点连线与切线垂直先求出直线CA方程,再由A,B坐标求出直线AB的方程,由AB的垂直平分线与CA相交于点C,再CA的长度即为圆的半径从而得到圆的方程.‎ 试题解析：‎ 法一：由题意可设所求的方程为，又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，所以所求圆的方程为.‎ 法二：设圆的方程为，‎ 则圆心为，由，得 解得 所以所求圆的方程为.‎ 法三：设圆的方程为，由，,在圆上，得 解理 所以所求圆的方程为.‎ 法四：设圆心为C，则，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为，‎ 即.‎ 又因为，‎ 所以，所以直线BP的方程为.‎ 解方程组得所以．‎ 所以圆心为AP的中点，半径为,‎ 所以所求圆的方程为.‎ 考点：圆的标准方程, 直线与圆相切．‎ ‎18. 已知抛物线与直线交于两点.‎ ‎（1）求弦的长度；‎ ‎（2）若点在抛物线上，且的面积为12，求点的坐标.‎ ‎【答案】(1) (2) 点坐标为或 ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)设A（x1,y1)、B(x2,y2),‎ 由得x2-5x+4=0,Δ>0.‎ 法一：又由韦达定理有x1+x2=5,x1x2=,‎ 法二：解方程得：x=1或4，∴A、B两点的坐标为（1,-2)、（4,4）‎ ‎∴|AB|=‎ ‎(Ⅱ)设点,设点P到AB的距离为d,则 ‎,∴S△PAB=··=12，‎ ‎∴. ∴，解得或 ‎∴P点为（9，6）或（4，-4）.‎ 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路 ‎19. 已知集合.‎ ‎（1）若，求的概率；‎ ‎（2）若，求的概率.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率． （2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设为事件，，‎ 即，即.‎ 则基本事件有：共个，其中满足的基本事件有个，所以.故的概率为.‎ ‎ (2)设为事件，因为，则基本事件为如图四边形区域，事件包括的区域为其中的阴影部分.‎ 所以，‎ 故的概率为.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎20. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题计结果如下图表所示：‎ ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.‎ ‎【答案】(1)(2)2人，3人，1人（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由第一组求出的值，再结合图表及频率分布直方图就可以求出的值；（2）根据（1）中求出的各组人数，按照分层抽样的方法就可求出各组应抽取的人数；（3）先列出从人中随机抽取人的总抽取方法，再列出所抽取的人中第二组至少有人的抽取方法数，即可求出所得的概率.‎ 试题解析：（1）由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为，‎ 再结合频率分布直方图可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）第二，三，四组中回答正确的共有人，所以利用分层抽样在人中抽取人，每组分别抽取的人数为：‎ 第二组：人，‎ 第三组：人，‎ 第四组：人.‎ ‎（3）设第二组的人为，第三组的人为，第四组的人为，则从人中抽人所有可能的结果有：‎ ‎ 共个基本 事件，其中第二组至少有一人被抽中的有 这个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为.‎ 考点：1、频率分布表及直方图；2、分层抽样；3、古典概型.‎ ‎21. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，为椭圆上的任意一点（不含长轴端点），且面积的最大值为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）要求椭圆方程，一般要找到两个关于的方程，题中离心率是一个，即，面积最大时P点是椭圆短轴端点，因此有，这样可解出得椭圆方程；‎ ‎（2）把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后为一元二次方程，设交点，利用韦达定理可得中点坐标（用表示），注意直线与椭圆相交有限制条件，由中点在圆内又得一条件，从而可解得的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题可知，又a2=b2+c2，‎ ‎∴，故------3分 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（II）联立方程消去y 整理得：‎ 则，解得…..8分 设，则，‎ 即AB的中点为 又AB的中点不在园内，所以，解得 综上可知，‎ ‎22. 已知动圆过定点 ，且与定直线相切，动圆圆心的轨迹方程为，直线过点交曲线于两点.‎ ‎（1）若交轴于点，求的取值范围；‎ ‎ （2）若的倾斜角为，在上是否存在点使为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2) 直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可知曲线C是抛物线，可得抛物线方程，把直线方程代入抛物线方程得x 的一元二次方程，同时设设，利用韦达定理得，用坐标表示出，利用基本不等式并转化为，代入韦达定理的结论可得．‎ ‎（2）假设存在点，使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|， 由抛物线定义知，这样把|BE|=和|AE|=用坐标表示，两式相减就可解得，从而得E点坐标，但检验发现此时，故刚才的解不正确，即不存在E点满足题意．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 所以曲线C的方程为 设方程为代入由消去得 设、，则 所以的取值范围是 ‎(2)由（1）知方程为代入由消去得 ‎，‎ 假设存在点，使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|， ‎ 即，．‎ 若，则 因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形. ‎ 解法二：设AB的中点为G，则 由联立方程 与方程求得 由得，矛盾 因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形. ‎ 点睛：本题第（2）小题解法中，假设存在E点满足题意，则有|BE|=|AB|且|AE|=|AB|，而由抛物线定义知，可由其中一个如|BE|=|AB|=，解得，只要代入|AE|，就可知此解不满足题意，但这样解计算复杂，不易求解，而把|BE|=且|AE|=同时表示相减求得，可使求解过程简单易得，只是要检验，即代入|AE|看是否有|AE|=即得．解题时注意此种解法．‎