2013年数学高考安徽（文）

2013年数学高考安徽（文）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）‎ 一．选择题选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为 （ ）‎ ‎（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3‎ ‎2．已知，则 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎4．“”是“”的 ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 ‎ ‎ 录用的概率为 ‎ （A） (B) (C) （D）‎ ‎6．直线被圆截得的弦长为 ‎ （A）1 （B）2 （C）4 （D）‎ ‎7．设为等差数列的前项和，，则=‎ ‎ （A） （B） （C） （D）2‎ ‎8．函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎9．设的内角所对边的长分别为，若,则角=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程 ‎ 的不同实根个数为 ‎ （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6‎ 二． 填空题 ‎11． 函数的定义域为_____________.‎ ‎12．若非负数变量满足约束条件，则的最大值为__________. ‎ ‎13．若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.‎ ‎14．定义在上的函数满足.若当时。，‎ ‎ 则当时，=________________.‎ ‎15．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。‎ ‎①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，与的交点 满足；④当时，为六边形；⑤当时，的面积为。‎ 二． 解答题 ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；‎ ‎ （Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：‎ ‎ 甲 乙 ‎ 7 4 5 ‎ ‎ 5 3 3 2 5 3 3 8 ‎ ‎ 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5‎ ‎ 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9‎ ‎ 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 ‎ ‎ 2 0 9 0‎ ‎（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ ‎ 设数列满足，,且对任意，函数 满足 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 设函数，其中，区间.‎ ‎（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；‎ ‎（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 已知椭圆的焦距为4，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点,连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．D ‎ ‎2．A ‎ ‎3．C ‎ ‎4．B ‎ ‎5．D ‎ ‎6．C ‎ ‎7．A ‎ ‎8．B ‎ ‎9．B ‎ ‎10．A ‎ ‎11． ‎ ‎12．4 ‎ ‎13． ‎ ‎14． ‎ ‎15．①②③⑤ ‎ ‎16．解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，此时 所以，的最小值为，此时x 的集合.‎ (2) 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；‎ ‎ 然后向左平移个单位，得 ‎17．解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎18．解：‎ ‎（1）证明：连接交于点 ‎ ‎ ‎ 又是菱形 ‎ ‎ 而 ⊥面 ⊥‎ ‎ (2) 由（1）⊥面 ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎19．解：由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，‎ ‎ 是等差数列.‎ 而 ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．解：（1）令 ‎ 解得 ‎ ‎ 的长度 ‎（2） 则 ‎ ‎ 由 （1）‎ ‎，则 故关于在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．解： （1）因为椭圆过点 ‎ 且 ‎ ‎ 椭圆C的方程是 ‎（2）‎ 由题意，各点的坐标如上图所示，‎ 则的直线方程：‎ 化简得 又，‎ 所以带入 求得最后 所以直线与椭圆只有一个公共点.‎