【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷5【附详细答案和解析_可编辑】

【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷5【附详细答案和解析_可编辑】

‎【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷5【附详细答案和解析 可编辑】‎ 真水无香 tougao33‎ 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知复数z满足‎(z-i)i=2+i，i是虚数单位，则‎|z|=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎5‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎2. 已知全集U=R，集合A={x|0≤x<2}‎，则‎∁‎UA=(‎        ‎)‎ ‎ A.‎⌀‎ B.‎{x|x<0}‎ C.‎{x|x≥2}‎ D.‎{x|x<0或x≥2}‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊂α，n // α，则m，n为异面直线； ②若m⊥β，α⊥β，m⊥γ，则α⊥γ； ③若α // γ，β // γ，则α // β； ④若m⊥α，n⊥β，m // n，则α⊥β． 则上述命题中真命题的序号为（ ） ‎ A.①② B.③④ C.②③ D.②④‎ ‎ ‎ ‎4. 已知等差数列‎{an}‎满足a‎1‎‎+a‎2‎=10‎，a‎4‎‎-a‎3‎=2‎，等比数列‎{bn}‎满足b‎2‎‎=‎a‎3‎，b‎3‎‎=‎a‎7‎，则b‎5‎‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎32‎ B.‎64‎ C.‎128‎ D.‎‎256‎ ‎ ‎ ‎5. 设函数f(x)=x‎3‎+(a-1)x‎2‎+ax．若f(x)‎为奇函数，则曲线y=f(x)‎在点‎(0, 0)‎处的切线方程为（ ） ‎ A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.‎y=x ‎ ‎ ‎6. 在梯形ABCD中，AB‎→‎‎=3‎DC‎→‎，则BC‎→‎等于（ ） ‎ A.‎-‎1‎‎3‎AB‎→‎+‎‎2‎‎3‎AD‎→‎ B.‎-‎2‎‎3‎AB‎→‎+‎‎4‎‎3‎AD‎→‎ C.‎2‎‎3‎AB‎→‎‎+‎AD‎→‎ D.‎‎-‎2‎‎3‎AB‎→‎+‎AD‎→‎ ‎ ‎ ‎7. 某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为‎1‎，则该吊柜的体积为（ ） ‎ A.‎128‎ B.‎104‎ C.‎80‎ D.‎‎56‎ ‎ ‎ ‎8. 已知P为抛物线y‎2‎‎=x上异于原点O的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则‎|PQ|‎‎|NO|‎‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎1‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎9. 设函数f(x)=‎1,x‎0,x ‎，则关于函数f(x)‎的描述错误的是（ ） ‎ A.函数f(x)‎的图象是两条平行直线 B.f(x)‎的值域是‎{0, 1}‎ C.函数f(x)‎是偶函数 D.x∈R，f（f(x)‎）＝‎1‎ ‎ ‎ ‎ ‎10. 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为‎3cm的圆，中间有边长为‎1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎9π‎4‎ B.‎9‎‎4π C.‎4π‎9‎ D.‎‎4‎‎9π ‎ ‎ ‎11. 已知点P在双曲线x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，且PF‎2‎=2‎，‎△PF‎1‎F‎2‎的内切圆圆心为I，过F‎1‎作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则‎|OI|⋅|OM|‎的值是（        ） ‎ A.‎2‎‎10‎‎5‎ B.‎3‎‎10‎‎5‎ C.‎4‎‎10‎‎5‎ D.‎‎10‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎12. 如图，二面角α-BC-β的大小为π‎6‎，AB⊂α，CD⊂β，且AB=‎‎2‎，BC=CD=2,∠ABC=π‎4‎,∠BCD=‎π‎3‎，则AD与β所成角的大小为（ ） ‎ A.π‎4‎ B.π‎3‎ C.π‎6‎ D.‎π‎12‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎13. 已知实数x，y满足不等式组x-y+1≥0，‎‎2x-y-1≤0，‎x≥0,y≥0，‎则z=2x+y的最大值为________． ‎ ‎ ‎ ‎14. 数列‎{an}‎中，若a‎1‎‎=2‎，an+1‎‎=‎‎2‎an‎+1‎，an‎=‎bn‎+2‎bn‎-1‎，n∈‎N‎*‎，则数列‎{|bn|}‎的前n项和为________． ‎ ‎ ‎ ‎15. 某汽车销售公司对‎4‎辆合资品牌与‎3‎辆自主品牌的汽车按一定顺序进行性能检测，则检测中自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车甲与乙必须相邻的不同检测顺序有________种. ‎ ‎ ‎ ‎16. 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)‎的最小值是________． ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计90分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎17.(14分) 在‎△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0‎． ‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）若b=‎‎7‎，a+c=5‎，求‎△ABC的面积．‎ ‎ ‎ ‎18. （14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥‎平面BCP，CD // ‎平面ABP，AB＝BC＝CP＝BP＝‎2CD＝‎2‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎证明：平面BAP⊥‎平面DAP； ‎(‎Ⅱ‎)‎点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎19.(14分) 已知F‎1‎，F‎2‎分别为椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左右焦点，点P‎1，‎y‎0‎在椭圆上，且PF‎2‎⊥x轴，‎△PF‎1‎F‎2‎的周长为‎6‎． ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ ‎ ‎（2）过点T‎0，1‎的直线与椭圆C交于A、B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得OA‎→‎‎⋅OB‎→‎+λTA‎→‎⋅TB‎→‎=-7‎恒成立？请说明理出．‎ ‎ ‎ ‎20.(14分) 春节期间爆发的新型冠状病毒‎(COVID-19)‎是新中国成立以来感染人数最多的一次疫情，一个不知道自己已感染但处于潜伏期的甲从疫区回到某市过春节，回到家乡后与朋友乙、丙、丁相聚过，最终乙、丙、丁也感染了新冠病毒、可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假设他受甲和受乙感染的概率分别是‎0.6‎和‎0.4‎，丁是受甲、乙或丙感染的，假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是‎0.2‎、‎0.4‎和‎0.4‎．在这种假设之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为X． ‎ ‎（1）求X的分布列和数学期望；‎ ‎ ‎ ‎（2）该市在发现在本地出现新冠病毒感染者后，迅速采取应急措施，其中一项措施是各区必须每天及时上报新增疑似病例人数，A区上报的连续‎7‎天新增疑似病例数据是“总体均值为‎3‎，中位数‎4‎”，B区上报的连续‎7‎天新增疑似病例数据是“总体均值为‎2‎，总体方差为‎3‎“．设A区和B区连续‎7‎天上报新增疑似病例人数分别为x‎1‎，x‎2‎，……，x‎7‎和y‎1‎，y‎2‎，……，y‎7‎，xi和yi‎(1≤i≤7, i∈N)‎分别表示A区和B区第i天上报新增疑似病例人数（xi和yi均为非负）．记M＝max{x‎1‎, x‎2‎, ......, x‎7‎}‎，N＝max{y‎1‎, y‎2‎, ......, y‎7‎}‎． ①试比较M和N的大小； ②求M和N中较小的那个字母所对应的‎7‎个数有多少组？‎ ‎ ‎ ‎21.(14分) 已知函数f(x)‎＝x-‎1‎x+alnx，g(x)‎＝xex-‎1‎x+1‎． ‎ ‎（1）若函数f(x)‎的图象在x＝‎1‎处的切线的斜率为‎1‎，求实数a的值 ‎ ‎ ‎（2）若函数f(x)‎在区间‎[1, 2]‎上存在极小值，求实数a的取值范围；‎ ‎ ‎ ‎（3）当a＝‎1‎时，若g(x)≥f(x)+m恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎22. （10分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2‎3‎-‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎t‎ ‎（t为参数），曲线C的参数方程为x=‎3‎+‎3‎cosαy=‎3‎sinα‎ ‎（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． ‎(‎Ⅰ‎)‎求直线l和曲线C的极坐标方程； ‎(‎Ⅱ‎)‎已知直线l上一点M的极坐标为‎(2, θ)‎，其中θ∈(0,π‎2‎)‎．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求‎|MN|‎的值． ‎ ‎ ‎ ‎23.(10分) 已知函数f(x)=|ax+1|-|2x-3|‎. ‎ ‎(1)‎当a=1‎时，求不等式f(x)≥x-2‎的解集；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若不等式f(x)≤2x-2‎的解集包含‎(‎1‎‎2‎，‎7‎‎5‎)‎，求实数a的取值范围．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷5【附详细答案和解析 可编辑】‎ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） ‎ ‎1.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 由‎(z-i)i=2+i，得z-i=‎2+ii=‎(2+i)(-i)‎‎-‎i‎2‎=1-2i， ∴ z=1-i， 则‎|z|=‎1‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎．‎ ‎2.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：∵ 全集U=R，集合A={x|0≤x<2}‎， ∴ ‎∁‎UA={x|x<0或x≥2}‎， 故选D．‎ ‎3.【答案】‎ C ‎【解答】‎ ‎①若m⊂α，n // α，则m // n或m，n是异面直线，①不正确； ②若m⊥β，m⊥γ，则β // γ，由于α⊥β推出α⊥γ，满足平面和平面垂直的定义，②正确； ③若α // γ，β // γ，则由平行公理可得α // β，③正确． ④若m⊥α，m // n，则n⊥α，由于n⊥β，则α // β；④不正确．‎ ‎4.【答案】‎ B ‎【解答】‎ ‎∵ 等差数列‎{an}‎满足a‎1‎‎+a‎2‎=10‎，a‎4‎‎-a‎3‎=2‎， ∴ ‎2a‎1‎+d=10‎d=2‎‎ ‎，则a‎1‎‎=4‎，d=2‎， 则a‎3‎‎=4+2×2=8‎， a‎7‎‎=4+2×6=16‎， 则b‎2‎‎=a‎3‎=8‎，b‎3‎‎=a‎7‎=16‎， 则公比q=b‎3‎b‎2‎=‎16‎‎8‎=2‎， 则b‎5‎‎=b‎3‎q‎2‎=16×4=64‎，‎ ‎5.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：因为函数f(x)=x‎3‎+(a-1)x‎2‎+ax为奇函数，‎ 所以f(-1)+f(1)=0‎，‎ 所以‎-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0‎，‎ 解得a=1‎，所以f(x)=x‎3‎+x，‎ 所以f‎'‎‎(x)=3x‎2‎+1‎，‎ 所以f‎'‎‎(0)=1‎，‎ 所以曲线 y=f(x)‎在点‎(0,0)‎处的切线方程为y=x.‎ 故选D.‎ ‎6.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 在梯形ABCD中，过C作CE // AD，交AB与E，又AB‎→‎‎=3‎DC‎→‎， 则BC‎→‎‎=BE‎→‎+EC‎→‎=‎2‎‎3‎BA‎→‎+AD‎→‎=-‎2‎‎3‎AB‎→‎+‎AD‎→‎；‎ ‎7.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 根据三视图可得吊柜的立体图如图所示， 其体积可看作三个长方体的体积之和， 则该吊柜的体积V＝‎4×4×2+4×2×3+4×4×3‎＝‎104‎，‎ ‎8.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 如图，设P(t‎2‎, t)‎，则Q(t‎2‎, 0)‎，PQ中点H(t‎2‎, t‎2‎)‎，M(t‎2‎‎4‎, t‎2‎)‎， ∴ 直线MQ的斜率为k=t‎2‎‎-0‎t‎2‎‎4‎‎-‎t‎2‎=-‎‎2‎‎3t， 则直线MQ的方程为：y=-‎2‎‎3t(x-t‎2‎)‎， 令x=0‎，可得yN‎=‎‎2t‎3‎， ∴‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ ‎|PQ|‎‎|NO|‎‎=t‎2t‎3‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎9.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 函数f(x)=‎1,x‎0,x ‎，是不连续函数，所以函数的图象不是两条平行直线，所以A不正确； 由分段函数可知，函数的值域为：‎{0, 1}‎；所以B正确； 因为有理数与无理数是关于原点对称的，所以函数是偶函数，C正确； 因为函数f(x)=‎1,x‎0,x ‎，f(x)‎的值域为‎{0, 1}‎，所以f（f(x)‎）＝‎1‎，正确；‎ ‎10.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：如图所示： ∵ S正‎=1‎，S圆‎=π⋅(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎9π‎4‎, ∴ P=S正S圆=‎‎4‎‎9π. 故选D.‎ ‎11.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：因为PPF‎2‎=2‎，PF‎1‎=4‎，得cos∠F‎1‎PF‎2‎=‎‎1‎‎4‎，sin∠F‎1‎PF‎2‎=‎‎15‎‎4‎，所以S‎△F‎1‎PF‎2‎‎=‎‎15‎，‎ 得内切圆半径r=‎‎15‎‎5‎，即yI‎=‎‎15‎‎5‎，内切圆与PF‎1‎，PF‎2‎，F‎1‎F‎2‎的三个切点分别为T‎1‎，T‎2‎，T‎3‎，‎ ‎2a=PF‎1‎-PF‎2‎=T‎1‎F‎1‎-T‎2‎F‎2‎=F‎1‎T‎3‎-‎T‎3‎F‎2‎‎，可得xI‎=a=1‎，‎ 所以圆心I到原点的距离是‎2‎‎10‎‎5‎，延长F‎1‎M与PF‎2‎相交易得‎|OM|=PF‎1‎-PF‎2‎‎2‎=1‎．‎ 故选A．‎ ‎12.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 过A作AM⊥BC，M为垂足， ∵ AB=‎‎2‎，‎∠ABC=‎π‎4‎， ∴ AM＝BM＝‎1‎， ∴ M为BC的中点， 连结BD，∵ BC＝CD＝‎2‎，‎∠BCD=‎π‎3‎， ∴ ‎△BCD是边长为‎2‎的等边三角形， ∴ DM⊥BC，DM=‎‎3‎， ∴ ‎∠AMD为二面角α-BC-β的平面角，即‎∠AMD=‎π‎6‎， ∴ ‎∠ADM为AD与β所成的角， 在‎△AMD中，由余弦定理可得AD=AM‎2‎+DM‎2‎-2AM⋅DMcos∠AMD=1‎， ∴ AD＝AM，故‎∠ADM＝‎∠AMD=‎π‎6‎．‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） ‎ ‎13.【答案】‎ ‎7‎ ‎【解答】‎ ‎【命题意图】本题考查简单的线性规划问题． 【解题思路】作出不等式组x-y+1≥0，‎‎2x-y-1≤0，‎x≥0,y≥0‎所表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示．平移直线z=2x+y，易知当直线z=2x+y经过点A‎2,3‎时，目标函数z=2x+y取得最大值‎7‎． ‎ ‎14.【答案】‎ ‎4‎‎2‎n‎-1‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【解答】‎ 解：解法一 因为an‎=‎bn‎+2‎bn‎-1‎，‎ 所以an+1‎‎=‎bn+1‎‎+2‎bn+1‎‎-1‎，‎ 又an+1‎‎=‎‎2‎an‎+1‎，‎ 所以bn+1‎‎+2‎bn+1‎‎-1‎‎=‎‎2‎bn‎+2‎bn‎-1‎‎+1‎，‎ 化简得bn+1‎‎=-2‎bn．‎ 又由a‎1‎‎=2‎和a‎1‎‎=‎b‎1‎‎+2‎b‎1‎‎-1‎，‎ 可求得b‎1‎‎=4‎，‎ 所以数列‎{bn}‎是以‎4‎为首项，‎ ‎-2‎为公比的等比数列，‎ 所以bn‎=4⋅(-2‎‎)‎n-1‎，‎ 所以‎|bn|=‎‎2‎n+1‎．‎ 故数列‎{|bn|}‎的前n项和为‎2‎‎2‎‎1-‎‎2‎n‎1-2‎‎=4‎‎2‎n‎-1‎．‎ 故答案为：‎4‎‎2‎n‎-1‎．‎ 解法二 因为an‎=‎bn‎+2‎bn‎-1‎，‎ 所以bn‎=‎an‎+2‎an‎-1‎，‎ 又an+1‎‎=‎‎2‎an‎+1‎，‎ 所以bn+1‎‎=an+1‎‎+2‎an+1‎‎-1‎=‎‎2‎an‎+1‎‎+2‎‎2‎an‎+1‎‎-1‎ ‎=‎4+2‎an‎1-‎an=-2×an‎+2‎an‎-1‎=-2‎bn‎．‎ 又由a‎1‎‎=2‎和a‎1‎‎=‎b‎1‎‎+2‎b‎1‎‎-1‎，‎ 可求得b‎1‎‎=4‎，‎ 所以数列‎{bn}‎是以‎4‎为首项，‎ ‎-2‎为公比的等比数列，‎ 所以bn‎=4⋅(-2‎‎)‎n-1‎，‎ 所以‎|bn|=‎‎2‎n+1‎．‎ 故数列‎{|bn|}‎的前n项和为‎2‎‎2‎‎1-‎‎2‎n‎1-2‎‎=4‎‎2‎n‎-1‎．‎ 故答案为：‎4‎‎2‎n‎-1‎．‎ 解法三 因为a‎1‎‎=2‎，‎ 所以an+1‎‎=‎‎2‎an‎+1‎中取n=1‎，‎2‎，‎3‎，‎ 可求得a‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎，a‎3‎‎=‎‎6‎‎5‎，a‎4‎‎=‎‎10‎‎11‎，‎ 从而在an‎=‎bn‎+2‎bn‎-1‎中取n=1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎ 可求得b‎1‎‎=4‎，b‎2‎‎=-8‎，b‎3‎‎=16‎，b‎4‎‎=-32‎，‎ 据此推测得bn‎=(-1‎)‎n-1‎⋅‎‎2‎n+1‎，‎ 所以‎|bn|=‎‎2‎n+1‎．‎ 故数列‎{|bn|}‎的前n项和为‎2‎‎2‎‎1-‎‎2‎n‎1-2‎‎=4‎‎2‎n‎-1‎．‎ 故答案为：‎4‎‎2‎n‎-1‎．‎ ‎15.【答案】‎ ‎288‎ ‎【解答】‎ ‎ ‎ 解：依题意知合资品牌汽车有‎4‎辆，其中甲与乙相邻，共有A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎种检测顺序，又因为自主品牌汽车不相邻，所以共有A‎4‎‎3‎种检测顺序，所以自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车甲与乙必须相邻的不同检测顺序有A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎A‎4‎‎3‎‎=288‎种. 故答案为：‎288‎. ‎ ‎16.【答案】‎ ‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可得T=2π 是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期，  ‎ 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在‎[0, 2π)‎上的值域， ‎ 先来求该函数在‎[0, 2π)‎上的极值点， ‎ 求导数可得f'(x)=2cosx+2cos2x ‎=2cosx+2(2cos‎2‎x-1)‎ ‎=2(2cosx-1)(cosx+1)‎‎， ‎ 令f'(x)=0‎，可解得cosx=‎‎1‎‎2‎或cosx=-1‎， ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 可得此时x=π‎3‎，π或‎5π‎3‎； ‎ ‎∴ y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=‎π‎3‎，π 或 ‎5π‎3‎和边界点中取到， ‎ 计算可得f( π‎3‎)=‎‎3‎‎3‎‎2‎，‎ f(π)=0‎‎，f( ‎5π‎3‎)=-‎‎3‎‎3‎‎2‎，f(0)=0‎， ‎ ‎∴ 函数的最小值为‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎ 故答案为：‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎．‎ 三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计90分 ） ‎ ‎17.【答案】‎ ‎△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0‎． 则：‎2cos‎2‎B+cosB-1=0‎ 整理得：‎(2cosB-1)(cosB+1)=0‎ 解得：cosB=‎‎1‎‎2‎（‎-1‎舍去）． 则：B=‎π‎3‎．‎ 利用余弦定理：b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB， 由于：b=‎‎7‎，a+c=5‎， 解得：ac=6‎． 所以：S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎acsinB=‎‎3‎‎3‎‎2‎．‎ ‎【解答】‎ ‎△ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0‎． 则：‎2cos‎2‎B+cosB-1=0‎ 整理得：‎(2cosB-1)(cosB+1)=0‎ 解得：cosB=‎‎1‎‎2‎（‎-1‎舍去）． 则：B=‎π‎3‎．‎ 利用余弦定理：b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB， 由于：b=‎‎7‎，a+c=5‎， 解得：ac=6‎． 所以：S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎acsinB=‎‎3‎‎3‎‎2‎．‎ ‎18.【答案】‎ 则P(0, -1, 0)‎，C(‎3‎, 0, 0)‎，D(‎3‎, 0, 1)‎，设M(0, 1, a)(0≤a≤2)‎， 则PM‎→‎‎=(0, 2, a)‎，CD‎→‎‎=(0, 0, 1)‎，PC‎→‎‎=(‎3‎, 1, 0)‎． 设平面PCD的法向量为n‎→‎‎=(x, y, z)‎，则n‎→‎‎⋅PC‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅CD‎→‎=0‎‎ ‎， ∴ ‎3‎x+y=0‎z=0‎‎ ‎，令x＝‎1‎得n‎→‎‎=(1, -‎3‎, 0)‎． ∴ cos=PM‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|PM||n‎→‎|‎=‎‎-2‎‎3‎‎2‎a‎2‎‎+4‎．∴ sinα=‎‎3‎a‎2‎‎+4‎． ∴ 当a＝‎0‎时，sinα取得最大值‎3‎‎2‎，当a＝‎2‎时，sinα取得最小值‎6‎‎4‎． ∴ sinα的取值范围是‎[‎6‎‎4‎, ‎3‎‎2‎]‎． ‎ ‎【解答】‎ 证明：‎(I)‎取PA的中点E，PB的中点O，连接DE，OE，OC． ∵ OE是‎△PAB的中位线， ∴ OE‎=‎‎∥‎‎1‎‎2‎AB， ∵ CD // ‎平面PAB，CD⊂‎平面ABCD，平面ABCD∩‎平面PAB＝AB， ∴ CD // AB，又CD=‎1‎‎2‎AB， ∴ OE‎=‎‎∥‎OE， ∴ 四边形CDEO是平行四边形， ∴ DE // OC． ∵ AB⊥‎平面PBC，OC⊂‎平面PBC， ∴ AB⊥OC， ∵ BC＝PC，∴ OC⊥PB， 又PB⊂‎平面PAB，AB⊂‎平面PAB，AB∩PB＝B， ∴ OC⊥‎平面PAB，又OC // DE， ∴ DE⊥‎平面PAB，∵ DE⊂‎平面PAD， ∴ 平面PAD⊥‎平面PAB． ‎(II)‎∵ OE // AB，AB⊥‎平面PBC， ∴ OE⊥‎平面PBC． 以O为原点，以OC，OB，‎OE 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 为坐标轴建立空间直角坐标系，‎ ‎19.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎20.【答案】‎ 记事件C：“丙受甲感染”，事件D：“丁受甲感染”， 则P(C)‎＝‎0.6‎，P(D)‎＝‎0.2‎， X的取值为‎1‎，‎2‎，‎3‎， P(X＝‎1)‎＝P(C‎¯‎D‎¯‎)‎＝‎0.4×0.8‎＝‎0.32‎， P(X＝‎2)‎＝P(CD‎¯‎)+P(C‎¯‎D)‎＝‎0.6×0.8+0.4×0.2‎＝‎0.56‎， P(X＝‎3)‎＝P(CD)‎＝‎0.6×0.2‎＝‎0.12‎， ∴ X的分布列为： ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.32‎ ‎0.56‎ ‎0.12‎ ‎ EX＝‎1×0.32+2×0.56+3×0.12‎＝‎1.8‎．‎ ‎(i)‎对于B区，由‎(y‎1‎-2‎)‎‎2‎+(y‎2‎-2‎)‎‎2‎+(y‎3‎-2‎)‎‎2‎+(y‎4‎-2‎)‎‎2‎+(y‎5‎-2‎)‎‎2‎+(y‎6‎-2‎)‎‎2‎+(y‎7‎-2‎‎)‎‎2‎＝‎21‎， 知‎(yi-1‎)‎‎2‎≤21‎，‎(i＝‎1, 2‎,…,‎7)‎， ∵ yi是非负整数，∴ ‎|yi-2|≤4‎，∴ yi‎≤6‎，∴ N≤6‎， 当y‎1‎，y‎2‎，y‎3‎，…，y‎7‎中有一个取‎6‎，有一个取‎2‎，其余取‎1‎时，N＝‎6‎， 对于A区，当x‎1‎＝x‎2‎＝x‎3‎＝‎0‎时，x‎4‎＝x‎5‎＝x‎6‎＝‎4‎， x‎7‎＝‎9‎时，满足“总体均值为‎3‎，中位数为‎4‎”，此时m＝‎9‎， ∴ N0)‎． f'(1)‎＝‎1+1+a＝‎1‎， ∴ a＝‎-1‎．‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 f'(x)‎‎＝‎1+‎1‎x‎2‎+ax=‎x‎2‎‎+ax+1‎x‎2‎，‎(x>0)‎． 设h(x)‎＝x‎2‎‎+ax+1‎，‎(x>0)‎． 根据题意函数f(x)‎在区间‎[1, 2]‎上存在极小值， 即f'(x)‎在区间‎[1, 2]‎上存在零点，且f‎'‎‎(1)≤0‎f‎'‎‎(2)≥0‎‎ ‎， ∵ x>0‎，∴ h(1)≤0‎h(2)≥0‎‎ ‎， 即‎1+a+1≤0‎‎4+2a+1≥0‎‎ ‎， 解得‎-‎5‎‎2‎≤a≤-2‎． ∴ 实数a的取值范围为：‎[-‎5‎‎2‎, -2]‎．‎ 当a＝‎1‎时，f(x)‎＝x-‎1‎x+lnx，‎(x>0)‎． 设F(x)‎＝g(x)-f(x)‎＝xex+1-x-lnx，‎(x>0)‎． 则F'(x)‎＝ex‎+xex-1-‎1‎x=(x+1)(ex-‎1‎x)‎． 解方程ex‎-‎1‎x=0‎，转化为ex‎=‎‎1‎x，大致图象如下： 根据图形，设交点横坐标为x‎0‎， 当x＝‎1‎时，e>1‎， 当x=‎‎1‎‎2‎时，e‎1‎‎2‎‎<2‎， ∴ ‎1‎‎2‎‎0‎，即‎(x+1)(ex-‎1‎x)>0‎，解得x<-1‎，x>‎x‎0‎； ③令F'(x)<0‎，即‎(x+1)(ex-‎1‎x)<0‎，解得‎-10‎， ∴ F(x)‎在‎(0, x‎0‎)‎上单调递减，在‎(x‎0‎, +∞)‎上单调递增， 在x＝x‎0‎处取得极小值F(x‎)‎min＝F(x‎0‎)‎． ∵ ex‎0‎‎-‎1‎x‎0‎=0‎， ∴ ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎，x‎0‎ex‎0‎‎=1‎， ∴ x‎0‎‎=‎e‎-‎x‎0‎，lnx‎0‎＝lne‎-‎x‎0‎=-‎x‎0‎． ∴ F(x‎0‎)‎＝x‎0‎ex‎0‎‎+1-x‎0‎-lnx‎0‎＝‎2‎， 而F(x)≥m恒成立， ∴ m≤2‎． 故实数m的最大值为‎2‎．‎ ‎【解答】‎ 由题意f'(x)‎＝‎1+‎1‎x‎2‎+‎ax，‎(x>0)‎． f'(1)‎＝‎1+1+a＝‎1‎， ∴ a＝‎-1‎．‎ f'(x)‎‎＝‎1+‎1‎x‎2‎+ax=‎x‎2‎‎+ax+1‎x‎2‎，‎(x>0)‎． 设h(x)‎＝x‎2‎‎+ax+1‎，‎(x>0)‎． 根据题意函数f(x)‎在区间‎[1, 2]‎上存在极小值， 即f'(x)‎在区间‎[1, 2]‎上存在零点，且f‎'‎‎(1)≤0‎f‎'‎‎(2)≥0‎‎ ‎， ∵ x>0‎，∴ h(1)≤0‎h(2)≥0‎‎ ‎， 即‎1+a+1≤0‎‎4+2a+1≥0‎‎ ‎， 解得‎-‎5‎‎2‎≤a≤-2‎． ∴ 实数a的取值范围为：‎[-‎5‎‎2‎, -2]‎．‎ 当a＝‎1‎时，f(x)‎＝x-‎1‎x+lnx，‎(x>0)‎． 设F(x)‎＝g(x)-f(x)‎＝xex+1-x-lnx，‎(x>0)‎． 则F'(x)‎＝ex‎+xex-1-‎1‎x=(x+1)(ex-‎1‎x)‎． 解方程ex‎-‎1‎x=0‎，转化为ex‎=‎‎1‎x，大致图象如下： 根据图形，设交点横坐标为x‎0‎， 当x＝‎1‎时，e>1‎， 当x=‎‎1‎‎2‎时，e‎1‎‎2‎‎<2‎， ∴ ‎1‎‎2‎‎0‎，即‎(x+1)(ex-‎1‎x)>0‎，解得x<-1‎，‎x>‎x‎0‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎； ③令F'(x)<0‎，即‎(x+1)(ex-‎1‎x)<0‎，解得‎-10‎， ∴ F(x)‎在‎(0, x‎0‎)‎上单调递减，在‎(x‎0‎, +∞)‎上单调递增， 在x＝x‎0‎处取得极小值F(x‎)‎min＝F(x‎0‎)‎． ∵ ex‎0‎‎-‎1‎x‎0‎=0‎， ∴ ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎，x‎0‎ex‎0‎‎=1‎， ∴ x‎0‎‎=‎e‎-‎x‎0‎，lnx‎0‎＝lne‎-‎x‎0‎=-‎x‎0‎． ∴ F(x‎0‎)‎＝x‎0‎ex‎0‎‎+1-x‎0‎-lnx‎0‎＝‎2‎， 而F(x)≥m恒成立， ∴ m≤2‎． 故实数m的最大值为‎2‎．‎ ‎22.【答案】‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎直线l的参数方程为x=2‎3‎-‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎t‎ ‎（t为参数）， 直线的普通方程为x+‎3‎y=2‎‎3‎， 极坐标方程为ρcosθ+‎3‎ρsinθ=2‎‎3‎． 曲线C的普通方程为‎(x-‎3‎‎)‎‎2‎+y‎2‎=3‎，极坐标方程为ρ=2‎3‎cosθ ‎(‎Ⅱ‎)‎∵ 点M在直线l上，且点M的极坐标为‎(2, θ)‎ ∴ ‎2cosθ+2‎3‎sinθ=2‎‎3‎， ∵ θ∈(0,π‎2‎)‎ ∴ θ=‎π‎6‎， ∴ 射线OM的极坐标方程为θ=‎π‎6‎． 联立θ=‎π‎6‎ρ=2‎3‎cosθ‎ ‎， 解得ρ=(3)‎ ∴ ‎‎|MN|=|ρN-ρM|=(1)‎ ‎【解答】‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎直线l的参数方程为x=2‎3‎-‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎t‎ ‎（t为参数）， 直线的普通方程为x+‎3‎y=2‎‎3‎， 极坐标方程为ρcosθ+‎3‎ρsinθ=2‎‎3‎． 曲线C的普通方程为‎(x-‎3‎‎)‎‎2‎+y‎2‎=3‎，极坐标方程为ρ=2‎3‎cosθ ‎(‎Ⅱ‎)‎∵ 点M在直线l上，且点M的极坐标为‎(2, θ)‎ ∴ ‎2cosθ+2‎3‎sinθ=2‎‎3‎， ∵ θ∈(0,π‎2‎)‎ ∴ θ=‎π‎6‎， ∴ 射线OM的极坐标方程为θ=‎π‎6‎． 联立θ=‎π‎6‎ρ=2‎3‎cosθ‎ ‎， 解得ρ=(3)‎ ∴ ‎‎|MN|=|ρN-ρM|=(1)‎ ‎23.【答案】‎ 解：‎(1)‎函数f(x)=|ax+1|-|2x-3|‎ ‎‎=‎‎-x+4，x≥‎3‎‎2‎，‎‎3x-2，-1≤x<‎3‎‎2‎，‎x-4，x<-1，‎ 当x<-1‎时，x-4≥x-2‎， 即‎4≤2‎，所以x∈⌀‎；‎ 当‎-1≤x<‎‎3‎‎2‎时，‎3x-2≥x-2‎， 即x≥0‎，所以‎0≤x<‎‎2‎‎3‎； 当x≥‎‎2‎‎3‎时，‎-x+4≥x-2‎， 即x≤3‎，所以‎2‎‎3‎‎≤x≤3‎. 综上所述，x∈[0，3]‎.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎(2)‎因为不等式f(x)≤2x-2‎的解集包含‎(‎1‎‎2‎，‎7‎‎5‎)‎， 等价于不等式f(x)≤2x-2‎在‎(‎1‎‎2‎，‎7‎‎5‎)‎上恒成立，‎ 即‎|ax+1|-|2x-3|≤2x-2‎在‎(‎1‎‎2‎，‎7‎‎5‎)‎上恒成立， 所以‎|ax+1|≤1‎，‎ 化简得‎-2≤ax≤0‎，‎ 所以a<0，‎‎-‎2‎a≥‎7‎‎5‎，‎ 解得‎-‎10‎‎7‎≤a<0‎，当a=0‎时也成立， 所以a的取值范围是‎-‎10‎‎7‎,0‎.‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎函数f(x)=|ax+1|-|2x-3|‎ ‎‎=‎‎-x+4，x≥‎3‎‎2‎，‎‎3x-2，-1≤x<‎3‎‎2‎，‎x-4，x<-1，‎ 当x<-1‎时，x-4≥x-2‎， 即‎4≤2‎，所以x∈⌀‎；‎ 当‎-1≤x<‎‎3‎‎2‎时，‎3x-2≥x-2‎， 即x≥0‎，所以‎0≤x<‎‎2‎‎3‎； 当x≥‎‎2‎‎3‎时，‎-x+4≥x-2‎， 即x≤3‎，所以‎2‎‎3‎‎≤x≤3‎. 综上所述，x∈[0，3]‎.‎ ‎(2)‎因为不等式f(x)≤2x-2‎的解集包含‎(‎1‎‎2‎，‎7‎‎5‎)‎， 等价于不等式f(x)≤2x-2‎在‎(‎1‎‎2‎，‎7‎‎5‎)‎上恒成立，‎ 即‎|ax+1|-|2x-3|≤2x-2‎在‎(‎1‎‎2‎，‎7‎‎5‎)‎上恒成立， 所以‎|ax+1|≤1‎，‎ 化简得‎-2≤ax≤0‎，‎ 所以a<0，‎‎-‎2‎a≥‎7‎‎5‎，‎ 解得‎-‎10‎‎7‎≤a<0‎，当a=0‎时也成立， 所以a的取值范围是‎-‎10‎‎7‎,0‎.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页