2012年文数高考试题答案及解析-湖南

2012年文数高考试题答案及解析-湖南

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1}，N={x|x2=x}，则 M∩N= A.{-1，0，1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 【答案】 【解析】 M={-1,0,1} M∩N={0,1} 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出 ，再利用交集定义得出 M∩N. 2.复数 z=i（i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】 【解析】由 z=i（i+1）= ，及共轭复数定义得 . 【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把 Z 化成标准的 形式，然后由共轭复数定义得出 . 3.命题“若α= ，则 tanα=1”的逆否命题是 A.若α≠ ，则 tanα≠1 B. 若α= ，则 tanα≠1 C. 若 tanα≠1，则α≠ D. 若 tanα≠1，则α= 【答案】 【解析】因为“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”，所以 “若α= ，则 tanα=1”的逆否命题是 “若 tanα≠1，则α≠ ”. 【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 4.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是 【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱 柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几 何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. B { }0,1N = ∴ { }0,1N = A 1 i− + 1z i= − − ( , )a bi a b R+ ∈ 1z i= − − 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π C p q p¬ q¬ 4 π 4 π 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，yi） （i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（ ， ） C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg 【答案】D 【解析】由回归方程为 =0.85x-85.71 知 随 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最小二乘 法建立的回归方程得过程知 ，所以回归直线过样本点的中心（ ， ），利 用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易 错. 6. 已知双曲线 C ： - =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 A． - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【答案】A 【解析】设双曲线 C ： - =1 的半焦距为 ，则 . 又 C 的渐近线为 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上， ，即 . 又 ， ， C 的方程为 - =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是 近年来常考题型. 7 . 设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论： ① ＞ ；② ＜ ； ③ ， y x y y y x ˆ ( )y bx a bx y bx a y bx= + = + − = − x y 2 2 x a 2 2 y b 2 20 x 2 5 y 2 5 x 2 20 y 2 80 x 2 20 y 2 20 x 2 80 y 2 2 x a 2 2 y b c 2 10, 5c c= =  by xa = ± 1 2b a ∴ =  2a b= 2 2 2c a b= + 2 5, 5a b∴ = = ∴ 2 20 x 2 5 y 0c < c a c b ca cb log ( ) log ( )b aa c b c− > − 其中所有的正确结论的序号是 . A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D 【解析】由不等式及 a＞b＞1 知 ，又 ，所以 ＞ ，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确； 由 a＞b＞1， 知 ，由对数函数的图像与性质知③正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系， 考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8 . 在△ABC 中，AC= ，BC=2，B =60°，则 BC 边上的高等于 A． B. C. D. 【答案】B 【解析】设 ，在△ABC 中，由余弦定理知 ， 即 ， 又 设 BC 边上的高等于 ，由三角形面积公式 ，知 ，解得 . 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π的偶函数， 是 f(x)的导函数，当 时，0＜f(x)＜1；当 x∈（0，π） 且 x≠ 时 ， ，则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ 【解析】由当 x∈（0，π） 且 x≠ 时 ， ，知 又 时，0＜f(x)＜1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π的偶函数，在同一坐标系中作出 和 草图像如下，由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为 4 个. __ 1 1 a b < 0c < c a c b 0c < 1 1a c b c c− > − > − > 7 3 2 3 3 2 3 6 2 + 3 39 4 + AB c= 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B= + − ⋅ ⋅ 27 4 2 2 cos60c c= + − × × ×  2 2 3 0, ( -3)( 1)c c c c− − = +即 =0. 0, 3.c c> ∴ = h 1 1sin2 2ABCS AB BC B BC h= =     1 13 2 sin 60 22 2 h× × × = × × 3 3 2h = ( )f x′ [ ]0,x π∈ 2 π ( ) ( ) 02x f x π ′− > 2 π ( ) ( ) 02x f x π ′− > 0, ( ) 0, ( )2x f x f x π  ′∈ < 时, 为减函数； ( ) 0, ( )2x f x f x π π  ′∈ >  ， 时, 为增函数 [ ]0,x π∈ siny x= ( )y f x= 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 二、填空题，本大题共 7 小题，考生作答 6 小题.每小题 5 分共 30 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第 10，,1 两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线 ： 与曲线 ： 的一个交点在极轴上，则 a=_______. 【答案】 【解析】曲线 的直角坐标方程是 ，曲线 的普通方程是直角坐标方程 ，因为曲线 C1： 与曲线 C2： 的一个交点在极轴上，所以 与 轴交点横坐标与 值相等，由 ，知 ＝ . 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想， 考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线 与曲线 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与 轴交 点，即得. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为 29℃~63℃.精确度要求±1 ℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. 【答案】７ 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7. 【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力. (二)必做题（12~16 题） 12.不等式 x2-5x+6≤0 的解集为______. 【答案】 【解析】由 x2-5x+6≤0，得 ，从而的不等式 x2-5x+6≤0 的解集为 . 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 1C ( 2 cos sin ) 1ρ θ θ+ = 2C aρ = ( 0)a > 2 2 1C 2 1x y+ = 2C 2 2 2x y a+ = ( 2 cos sin ) 1ρ θ θ+ = aρ = ( 0)a > 1C x a 20, 2y x= = a 2 2 1C 2C x { }2 3x x≤ ≤ ( 3)( 2) 0x x− − ≤ { }2 3x x≤ ≤ x y o 2π2π− 1 1− siny x= ( )y f x= 13.图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 _________. (注：方差 ，其中 为 x1，x2，…，xn 的平均数) 【答案】6.8 【解析】 ， . 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 ,则输出的数 = . 【答案】4 【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得 ，输出 . 【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15.如图 4，在平行四边形 ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为 P， 且 = . 【答案】18 【解析】设 ，则 ， = . 【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学 思想方法. 16.对于 ，将 n 表示为 ,当 时 ，当 时 为 0 或 1，定义 如下：在 的上述表示中，当 ，a2，…，ak 中等于 1 的个数为奇数时，bn=1；否则 bn=0. （1）b2+b4+b6+b8=__； （2）记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数，则 cm 的最大值是___. 【答案】（1）3；（2）2. 0 8 9 1 0 3 5 2图 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )ns x x x x x xn  = − + − + + −  x 1 (8 9 10 13 15) 115x = + + + + = 2 2 2 2 2 21 (8 11) (9 11) (10 11) (13 11) (15 11)5s  = − + − + − + − + −  6.8= 4.5x = i 0.5x = 4i = 3AP = AP AC   AC BD O= 2( )AC AB BO= +   AP AC   2( )AP AB BO+ =    2 2AP AB AP BO+      22 2 ( ) 2AP AB AP AP PB AP= = + =       18= Nn ∗∈ 1 1 0 1 1 02 2 2 2k k k kn a a a a− −= × + × + + × + × i k= 1ia = 0 1i k≤ ≤ − ia nb n 0 1,a a 【解析】（1）观察知 ； ； 一次类推 ； ； ； ， ， ， b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知 cm 的最大值为２. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据， 如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％. （Ⅰ）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.（将频率视为概率） 【解析】（Ⅰ）由已知得 ，该超市所有顾客一次购物的结算时间组 成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的 结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为: (分钟). （Ⅱ）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， 分别表示事件“该顾客一次购物的 结算时间为 1 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将 频率视为概率，得 . 是互斥事件， . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的 一次购物量超过 8 件的顾客占 55％，知 从而解得 ，再用样本估计总体， 得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率. 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 的部分图像如图 5 所示. （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； 0 0 0 11 2 , 1, 1a a b= × = = 1 0 1 0 22 1 2 0 2 , 1, 0, 1a a b= × + × = = = 1 0 33 1 2 1 2 , 0b= × + × = 2 1 0 44 1 2 0 2 0 2 , 1b= × + × + × = 2 1 0 55 1 2 0 2 1 2 , 0b= × + × + × = 2 1 06 1 2 1 2 0 2= × + × + × 6 0b = 7 81, 1b b= = x y 25 10 55, 35, 15, 20y x y x y+ + = + = ∴ = = 1 15 1.5 30 2 25 2.5 20 3 10 1.9100 × + × + × + × + × = 1 2 3, ,A A A 1.5 1 2 3 15 3 30 3 25 1( ) , ( ) , ( )100 20 100 10 100 4P A P A P A= = = = = = 1 2 3 1 2 3, , ,A A A A A A A=   且 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A P A P A P A∴ = = + +  3 3 1 7 20 10 4 10 = + + = 7 10 25 10 100 55%, 35,y x y+ + = × + = ,x y ( ) sin( )( , 0,0 2f x A x x R πω ϕ ω ω= + ∈ > < < （Ⅱ）求函数 的单调递增区间. 【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期 . 因为点 在函数图像上，所以 . 又 即 . 又点 在函数图像上，所以 ，故函数 f（x）的解析式为 （Ⅱ） 由 得 的单调递增区间是 【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期 从而求得 .再利用特殊点在图像上求出 ，从而求出 f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变 换及 的单调性求得. 19.（本小题满分 12 分） 如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD. （Ⅰ）证明：BD⊥PC； ( ) ( ) ( )12 12g x f x f x π π= − − + 11 5 22( ) , 212 12T T π π ππ ω= − = ∴ = = 5( ,0)12 π 5 5sin(2 ) 0, sin( ) 012 6A π πϕ ϕ× + = + =即 5 5 4 50 , , =2 6 6 3 6 π π π π πϕ ϕ ϕ π< < ∴ < + < + 从而 ， = 6 πϕ 0,1（ ） sin 1, 26A A π = = ( ) 2sin(2 ).6f x x π= + ( ) 2sin 2 2sin 212 6 12 6g x x x π π π π      = − + − + +             2sin 2 2sin(2 )3x x π= − + 1 32sin 2 2( sin 2 cos2 )2 2x x x= − + sin 2 3 cos2x x= − 2sin(2 ),3x π= − 2 2 2 ,2 3 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + 5 , .12 12k x k k z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )g x∴ 5, , .12 12k k k z π ππ π − + ∈   11 52( ) ,12 12T π π π= − = 2 2T πω = = , Aϕ sin( )y A xω ϕ= + （Ⅱ）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【解析】（Ⅰ）因为 又 是平面 PAC 内的两条相较直线，所以 BD 平面 PAC， 而 平面 PAC，所以 . （Ⅱ）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（Ⅰ）知，BD 平面 PAC， 所以 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而 . 由 BD 平面 PAC， 平面 PAC，知 . 在 中，由 ，得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形， ，所以 均为等腰直角三角形， 从而梯形 ABCD 的高为 于是梯形 ABCD 面积 在等腰三角形ＡＯＤ中， 所以 故四棱锥 的体积为 . , , .PA ABCD BD ABCD PA BD⊥ ⊂ ⊥平面 平面 所以 , ,AC BD PA AC⊥ ⊥ PC ⊂ BD PC⊥ ⊥ DPO∠ DPO∠ 30=  ⊥ PO ⊂ BD PO⊥ Rt POD DPO∠ 30=  AC BD⊥ ,AOD BOC  1 1 1 (4 2) 3,2 2 2AD BC+ = × + = 1 (4 2) 3 9.2S = × + × = 2 , 2 2,2OD AD= = 2 22 4 2, 4.PD OD PA PD AD= = = − = P ABCD− 1 1 9 4 123 3V S PA= × × = × × = 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明 BD 平面 PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD 平面 PAC，所以 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，然后算出梯形的 面积和棱锥的高，由 算得体积. 20.（本小题满分 13 分） 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底 资金增长了 50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. （Ⅰ）用 d 表示 a1，a2，并写出 与 an 的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过 m（m≥3）年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值（用 m 表示）. 【解析】（Ⅰ）由题意得 ， ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . 整理得　 . 由题意， ⊥ ⊥ DPO∠ 1 3V S PA= × × 1na + 1 2000(1 50%) 3000a d d= + − = − 2 1 1 3(1 50%) 2a a d a d= + − = − 1 3(1 50%) 2n n na a d a d+ = + − = − 1 3 2n na a d−= − 2 2 3 3( )2 2na d d−= − − 2 3 3( )2 2 na d d−= − − = 1 2 2 1 3 3 3 3( ) 1 ( ) ( )2 2 2 2 n na d− − = − + + + +   1 13 3( ) (3000 ) 2 ( ) 12 2 n n na d d− − = − − −   13( ) (3000 3 ) 22 n d d−= − + 134000, ( ) (3000 3 ) 2 4000,2 n na d d−= ∴ − + = 解得 . 故该企业每年上缴资金 的值为缴 时，经过 年企业的剩余资金为４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力. 第一问建立数学模型，得出 与 an 的关系式 ，第二问，只要把第一问中的 迭代， 即可以解决. 21.（本小题满分 13 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C：x2+y2-4x+2=0 的圆心. （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1，l2.当直线 l1，l2 都与圆 C 相切时，求 P 的坐标. 【解析】（Ⅰ）由 ，得 .故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为 其焦距为 ，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为： （ Ⅱ ） 设 点 的 坐 标 为 ， 的 斜 分 率 分 别 为 则 的 方 程 分 别 为 且 由 与圆 相切，得 　　 ， 即　　　　　 同理可得　　 . 从而 是方程 的两个实根，于是 　　　　　　　 　　　　　　　① 1 3( ) 2 1000 1000(3 2 )2 3 3 2( ) 12 n n n n n n d +  − ×  − = = −− d 11000(3 2 ) 3 2 n n n n +− − ( 3)m m ≥ 1na + 1 3 2n na a d+ = − 1 3 2n na a d+ = − 1 2 1 2 2 2 4 2 0x y x+ − + = 2 2( 2) 2x y− + = (2,0), 2 2 2 2 1( 0),x y a ba b + = > > 2c 2 2 212, , 2 4, 12.2 cc e a c b a ca = = = ∴ = = = − = 2 2 1.16 12 x y+ = p 0 0( , )x y 1 2,l l 1 2, .k k 1 2,l l 1 0 1 0 2 0 2 0: ( ), : ( ),l y y k x x l y y k x x− = − − = − 1 2 1 .2k k = 1l 2 2:( 2) 2c x y− + = 1 0 1 0 2 1 2 2 1 k y k x k + − = + 2 2 2 0 1 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0.x k x y k y − − + − + − =  2 2 2 0 2 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y − − + − + − =  1 2,k k 0 2 2 0 0 0 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y − − + − + − =  2 0 2 2 0 0 (2 ) 2 0, 8 (2 ) 2 0, x x y  − − ≠  ∆ = − + − >   且 由 得 解得 或 由 得 由 得 它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 ，或 ，或 ，或 . 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等 数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆 E 的方程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点 P 坐标的一个方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程 得点 P 坐标. 22.（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=ex-ax，其中 a＞0. （1）若对一切 x∈R，f(x) 1 恒成立，求 a 的取值集合；（2)在函数 f(x)的图像上去定点 A（x 1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1 ( ) 0, ( )f x f x′ > lnx a= ( )f x (ln ) ln .f a a a a= − , ( ) 1x R f x∈ ≥ ln 1a a a− ≥ ( ) ln ,g t t t t= − ( ) ln .g t t′ = − 0 1t< < ( ) 0, ( )g t g t′ > 1t > ( ) 0, ( )g t g t′ < 1t = ( )g t (1) 1g = 1a = a { }1 （Ⅱ）由题意知， 令 则 令 ，则 . 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增. 故当 ， 即 从而 ， 又 所以 因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 使 即 成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、 函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 取最小值 对一切 x∈R，f(x) 1 恒成立转化为 从而得出求 a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为 一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断. 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) . x xf x f x e ek ax x x x − −= = −− − 2 1 2 1 ( ) ( ) , x x x e ex f x k e x x ϕ −′= − = − − 1 2 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 , x x xex e x xx x ϕ − = − − − − − 2 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 . x x xex e x xx x ϕ − = − − − − ( ) 1tF t e t= − − ( ) 1tF t e′ = − 0t < ( ) 0, ( )F t F t′ < 0t > ( ) 0, ( )F t F t′ > 0t = ( ) (0) 0,F t F> = 1 0.te t− − > 2 1 2 1( ) 1 0x xe x x− − − − > 1 2 1 2( ) 1 0,x xe x x− − − − > 1 2 1 0, xe x x >− 2 2 1 0, xe x x >− 1( ) 0,xϕ < 2( ) 0.xϕ > ( )y xϕ= [ ]1 2,x x 0 1 2( , )x x x∈ 0( ) 0,xϕ = 0( )f x k′ = ( )f x (ln ) ln .f a a a a= − ≥ min( ) 1f x ≥