数学文卷·2017届四川省自贡市高三第二次诊断性考试（2017

数学文卷·2017届四川省自贡市高三第二次诊断性考试（2017

‎ 2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（2，3）‎ ‎2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0‎ C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0‎ ‎4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3‎ ‎5．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（　　）‎ A．直线x=1对称 B．直线x=﹣1对称 C．点（1，0）对称 D．点（﹣1，0）对称 ‎6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（　　）‎ A．向右平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到 C．向右平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到 ‎7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．128‎ ‎9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（　　）‎ A．20% 369 B．80% 369 C．40% 360 D．60% 365‎ ‎10．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为 ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（　　）‎ A．36π B．π C．8π D．π ‎12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=　　．‎ ‎14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=　　．‎ ‎15．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足 =2，则•=　　．‎ ‎16．设函数f（x）=（x＞0），观察：‎ f1（x）=f（x）=，‎ f2（x）=f（f1（x））=；‎ f3（x）=f（f2（x））=．‎ f4（x）=f（f3（x））=‎ ‎…‎ 根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：fn（1）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．‎ ‎18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC ‎（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；‎ ‎（Ⅱ）是否在线段BF上存在点G满足BF⊥平面AEG？请说明理由．‎ ‎19．自贡某工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示（如图）．已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元 ‎（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率；‎ ‎（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|=2‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点）．求证： •﹣7是定值，并求出这个定值．‎ ‎21．已知曲线f（x）=aex﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）证明：x＞0时，＜exlnx+2（e为自然对数的底数）‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）≥2．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（2，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，‎ B={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，‎ 则A∩B={x|2＜x＜3}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，‎ 则z=﹣+i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0‎ C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，‎ ‎∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，‎ 即2sinαcosα=cos2α，‎ ‎①当cosα=0时，，此时，‎ ‎②当cosα≠0时，，此时，‎ 综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（　　）‎ A．直线x=1对称 B．直线x=﹣1对称 C．点（1，0）对称 D．点（﹣1，0）对称 ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】由偶函数的性质可知y=f（x+1）的图象关于y轴对称，根据平移变换可得y=f（x+1）与y=f（x）的图象关系，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：因为y=f（x+1）是偶函数，‎ 所以y=f（x+1）的图象关于y轴对称，‎ 而把y=f（x+1）右移1个单位可得y=f（x）的图象，‎ 故y=f（x）的图象关于x=1对称，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（　　）‎ A．向右平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到 C．向右平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）的图象，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AA1=2AB=2，‎ 则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），‎ ‎=（0，﹣1，1），=（0，1，﹣2），‎ 设异面直线BE与CD1所形成角为θ，‎ 则cosθ===．‎ 异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（　　）‎ A．16 B．32 C．64 D．128‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2=﹣2an+1，从而得到{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，且a2=﹣2，‎ ‎∴由题意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2+an+1+an+1=0，即an+2=﹣2an+1，‎ ‎∴{an}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（　　）‎ A．20% 369 B．80% 369 C．40% 360 D．60% 365‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，‎ 由题意得，‎ 解得b=125，a=20%，m=369．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为 ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，依据程序逐级运算，并通过判断条件n＜7？调整运算的继续与结束，即可计算得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 m=3，n=1‎ ‎[3]=3为奇数，m=，n=3‎ 满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=5‎ 满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=7‎ 不满足条件n＜7，退出循环，输出m的值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（　　）‎ A．36π B．π C．8π D．π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．‎ 则点O为其外接球的球心，半径R=2．‎ ‎∴这个几何体外接球的体积V==π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】作AH⊥BM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，‎ ‎∵M为边AC的中点，∴M（，），‎ 又BM∥y轴，则b=，‎ 故|BM|=|﹣b2|==2，‎ ‎∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，‎ 作AH⊥BM交BM的延长线于H．‎ 故△ABC的面积为2S△ABM==2|a﹣b|=a﹣c=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=　1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的b，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的b=，‎ c==，‎ 可得e===2，‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=　8　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x﹣y=6，结合图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，‎ 直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎15．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足 =2，则•=　6　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先画出图形，结合条件及图形即可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=；‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．设函数f（x）=（x＞0），观察：‎ f1（x）=f（x）=，‎ f2（x）=f（f1（x））=；‎ f3（x）=f（f2（x））=．‎ f4（x）=f（f3（x））=‎ ‎…‎ 根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：fn（1）=　（n∈N*）　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中设函数f（x）=（x＞0），观察：‎ f1（x）=f（x）=，‎ f2（x）=f（f1（x））=；‎ f3（x）=f（f2（x））=．‎ f4（x）=f（f3（x））=‎ ‎…‎ 归纳可得：fn（x）=，（n∈N*）‎ ‎∴fn（1）==（n∈N*），‎ 故答案为：（n∈N*）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；‎ ‎（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程化简后，由不等式求出bc的范围，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，c=acosB+bsinA，‎ 由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，‎ ‎∵sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，‎ ‎∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，‎ 化简得，sinBcosA=sinBsinA，‎ ‎∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，‎ 由0＜A＜π得A=；‎ ‎（Ⅱ）∵a=2，A=，∴由余弦定理得，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，则，‎ 即，解得bc≤，当且仅当b=c时取等号，‎ ‎∴△ABC的面积S=，‎ ‎∴△ABC的面积的最大值是．‎ ‎　‎ ‎18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC ‎（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；‎ ‎（Ⅱ）是否在线段BF上存在点G满足BF⊥平面AEG？请说明理由．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由线面平行的性质定理可得过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，连接GD，CD，可得EG∥CD，根据线面平行的判定定理和性质定理，证明CE∥GD，可得四边形GDCE是平行四边形，进而得到G为BF的中点；‎ ‎（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，建立空间直角坐标系，求出F，B，C，E的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算•，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）EG∥平面ABC，‎ 过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，‎ 连接GD，CD，‎ 由线面平行的性质定理可得EG∥CD，‎ 又因为AF∥CE，AF=2CE，‎ CE⊄平面ABF，AF⊂平面ABF，‎ CE∥平面ABF，CE⊂平面CEGD，‎ 可得CE∥GD，‎ 则四边形GDCE是平行四边形，‎ 即有AF∥GD，AF=2GD，‎ 即G为BF的中点，‎ 则=；‎ ‎（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，‎ 且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，‎ 所以AF⊥AB，AF⊥BC，‎ 因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．‎ 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．‎ 设AB=AF=BC=2，‎ 则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），‎ 因为•=（﹣2，0，2）•（2，2，1）=﹣2×2+2=0×2+2×1=﹣2≠0，‎ 所以BF与AE不垂直，‎ 所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．‎ ‎　‎ ‎19．自贡某工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示（如图）．已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元 ‎（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率；‎ ‎（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）确定上、下半年的数据，可得“中位数”，优质品，合格品，次品的个数，可得该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率；‎ ‎（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）上半年的中位数是35，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个；下半年的“中位数”为33，优质品有10个，合格品有10个，次品有5个，‎ ‎∴该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率为=0.4；‎ ‎（Ⅱ）由题意得：‎ 上半年 下半年 合计 优质品 ‎6‎ ‎10‎ ‎16‎ 非优质品 ‎19‎ ‎15‎ ‎34‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ K2==1.47‎ 由于1.47＜3.841所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|=2‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点）．求证： •﹣7是定值，并求出这个定值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，得|AB|==2…①由离心率是，得…②由①②得a，b，c；‎ ‎（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+；联立整理得（1+2k2）x2+4kx+2=0，，，，即可进行向量运算．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴|AB|==2…①‎ ‎∵离心率是，∴…②‎ 由①②得a=2，b=，c=．‎ ‎∴椭圆方程：．‎ ‎（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+，‎ 联立整理得（1+2k2）x2+4kx+2=0，‎ ‎，‎ ‎，．，‎ ‎，‎ ‎∴•﹣7=﹣6x1x2﹣6y1y2+7（y1+y2）﹣21‎ ‎=（﹣6﹣6k2）x1x2+k（x1+x2）﹣3=．‎ ‎： •﹣7是定值﹣15，‎ ‎　‎ ‎21．已知曲线f（x）=aex﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）证明：x＞0时，＜exlnx+2（e为自然对数的底数）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出a，b的值，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（Ⅱ）问题等价于xln x＞xe﹣x﹣，分别令g（x）=xlnx，h（x）=xe﹣x﹣，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aex﹣1，f（1）=ae﹣1+b，f′（1）=ae﹣1，‎ 故切线方程是：y﹣ae+1﹣b=（ae﹣1）（x﹣1），‎ 即y=（ae﹣1）+b=（e﹣1）x﹣1，‎ 故a=1，b=﹣1，‎ 故f（x）=ex﹣x﹣1，f′（x）=ex﹣1，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，‎ 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，‎ 故f（x）极小值=f（0）=0；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）f（x﹣1）+x=ex﹣1，‎ 故问题等价于xln x＞xe﹣x﹣‎ 设函数g（x）=xln x，‎ 则g′（x）=1+ln x，‎ 所以当x∈（0，）时，g′（x）＜0；‎ 当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．‎ 故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ 从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣，‎ 设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．‎ 所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；‎ 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．‎ 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣；‎ 因为gmin（x）=h（1）=hmax（x），‎ 所以当x＞0时，g（x）＞h（x），‎ 故x＞0时，＜exlnx+2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），普通方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0，‎ ‎∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4sinθ；‎ ‎（Ⅱ）直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2，即x+y﹣4=0，‎ 圆心到直线的距离d==，‎ ‎∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）≥2．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；‎ ‎（Ⅱ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥5，‎ x≥2时，x+1+x﹣2≥5，解得：x≥3，‎ ‎﹣1＜x＜2时，x+1+2﹣x≥5，无解，‎ x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，‎ 故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣2}．‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣|+|x+2a|≥|x+2a+﹣x|=|2a|+||≥2，‎ 当且仅当|2a|=||，即a=时”=“成立．‎ ‎2017年3月30日