数学理·甘肃省肃南裕固族自治县第一中学2017届高三10月月考理数试题+Word版含解析

数学理·甘肃省肃南裕固族自治县第一中学2017届高三10月月考理数试题+Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！甘肃省肃南县第一中学2016年10月考试 高三数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.【题文】已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，，则．‎ 考点：集合运算．‎ ‎【结束】‎ ‎2.【题文】已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知.‎ 考点：复数运算．‎ ‎【结束】‎ ‎3.【题文】若，且与的夹角为60°，当取得最小值时，实数的值为（ ）‎ A．1 B．-1 C．2 D．-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，可知当时，取得最小值.‎ 考点：向量数量积．‎ ‎【结束】‎ ‎4.【题文】直线的倾斜角的到值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题得直线斜率为，由，得，可由正切曲线知直线倾斜角的取值范围是.‎ 考点：直线倾斜角．‎ ‎【结束】‎ ‎5.【题文】一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，该几何体为三个小正方体及一个三棱柱（半个正方体）组成，故体积为.‎ 考点：三视图．‎ ‎【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎【结束】‎ ‎6.【题文】在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分 别为、、．则三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知三棱锥的外接球是长为，宽为，高为的长方体的外接球，由长方体对角线长为，得外接球半径为，故所求球体体积为.‎ 考点：三棱锥外接球．‎ ‎【结束】‎ ‎7.【题文】执行右图所示的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为（ ）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：；；；；；，此时，输出.‎ 考点：程序框图．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.‎ ‎【结束】‎ ‎8.【题文】已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则 实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图象如图所示，当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，即方程有且只有两个不相等实数根，故的取值范围为.‎ 考点：分段函数的应用．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查函数与方程的综合运用，分段函数解析式求法及其图象的作法.由题知为分段函数，当时，由可知当时，，当时函数为减函数，当时，函数为减函数，而方程有且只有两个不相等实根即函数的图象与函数的图象有两个交点，在同一坐标系中画出的图象与函数的图象，利用数形结合，易求满足条件实数的取值范围.‎ ‎【结束】‎ ‎9.【题文】如图，分别是双曲线的左顶点、右顶点，过的直线与的一 条渐近线垂直且与另一条渐近线和轴分别交于两点，若，则的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设直线：，联立，得，将代入直线，得，∵，∴由，可得，代入，得，同除以得，∴或（舍去）.‎ 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎【结束】‎ ‎10.【题文】设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A．1 B．-1 C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列性质可知即为，可得.‎ 考点：等差数列的性质．‎ ‎【结束】‎ ‎11.【题文】在直角三角形中，，点是斜边上的一个三等分点，则 ‎=（ ）‎ A．0 B． C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，∵，点是斜边上的一个三等分点，∴或，则或.‎ 考点：向量运算．‎ ‎【结束】‎ ‎12.【题文】记实数中的最大数为，最小值为．已知 的三边边长为，定义它的倾斜度为，则“”是 ‎“为等边三角形”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若为等腰三角形，如，此时，但此时不为等边三角形；当为等边三角形时，则，故选B.‎ 考点：充分必要性．‎ ‎【结束】‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.【题文】已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，，则.‎ 考点：同角关系式．‎ ‎【结束】‎ ‎14.【题文】已知，且，则的最小值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，当且仅当时取得等号.‎ 考点：基本不等式．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查基本不等式，属于容易题.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过导数，利用单调性求最值.‎ ‎【结束】‎ ‎15.【题文】若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：二项式展开式的常数项为，即，所以.‎ 考点：二项式定理．‎ ‎【结束】‎ ‎16.【题文】已知函数，若，则实数的取值范围____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，函数在单调递增，且，故即为，则，解得.‎ 考点：函数的性质．‎ ‎【方法点睛】函数单调性的常见的命题角度有：1、求函数的值域或最值；2、比较两个函数值或两个自变量的大小；3、解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；4、求参数的取值范围或值.‎ ‎【结束】‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.【题文】（本小题满分12分）‎ 设函数．其中．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）当时，求实数的值，使函数的值域恰为，并求此时在上的对称 中心．‎ ‎【答案】（1）；（2）对称中心为，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）化简函数关系式，则最小正周期；（2）当时，值域为，可知满足题意，由，解得函数对称中心为，．‎ 试题解析：（1）最小正周期；‎ ‎（2），对称中心为．‎ 考点：三角函数图象的性质．‎ ‎【结束】‎ ‎18.【题文】（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，，平面平面、‎ 分别为、中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，可证；（2）由，，得平面，∴；（3）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，又平面的法向量为，设二面角的大小为，则，所以.‎ 试题解析：（1）∵、分别为、中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2） 连结，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 又∵，‎ ‎∴平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎∵平面，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（3）∵平面平面，平面平面平面．．．．．8分 如图，以为原点建立空间直角坐标系 ‎∴，‎ ‎∴．‎ 设平面的法向量，‎ ‎∴，令，‎ 得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎∵平面，‎ ‎∴平面的法向量为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设二面角的大小为，‎ 由图知，，所以，即二面角的大小为60°．．．12分 考点：空间位置关系证明、空间向量的应用．‎ ‎【结束】‎ ‎19.【题文】（本小题满分12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选 出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：‎ 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．‎ ‎（1）求这两名队员来自同一学校的概率；‎ ‎（2）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列见解析，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）；（2）依题的可能取值为，分别计算各变量的概率，可得分布列及均值.‎ 试题解析：（1）．‎ ‎（2）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ 考点：概率分布列．‎ ‎【结束】‎ ‎20.【题文】（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足 ‎，且的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线 与直线的交点为，证明：点总在直线上．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知，可求，，故方程为；（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为、，由得，由共线，得，又，则，代入可得结论.‎ 试题解析：（1）由题意知：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ‎∵椭圆上的点满足，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎∴椭圆的方程为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　4分 ‎（2）由题意知，‎ ‎①当直线与轴垂直时，，则的方程是：，‎ 的方程是：，直线与直线的交点为，‎ ‎∴点在直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为、，‎ 由得，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎，共线，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又，需证明共线，‎ 需证明，只需证明，‎ 若，显然成立，若，即证明 成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎∴共线，即点总在直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤 其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意直线斜率不存在的情况及不要忽视判别式的作用．‎ ‎【结束】‎ ‎21.【题文】（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中是实数，设为该函数图象上的 点，且．‎ ‎（1）指出函数的单调区间 ；‎ ‎（2）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；‎ ‎（3）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求导，令导函数及可求；（2）由导数几何意义，可得切线的斜率，由切线互相垂直，可得，即，可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（3）当或时，∵，故不成立，∴，分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出.‎ 试题解析：（1）在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）1；‎ ‎（3）‎ 考点：导数的应用．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）‎ 函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值.‎ ‎【结束】‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.【题文】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在中，平分，交于点，点在上，．‎ ‎（1）求证：是的外接圆的切线；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）取的中点，则，又，易得，由已知可得，所以是的外接圆的切线；（2）设圆半径为，则，得，从而有，故.‎ 试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴是的外接圆的切线．‎ ‎（2）解：设的半径为，则在中，，即，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 考点：平面几何证明．‎ ‎【结束】‎ ‎23.【题文】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，‎ 为的中点．‎ ‎（1）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【答案】（1）（为参数，）；（2），轨迹经过原点.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题，得，则，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得点到坐标原点的距离为，由此的轨迹过坐标原点．‎ 试题解析：（1）由题意有，，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）．‎ ‎（2）点到坐标原点的距离为，当时，，故的轨迹过坐标原点．‎ 考点：坐标系与参数方程．‎ ‎【结束】‎ ‎24.【题文】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设，且当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，作出函数图象，可得原不等式的解集为；（2）原不等式化为，故，故.‎ 试题解析：（1）当时，令，作出函数图像可知，当时，，故原不等式的解集为；‎ ‎（2）依题意，原不等式化为，故对都成立，故，故，故的取值范围是．‎ 考点：绝对值不等式．‎ ‎【结束】‎