【解析】2019届北京市第八十中学高三10月月考数学(理)试题Word版含解析

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【解析】2019届北京市第八十中学高三10月月考数学(理)试题Word版含解析

‎2019届北京市第八十中学 高三10月月考数学(理)试题 数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1.已知集合A={-1,0,1,2},,则A∩B=‎ A. {-1,0,1} B. {0,1,2} C. {0,1} D. {1,2}‎ ‎2.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数x的取值范围 A. B. C. D. ‎ ‎3.如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是 A. B. C. D. ‎ ‎4.不等式组的解集记为,若则 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.若是常数,则“且”是“对任意,有”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 必要条件 ‎6.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金 A. 多1斤 B. 少1斤 C. 多斤 D. 少斤 ‎7.设函数的零点为,的零点为,若,则可以是 A. B. C. D. ‎ ‎8.在实数集R中定义一种运算“*”,,为唯一确定的实数,且具有性质:‎ ‎(1)对任意,;‎ ‎(2)对任意,.‎ 关于函数的性质,有如下说法:‎ ‎①函数的最小值为3;‎ ‎②函数为偶函数;‎ ‎③函数的单调递增区间为.其中正确说法的序号为 A. ① B. ①② C. ①②③ D. ②③‎ 二、填空题 ‎9.已知为数列的前n项和,且,则=___________;数列的通项公式为____‎ ‎10.已知函数的图像与直线有且只有两个交点,且交点的横坐标分别为,那么=___________.‎ ‎11.已知向量与不共线,且.若A,B,D三点共线,则___________.‎ ‎12.函数 ,若对一切恒成立,则实数a的取值范围是___________.‎ ‎13.已知非零实数满足等式,则=___________.‎ ‎14.已知函数 ‎(1)当a=1时,函数的值域是___________.‎ ‎(2)若存在实数b,使函数有两个零点,则实数a的取值范围是___________.‎ 三、解答题 ‎15.已知等差数列满足,,且的前n项和记为.‎ ‎(1)求及;‎ ‎(2)令,求数列的前n项和.‎ ‎16.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及图像的对称轴方程;‎ ‎(2)当时,求函数的值域.‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若b=4,求的最小值.‎ ‎18.已知函数, .‎ ‎(1)求函数在上的最值;‎ ‎(2)求函数的极值点.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)当时,求证:.‎ ‎20.若无穷数列满足:①对任意,;②存在常数M,对任意,,则称数列为“T数列”.‎ ‎(1)若数列的通项为,证明:数列为“T数列”;‎ ‎(2)若数列的各项均为正整数,且数列为“T数列”,证明:对任意,;‎ ‎(3)若数列的各项均为正整数,且数列为“T数列”,证明:存在,数列为等差数列.‎ ‎2019届北京市第八十中学 高三10月月考数学(理)试题 数学 答 案 参考答案 ‎1.C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合B,再求A∩B.‎ ‎【详解】‎ 由题得B={x|0≤x<2},所以A∩B={0,1}.故答案为:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和集合的运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由程序框图得出分段函数,根据函数的值域,求出实数x的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可得分段函数:y=,‎ ‎∴令2x∈[,1],则x∈[﹣2,0],满足题意;‎ ‎∴输入的实数x的取值范围是[﹣2,0].‎ 故答案为:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图和分段函数的值域问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线OA的倾斜角,再求直线OB的倾斜角,即得点B的坐标和的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设直线OA的倾斜角为 因为,|OA|=|OB|,所以点B的坐标为.‎ 故答案为:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的坐标,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.A ‎【解析】‎ 试题分析:不等式组表示的区域如图中阴影部分.由图分析可知A正确.‎ 考点:二元一次不等式组表示平面区域.‎ ‎5.A ‎【解析】充分性:若“且”,则“对任意,有”成立;‎ 必要性:若“对任意,有”,则“或且”;‎ 所以是充分不必要条件,故选A。‎ ‎6.C ‎【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ,‎ 故选C ‎7.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1,从而利用二分法可求得x2∈(,),从而得到 答案.‎ ‎【详解】‎ 选项A:x1=1,选项B:x1=0,选项C:x1=或﹣,选项D:x1=;‎ ‎∵g(0)=1﹣2<0, g()=﹣2<0, g()=2+1﹣2>0,g(1)=4+2﹣2>0, ‎ 则由零点定理和函数的图像得x2∈(,),‎ 所以选项A:x1=1,不满足;‎ 选项B:x1=0,不满足;‎ 选项C:x1=或﹣,不满足;‎ 选项D:x1=,满足.‎ 故答案为:D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点的求法及二分法求函数的零点的近似值,意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力.(2) 零点存在性定理:如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线,并且有,那么函数在区间内至少有一个零点,即存在使得,这个也就是方程的根.‎ ‎8.B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 性质(2)可由性质(1)化简得,a*b=ab+a+b.则f(x)=1+ex+,由基本不等式,即可判 断①;由奇偶性的定义,求出f(﹣x),即可判断②;可求出f(x)的导数,令导数不小于 ‎0,解出即可判断③.‎ ‎【详解】‎ 由于对任意a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0),‎ 则由对任意a∈R,a*0=a,可得a*b=ab+a+b.‎ 则有f(x)=(ex)•=ex•+ex+=1+ex+‎ 对于①,由于定义域为R,则ex>0,1+ex+≥1+2=3,‎ 当且仅当ex=,即有x=0,f(x)取最小值3,故①对;‎ 对于②,由于定义域为R,关于原点对称,且f(﹣x)=1+e﹣x+=1+ex+=f(x),‎ 则f(x)为偶函数,故②对;‎ 对于③,f′(x)=ex﹣e﹣x,令f′(x)≥0,则x≥0,即f(x)的单调递增区间为[0,+∞),故③错.‎ 故答案为:B ‎【点睛】‎ 本题是一个新定义运算型问题,主要考查了基本不等式求函数的最值、奇偶性、单调性等有 关性质以及同学们类比运算解决问题的能力.‎ ‎9.3an=.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由log2(Sn+1)=n+1,得,当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.‎ ‎【详解】‎ 由log2(Sn+1)=n+1,得,当n=1时,a1=S1=3;‎ 当n≥2时,,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=.‎ 故答案为:3,an=.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查对数的运算和项和公式求数列的通项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若在已知数列中存在:的关系,可以利用项和公式,求数列的通项.‎ ‎10.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数,由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2的值.‎ ‎【详解】‎ 函数f(x)=sin(x+)(x∈[0,])的图象,‎ 可看作函数y=sinx的图象向左平移得到,相应的对称轴也向左平移,‎ ‎∴x1+x2=2(﹣)=,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三角函数的图像和性质,考查函数对称性的应用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)利用对称性是解答本题的关键.‎ ‎11.1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线定理即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎∵A,B,D三点共线,∴存在实数k使得=k,‎ ‎∴=k(+)=k+k,向量与不共线.‎ ‎∴1=kn,m=k,‎ 解得mn=1.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力.‎ ‎12.a=1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先整理得到,再利用数形结合和切线分析得到a的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得,‎ 表示过定点(1,0)的一条直线,g(x)=lnx表示的是对数函数的曲线,‎ 即直线在x>0时,总是在对数函数的图像的上方,‎ 由题得所以g(x)在(1,0)处的切线方程为y=x-1.‎ 当a=1时,直线在x>0时,总是在对数函数的图像的上方,‎ 当a≠1时,不满足题意,‎ 故答案为:a=1‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查不等式的恒成立问题,考查对数函数的图像和性质,考查曲线的切线方程,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键,其一是整理得到lnx≤a(x-1),其二是数形结合分析得到a的取值范围.‎ ‎13.±‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式可化简为sin2πθ=2θ+,由|2θ|+||≥2=1可知sin2πθ=±1故可求得θ.‎ ‎【详解】‎ ‎16θ+=16sinπθcosπθ ‎⇒16θ+=8sin2πθ ‎⇒sin2πθ=2θ+‎ ‎⇒|2θ|+||≥2=1‎ ‎⇒sin2πθ=±1‎ ‎⇒θ=±.‎ 故答案为:±.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察了二倍角的正弦公式的应用,三角函数的基本性质和基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.2<a<4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出每一段的值域,再综合得到函数的值域.(2) 由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得 f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围.‎ ‎【详解】‎ 当时,的值域为,‎ 当x≥1时,的值域为,所以函数f(x)的值域为.‎ ‎(2) ∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点 ‎∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,‎ 由于y=x2在[0,a)递增,y=2x在[a,+∞)递增,‎ 要使函数f(x)在[0,+∞)不单调,‎ 即有a2>2a,由g(a)=a2﹣2a,g(2)=g(4)=0,‎ 可得2<a<4.‎ 故答案为:;2<a<4.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查分段函数的值域和零点问题,考查指数函数和二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理零点问题常用的策略有方程法、图像法和方程+图像法.‎ ‎15.(1) , Sn=n2+2n;(2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,可得,解得a1,‎ 再利用通项公式和前n项和公式即可得出.(2)由(1)知an=2n+1,利用“裂项求和”即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∵a3=7,a5+a7=26,‎ ‎∴,解得a1=3,d=2,‎ ‎∴an=3+2(n﹣1)=2n+1;‎ Sn==n2+2n.‎ ‎(2)由(1)知an=2n+1,‎ ‎∴bn====,‎ ‎∴Tn===,‎ 即数列{bn}的前n项和Tn=.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方 法.(2) 类似(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无 理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎16.(1) π,;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据两角和与差的正余弦公式进行化简,根据T=可求得最小正周期,再由正弦函 数的对称性可求得对称轴方程.(2)利用不等式的性质和三角函数的图像和性质逐步求出函 数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)f(x)=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴周期T==π,‎ 由 ‎∴函数图象的对称轴方程为.‎ ‎(2),‎ 所以函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三角恒等变换,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答,求复合函数的最值,一般从复合函数的定义域入手,结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.‎ ‎17.(1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出sinB=,,再求.(2)先利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值,再求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为 ,,所以sinB=.‎ 因为sinA= ,所以,.所以C是锐角.‎ 所以.‎ ‎(2).‎ 由余弦定理得 ‎ (当且仅当a=c时取等)‎ 所以的最小值为-5.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查同角的平方关系和和角的余弦公式,考查余弦定理,考查平面向量的数量积和基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出A和B的隐含范围,否则容易求出双解.‎ ‎18.(1)最大值为,最小值为;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)对函数进行求导可得,求出极值,比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值;(2)对进行求导可得 ,利用求根公式求出导函数的零点,得到导数与0的关系,判断单调性得其极值.‎ 试题解析:(1)依题意, ,令,解得.因为, , ,且,故函数在上的最大值为,最小值为.‎ ‎(2)依题意, , ,当时,令,则.因为,所以 ,其中, .因为,所以, ,所以当时, ,当时, ,所以函数在上是增函数,在上是减函数,故为函数的极大值点,函数无极小值点.‎ ‎19.(1) ex﹣4y+e=0;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据曲线的解析式求出导函数,把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率,根 据点的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可;(2)设,求出函 数的导数,通过讨论函数的单调性,结合x的范围证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵f(x)=,∴f′(x)=,∴f′(1)=, ∵f(1)=,‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ex﹣4y+e=0;‎ ‎(2)设,则, ‎ x∈(1,+∞)⇒F''(x)>0⇒F'(x)在(1,+∞)上为增函数; ‎ 又因,在(1,+∞)上为增函数; ‎ 在(1,+∞)都成立. ‎ 设,‎ 由于△=32(2﹣e)<0, ‎ 则在(1,+∞)上为增函数,‎ 又G(1)=0,若x>1时,则. ‎ 综上:.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查求曲线的切线方程,考查利用导数证明不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键有两点,其一是构造函数,并证明在(1,+∞)都成立,其二是构造函数,并证明.‎ ‎20.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由数列{an}的通项求得an+1,an+2,作差证得对任意n∈N*,,结合数列{an}‎ 为递减数列得对任意n∈N*,an≤a1=6,则结论得证;(2)假设存在正整数k,使得ak>ak+1,‎ 由数列{an}的各项均为正整数,可得ak≥ak+1+1.然后依次推导,得到数列中有负数项,与 已知矛盾;(3)由数列{an}为“T数列”,说明存在常数M,对任意n∈N*,an≤M.由(Ⅱ)‎ 可知,对任意n∈N*,an≤an+1,则a1≤a2≤a3≤…≤an≤an+1≤….然后分an=an+1和若an<an+1‎ 讨论,最后说明a1,a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1,…,中最多有M个大于或等于1,否则 与an≤M矛盾,则结论得到证明.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)证明:由,可得,,‎ ‎∴,‎ ‎∴对任意n∈N*,.‎ 又数列{an}为递减数列,‎ ‎∴对任意n∈N*,an≤a1=6.‎ ‎∴数列{an}为“T数列”;‎ ‎(Ⅱ)证明:假设存在正整数k,使得ak>ak+1.‎ 由数列{an}的各项均为正整数,可得ak≥ak+1+1.‎ 由,可得ak+2≤2ak+1﹣ak≤2(ak﹣1)﹣ak=ak﹣2.‎ 且ak+2≤2ak+1﹣ak<2ak+1﹣ak+1=ak+1.‎ 同理ak+3<ak+1﹣2≤ak﹣3,‎ 依此类推,可得对任意n∈N*,有ak+n≤ak﹣n.‎ 因为ak为正整数,设ak=m,则m∈N*,‎ 在ak+n≤ak﹣n中,设n=m,则ak+n≤0.‎ 与数列{an}的各项均为正整数矛盾.‎ ‎∴对任意n∈N*,an≤an+1;‎ ‎(Ⅲ)∵数列{an}为“T数列”,‎ ‎∴存在常数M,对任意n∈N*,an≤M.‎ 设M∈N*,‎ 由(Ⅱ)可知,对任意n∈N*,an≤an+1,‎ 则a1≤a2≤a3≤…≤an≤an+1≤….‎ 若an=an+1,则an+1﹣an=0;‎ 若an<an+1,则an+1﹣an≥1.‎ 而n≥2时,有an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1).‎ ‎∴a1,a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1,…,中最多有M个大于或等于1,否则与an≤M矛盾.‎ ‎∴存在n0∈N*,对任意的n>n0,有an﹣an﹣1=0.‎ ‎∴对任意n∈N*,.‎ ‎∴存在 n0∈N*,数列为等差数列.‎ ‎【点睛】‎ 本题是新定义题,考查了数列与不等式的综合,解题过程体现了反证法证题思想,关键是对 ‎“T数列”概念的理解,属有一定难度题目. ‎
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