数学文·广东省广州市海珠区2017届高三上学期调研测试（一）数学文试题 Word版含解析

数学文·广东省广州市海珠区2017届高三上学期调研测试（一）数学文试题 Word版含解析

海珠区2017届第一学期高三综合测试（一）‎ 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎（2）复数(其中为虚数单位)的值是 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎（3）要得到函数的图象，只需要将函数的图象 ‎（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位 ‎ ‎（4）已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）设点是双曲线上的一点，‎ ‎ ，分别为双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）在平面直角坐标系中，已知点和坐标满足的动点，则目标函数的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知函数，则的图像大致为 ‎（9）若，，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）在中，角，，的对边分别是，，‎ ‎ ，已知，，则 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D） ‎ ‎（11）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（12）设奇函数在上是增函数，且，‎ 若函数对所有的都成立，‎ 当时，则的取值范围是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13）设向量，，且，则 ． ‎ ‎（14）已知，且，则 ． ‎ ‎（15）已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别是 ，点是的中点，若，且，则椭圆的方程为 ． ‎ ‎（16）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎ （Ⅱ）令，求数列的前项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点E，F分别为和的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线平面； ‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售一件该商品可获利润元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利元.‎ ‎（Ⅰ）若商店一天购进该商品件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）的函数解析式； ‎ ‎（Ⅱ）商店记录了天该商品的日需求量（单位：件，），整理得下表：‎ 日需求量 频数 若商店一天购进件该商品，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且到原点的距离为．‎ ‎ （Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎ （Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直 ‎ 线相切的圆，必与直线相切．‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ R ‎ 已知函数）在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎ （Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）设两个极值点分别为，证明:．‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，在中，是的平分线，的外接圆交于点，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求的长．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程； ‎ ‎（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．‎ ‎2016-2017学年广东省广州市海珠区高三（上）调研数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}，则M∩N=（　　）‎ A．{0，2} B．{﹣2，0，2} C．{0，2，4} D．{﹣2，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．‎ ‎【分析】先求出集合N，由此利用交集的定义能求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M={﹣2，0，2，4}，‎ N={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，‎ ‎∴M∩N={﹣2，0，2}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016秋•海珠区月考）复数（﹣i）3（其中i为虚数单位）的值是（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用复数的1的立方根求解即可．‎ ‎【解答】解：（﹣i）3=﹣（﹣+i）3=﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数的基本运算，1的立方根的性质，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•宁德二模）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】由茎叶图性质及甲、乙两组数据的中位数相同，平均数也相同，列出方程组，能求出m，n，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：甲、乙两组数据如图茎叶图所示，‎ ‎∵它们的中位数相同，平均数也相同，‎ ‎∴，‎ 解得m=3，n=8，‎ ‎∴=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查两数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016秋•海珠区月考）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；立体几何．‎ ‎【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，相加可得答案．‎ ‎【解答】解：三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；‎ 三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；‎ 故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•宿州一模）设点P是双曲线上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且 ‎|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，进而根据|PF1|=2|PF2|，分别求得|PF2|和|PF1|，进而根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得．‎ ‎【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 又|PF1|=2|PF2|，‎ 得|PF2|=2a，|PF1|=4a；‎ 在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，‎ ‎∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，‎ 则e==．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的离心率的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016秋•海珠区月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（2，﹣1）和坐标满足的动点M（x，y），则目标函数z=的最大值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】数形结合；转化法；不等式．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积公式计算z根据z的几何意义，结合数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：通解因为z=，则z=2x﹣y，根据线性约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z=2x﹣y 的图象与直线y=2x 平行，由可行域知，当直线y=2x﹣z 经过点（2，﹣1）时，目标函数可以取到最大 值5．‎ 法2．最优解由约束条件确定的可行域为三角形，其顶点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（，），（2，﹣1），‎ 则由z=，得z=2x﹣y 过点（2，﹣1）时取到最大值5．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查简单的线性规划等基础知识，考查考生的数形结合能力、转化与化归能力及运算求解能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015秋•桂林校级期中）函数f（x）=x﹣ln|x|的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】易知当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x）是增函数，从而利用排除法求得．‎ ‎【解答】解：当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x）是增函数，‎ 故排除A，C，D；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，单调性表述了图象的变化趋势．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016秋•海珠区月考）若c＞1，0＜b＜a＜1，则（　　）‎ A．ac＜bc B．bac＜abc C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc E．alogbc＜blogac ‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；不等式．‎ ‎【分析】利用幂函数、对数函数与指数函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵0＜b＜a＜1，c＞1，‎ ‎∴ac＞bc，故A错误，‎ bc﹣1＜ac﹣1即abc＜bac，‎ 故B错误，‎ alogbc﹣blogac ‎=﹣‎ ‎=，‎ ‎∵c＞1，∴lgc＞0，‎ ‎∵0＜b＜a＜1，‎ ‎∴lgalgb＞0，alga＞blgb，‎ ‎∴alogbc＞blogac，故C错误，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了幂函数、对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•山东）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理．‎ ‎【专题】方程思想；转化法；解三角形．‎ ‎【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵b=c，‎ ‎∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA），‎ ‎∵a2=2b2（1﹣sinA），‎ ‎∴1﹣cosA=1﹣sinA，‎ 则sinA=cosA，即tanA=1，‎ 即A=，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016秋•海珠区月考）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S，A的值，观察规律可得S的取值以6为周期，A的取值以3为周期，从而有当i=2017时，满足i＞2016，退出循环，输出S的值为2，从而得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 i=0，S=1，A=2‎ i=1，S=2，A=‎ 不满足i＞2016，i=2，S=1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=3，S=﹣1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=4，S=﹣2，A=‎ 不满足i＞2016，i=5，S=﹣1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=6，S=1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=7，S=2，A=‎ 不满足i＞2016，i=8，S=1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=9，S=﹣1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=10，S=﹣2，A=‎ 不满足i＞2016，i=11，S=﹣1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=12，S=1，A=2‎ ‎…‎ 观察规律可知，S的取值以6为周期，A的取值以3为周期，从而有：‎ 不满足i＞2016，i=2014，S=﹣2，A=‎ 不满足i＞2016，i=2015，S=﹣1，A=﹣1‎ 不满足i＞2016，i=2016，S=1，A=2‎ 不满足i＞2016，i=2017，S=2，A=，‎ 满足i＞2016，退出循环，输出S的值为2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•北京模拟）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（　　）‎ A．﹣2≤t≤2 B．‎ C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．‎ ‎【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，‎ ‎∴1≤t2﹣2at+1，‎ 当t=0时显然成立 当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]‎ 令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]‎ 当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2‎ 当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2‎ 综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）（2016秋•海珠区月考）设向量=（x﹣1，2），=（1，x），且⊥，则x=　　．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．‎ ‎【分析】由⊥，可得•=0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵⊥，∴•=x﹣1+2x=0，‎ 解得x=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知θ∈（，2π），且cos（θ﹣）=，则tan（θ+）=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】由已知θ的范围求得的范围，得到sin（）的值，再由诱导公式及商的关系求得答案．‎ ‎【解答】解：∵θ∈（，2π），‎ ‎∴∈（），又cos（θ﹣）=，‎ ‎∴sin（θ﹣）=﹣=﹣，‎ ‎∴tan（θ+）=tan[（）+]=﹣cot（）=﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式的应用，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，点C是B1F2的中点，若•=2，且CF1⊥B1F2，则椭圆的方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由已知可得F1，F2，B1，B2四点的坐标，利用中点坐标公式可得C．由•=2，且CF1⊥B1F2，利用数量积运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），C．‎ ‎=（﹣c，﹣b），=（c，﹣b），=，‎ ‎∵•=2，且CF1⊥B1F2，‎ ‎∴﹣c2+b2=2，=+=0，又a2=b2+c2，‎ 联立解得：a=2，b2=3，c=1．‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016秋•海珠区月考）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且三棱柱的体积为，则球O的表面积为　7π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．‎ ‎【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，设出三棱柱的底面边长，由棱柱的体积公式得到三棱柱的底面边长，可得球的半径，由球的表面积求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，‎ ‎∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，‎ 设三棱柱的底面边长为a，则 ‎∵三棱柱的体积为，∴=，∴a=．‎ 设球的半径为r，上底面所在圆的半径为a=1，且球心O到上底面中心H的距离OH==，‎ ‎∴r==，‎ ‎∴球O的表面积为4πr2=7π 故答案为：7π ‎【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2016秋•雅安校级月考）在公差不为零的等差数列{an}中，a1=2，且a1，a2，a4成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由等比数列等比中项可知：（a1+d）2=a1•（a1+3d），即可求得d的值，根据等差通项公式即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）===（﹣），利用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d（d≠0），…（1分）‎ 由题意知（a1+d）2=a1•（a1+3d），…（2分）‎ 即（2+d）2=2•（2+3d），即d（d﹣2）=0，‎ 又d≠0，‎ ‎∴d=2．…（3分）‎ an=2+（n﹣1）×2=2n，‎ 故数列{an}的通项公式an=2n． …（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得===（﹣）…（7分）‎ ‎∴Tn=b1+b2+b3+…+bn，…（8分）‎ ‎=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]…（9分）‎ ‎=（1﹣） …（10分）‎ ‎=． …（11分）‎ ‎∴数列数列{bn}的前n项和Tn=． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查等差数列通项公式，等比数列等比中项的性质，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•海珠区月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥P﹣BEF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（Ⅰ）作FM∥CD交PC于M，连接ME．证明AF∥EM，然后证明直线AF∥平面PEC．‎ ‎（Ⅱ）连接ED，证明AB⊥平面PEF．求出三角形PEF的面积，利用VP﹣BEF=VB﹣PEF求解即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME． …（1分）‎ ‎∵点F为PD的中点，∴，‎ 又，∴，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，…（2分）‎ ‎∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，…（3分）‎ ‎∴直线AF∥平面PEC． …（4分）‎ ‎（Ⅱ）连接ED，在△ADE中，AD=1，，∠DAE=60°，‎ ‎∴ED2=AD2+AE2﹣2AD×AE×cos60°=，∴，‎ ‎∴AE2+ED2=AD2，∴ED⊥AB． …（5分）‎ PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，…（6分）‎ PD∩ED=D，PD⊂平面PEF，ED⊂平面PEF，…（7分）‎ ‎∴AB⊥平面PEF． …（8分）‎ ‎，…（9分）‎ ‎∴三棱锥P﹣BEF的体积：VP﹣BEF=VB﹣PEF …（10分）‎ ‎=…（11分）‎ ‎==． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查空间几何体的体积，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•海珠区月考）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元．‎ ‎（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，n∈N），整理得如表：‎ 日需求量 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数 ‎4‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎9‎ ‎5‎ 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500，650]内的概率．‎ ‎【考点】概率的应用．‎ ‎【专题】综合题；函数思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分类求出函数解析式，即可得出利润y关于需求量n的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）若利润在区间[500，650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9，即可求出概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥100时，‎ 利润为y=60×10+（n﹣10）×40=40n+200； …（2分）‎ 当日需求量n＜10时，利润为y=60n﹣（10﹣n）×70=70n﹣100．…（4分）‎ 所以利润y关于需求量n的函数解析式为y= …（6分）‎ ‎（Ⅱ）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元．…（9分）‎ 若利润在区间[500，650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9．…（10分）‎ 则利润在区间[500，650]内的概率为． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查分段函数，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•海珠区月考）已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且到原点的距离为2．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得：，求出p，即可求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明kGA+kGB=0，从而∠AGF=∠BGF，这表明点F到直线G A，G B的距离相等，即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（I）由题意可得：，…（2分）‎ 解得p=2，…（3分）‎ 所以抛物线 E的方程为y2=4x． …（4分）‎ ‎（II）因为点 A（2，m）在抛物线 E：y2=4x上，‎ 所以，…（5分）‎ 由抛物线的对称性，不妨设．‎ 由，F（1，0）可得直线 AF的方程．…（6分）‎ 由，得2x2﹣5x+2=0，‎ 解得x=2或，从而． …（7分）‎ 又G（﹣1，0），‎ 所以，…（8分），…（9分）‎ 所以kGA+kGB=0，从而∠AGF=∠BGF，…（10分）‎ 这表明点F到直线G A，G B的距离相等，…（11分）‎ 故以F为圆心且与直线G A相切的圆必与直线G B相切． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•海珠区月考）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R））在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（Ⅰ）求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；‎ ‎（Ⅱ）问题等价于ln＞，令，则t＞1，，设，根据函数的单调性证出结论即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；‎ 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；‎ ‎（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，‎ 如右图．‎ 可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．‎ 令切点A（x0，lnx0），‎ 故k=y′|x=x0=，又k=，‎ 故 =，‎ 解得，x0=e，‎ 故k=，‎ 故0＜a＜．‎ ‎（解法二）转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．‎ 又g′（x）=，‎ 即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，‎ 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．‎ 故g（x）极大=g（e）=；‎ 又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，‎ 故g（x）的草图如右图，‎ 可见，要想函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，‎ 只须0＜a＜．‎ ‎（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，‎ 而g′（x）=﹣ax=（x＞0），‎ 若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，‎ 此时g（x）不可能有两个不同零点．‎ 若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，‎ 所以g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，从而g（x）极大=g（）=ln﹣1，‎ 又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，‎ 于是只须：g（x）极大＞0，即ln﹣1＞0，所以0＜a＜．‎ 综上所述，0＜a＜．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，‎ 即lnx1=ax1，lnx2=ax2，‎ 设x1＞x2，作差得ln=a（x1﹣x2），即a=‎ 原不等式等价于ln＞，‎ 令，则t＞1，，‎ 设，，‎ ‎∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（t）＞g（1）=0，‎ 即不等式成立，‎ 故所证不等式成立．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于综合题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE=2AD；‎ ‎（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．‎ ‎【考点】圆內接多边形的性质与判定．‎ ‎【专题】推理和证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．‎ ‎（Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，‎ 由于四边形DECA是圆的内接四边形，‎ 所以：∠BDE=∠BCA ‎∠B是公共角，‎ 则：△BDE∽△BCA．‎ 则：，‎ 又：AB=2AC 所以：BE=2DE，‎ CD是∠ACB的平分线，‎ 所以：AD=DE，‎ 则：BE=2AD．‎ ‎（Ⅱ）由于AC=1，‎ 所以：AB=2AC=2．‎ 利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，‎ 由于：BE=2AD，设AD=t，‎ 则：2（2﹣t）=（2+2t）•2t 解得：t=，‎ 即AD的长为．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角形相似的判定的应用，圆周角的性质的应用，割线定理得应用，主要考查学生的应用能力．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2013•郑州一模）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为极坐标方程．‎ ‎（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．‎ ‎【解答】解：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，‎ 再化为极坐标方程是 ρ=4cosθ．﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎（2）∵直线l的直角坐标方程为 x+y﹣4=0，‎ 由 求得 ，或 ，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），‎ 所以弦长为 =2．﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线和圆的交点坐标，两点间的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•信阳一模）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，‎ 当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．‎ 当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．‎ 当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．‎ 由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，‎ 故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．‎