2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第26练

2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第26练

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 26 练　导数的概念及简单 应用 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值 . 2. 题目难度：中档偏难 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　导数的几何意义 方法技巧 　 (1) f ′ ( x 0 ) 表示函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的瞬时变化率 . (2) f ′ ( x 0 ) 的几何意义是曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， y 0 ) 处切线的斜率 . 核心考点突破练 A.1 B . － 1 C.2 D . － 2 √ 解析 答案 由导数的几何意义，得所求切线的斜率 k ＝ 1. 2. 函数 f ( x ) ＝ e x cos x 的图象在点 (0 ， f (0)) 处的切线方程是 A. x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 B. x ＋ y － 1 ＝ 0 C. x － y ＋ 1 ＝ 0 D. x － y － 1 ＝ 0 √ 解析 答案 解析　 f (0) ＝ e 0 cos 0 ＝ 1 ， 因为 f ′ ( x ) ＝ e x cos x － e x sin x ， 所以 f ′ (0) ＝ 1 ，所以切线方程为 y － 1 ＝ x － 0 ， 即 x － y ＋ 1 ＝ 0 ，故选 C. 3.(2018· 全国 Ⅰ ) 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax ，若 f ( x ) 为奇函数，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 A. y ＝－ 2 x B. y ＝－ x C. y ＝ 2 x D. y ＝ x √ 解析 答案 解析　 方法一　 ∵ f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2( a － 1) x ＋ a . 又 f ( x ) 为奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) 恒成立， 即－ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 － ax ＝－ x 3 － ( a － 1) x 2 － ax 恒成立， ∴ a ＝ 1 ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 1 ， ∴ f ′ (0) ＝ 1 ， ∴ 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 y ＝ x . 故选 D. 方法二　 ∵ f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( a － 1) x 2 ＋ ax 为奇函数， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2( a － 1) x ＋ a 为偶函数， ∴ a ＝ 1 ，即 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 1 ， ∴ f ′ (0) ＝ 1 ， ∴ 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 y ＝ x . 故选 D. 4.(2016· 全国 Ⅱ ) 若直线 y ＝ kx ＋ b 是曲线 y ＝ ln x ＋ 2 的切线，也是曲线 y ＝ ln( x ＋ 1) 的切线，则 b ＝ ________. 1 － ln 2 解析 答案 考点二　导数与函数的单调性 方法技巧 　 (1) 若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ，只要在函数定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 f ′ ( x )>0 或 f ′ ( x )<0. (2) 若已知函数的单调性，则转化为不等式 f ′ ( x ) ≥ 0 或 f ′ ( x ) ≤ 0 在单调区间上恒成立问题来求解 . A. c < b < a B. c < a < b C. b < c < a D. a < c < b √ 解析 答案 ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为减函数 . ∵ 3<π<5 ， ∴ f (3)> f (π)> f (5) ， ∴ a > b > c . 故选 A. 6. 设函数 f ( x ) ＝ － 9ln x 在区间 [ a － 1 ， a ＋ 1] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 A.(1 ， 2] B .[4 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ， 2] D.(0 ， 3] √ 解析 答案 解析 答案 7. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ′ ( x )> f ( x ) 恒成立，若 x 1 < x 2 ，则 与 的 大小关系为 A. B. C. D. 与 的大小关系不确定 √ 由题意知 g ′ ( x )>0 ，所以 g ( x ) 单调递增，当 x 1 < x 2 时， g ( x 1 )< g ( x 2 ) ， 即 ， 所以 . 考点三　导数与函数的极值、最值 方法技巧 　 (1) 函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解 . (2) 含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离 . 特别提醒 　 (1) f ′ ( x 0 ) ＝ 0 是函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处取得极值的必要不充分条件 . (2) 函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点 . 8.(2017· 全国 Ⅱ ) 若 x ＝－ 2 是函数 f ( x ) ＝ ( x 2 ＋ ax － 1)·e x － 1 的极值点，则 f ( x ) 的极小值为 A. － 1 B. － 2e － 3 C.5e － 3 D.1 √ 解析 答案 解析　 函数 f ( x ) ＝ ( x 2 ＋ ax － 1)e x － 1 ， 则 f ′ ( x ) ＝ (2 x ＋ a )e x － 1 ＋ ( x 2 ＋ ax － 1)e x － 1 ＝ e x － 1 ·[ x 2 ＋ ( a ＋ 2) x ＋ a － 1] . 由 x ＝－ 2 是函数 f ( x ) 的极值点 ， 得 f ′ ( － 2) ＝ e － 3 ·(4 － 2 a － 4 ＋ a － 1) ＝ ( － a － 1)e － 3 ＝ 0 ， 所以 a ＝－ 1. 所以 f ( x ) ＝ ( x 2 － x － 1)e x － 1 ， f ′ ( x ) ＝ e x － 1 ·( x 2 ＋ x － 2). 由 e x － 1 ＞ 0 恒成立，得当 x ＝－ 2 或 x ＝ 1 时， f ′ ( x ) ＝ 0 ，且当 x ＜－ 2 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ； 当－ 2 ＜ x ＜ 1 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ； 当 x ＞ 1 时， f ′ ( x ) ＞ 0. 所以 x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的极小值点 . 所以函数 f ( x ) 的极小值为 f (1) ＝－ 1. 故选 A . 9. 已知 f ′ ( x ) 是定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导数，对任意 x ∈ R ， x ≠ 3 且 x ≠ － 1 ，都有 ( x 2 － 2 x － 3) f ′ ( x ) － e x ＝ 0 ， f ( － 1)<0 ， f ( － 2)< f (3) ， f (5)>0 ，则下列结论错误的是 A. f ( x ) 的增区间为 ( － ∞ ，－ 1) ， (3 ，＋ ∞ ) B. f ( x ) 在 x ＝ 3 处取极小值，在 x ＝－ 1 处取极大值 C. f ( x ) 有 3 个零点 D. f ( x ) 无最大值也无最小值 √ 解析 答案 当 x < － 1 或 x >3 时， x 2 － 2 x － 3>0 ， ∴ f ′ ( x )>0 ，当－ 1< x <3 时， x 2 － 2 x － 3<0 ， f ′ ( x )<0 ， ∴ f ( x ) 的增区间为 ( － ∞ ，－ 1) ， (3 ，＋ ∞ ) ，减区间为 ( － 1 ， 3) ； f ( x ) 在 x ＝ 3 处取极小值，在 x ＝－ 1 处取极大值 . 又 ∵ f ( － 1)<0 ，由 f ( x ) 的草图 ( 图略 ) 知， f ( x ) 恰有一个零点 . f ( x ) 无最大值也无最小值，故 A ， B ， D 结论正确，错误的结论为 C. 10.(2018· 江苏 ) 若函数 f ( x ) ＝ 2 x 3 － ax 2 ＋ 1( a ∈ R ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 内有且只有一个零点，则 f ( x ) 在 [ － 1 ， 1] 上的最大值与最小值的和为 _____. 解析 答案 － 3 解析　 f ′ ( x ) ＝ 6 x 2 － 2 ax ＝ 2 x (3 x － a )( x ＞ 0). ① 当 a ≤ 0 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 又 f (0) ＝ 1 ， ∴ f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上无零点，不合题意 . 此时 f ( x ) ＝ 2 x 3 － 3 x 2 ＋ 1 ， f ′ ( x ) ＝ 6 x ( x － 1) ， 当 x ∈ [ － 1 ， 1 ] 时， f ( x ) 在 [ － 1 ， 0] 上单调递增，在 (0 ， 1] 上单调递减 . 又 f (1) ＝ 0 ， f ( － 1) ＝－ 4 ， f (0) ＝ 1 ， ∴ f ( x ) max ＋ f ( x ) min ＝ f (0) ＋ f ( － 1) ＝ 1 － 4 ＝－ 3 . 11. 已知 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x ＋ 3 － ， g ( x ) ＝－ ( x ＋ 1) 2 ＋ a ， ∃ x 1 ∈ [0 ， 2] ， ∀ x 2 ∈ [0 ， 2] ， 使得 f ( x 1 ) ≤ g ( x 2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是 ______________. 解析 答案 解析　 ∃ x 1 ∈ [ 0 ， 2 ] ， ∀ x 2 ∈ [0 ， 2] ，使得 f ( x 1 ) ≤ g ( x 2 ) 成立 ， 等价 于 f ( x ) min ≤ g ( x ) min ， 故当 x ∈ (0 ， 1) 时， f ′ ( x )<0 ； 当 x ＝ 2 时， g ( x ) 取得最小值 g (2) ＝ a － 9 ， 考点四　定积分 要点重组 　微积分基本定理： 一般地，如果 f ( x ) 是区间 [ a ， b ] 上的连续函数，且 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) ，那么 √ 解析 答案 √ 解析 答案 解析　 根据定积分的性质， 根据定积分的几何意义， √ 解析 答案 ＝ ＝ 3 . √ 解析 答案 1. 已知 f ( x ) ＝ ln x ， g ( x ) 直线 l 与函数 f ( x ) ， g ( x ) 的图象都相切，且与 f ( x ) 图象的切点为 (1 ， f (1)) ，则 m 等于 A. － 1 B. － 3 C. － 4 D. － 2 易错易混专项练 √ 解析 答案 ∴ 直线 l 的斜率为 k ＝ f ′ (1) ＝ 1. 又 f (1) ＝ 0 ， ∴ 切线 l 的方程为 y ＝ x － 1. g ′ ( x ) ＝ x ＋ m ， 设直线 l 与 g ( x ) 的图象的切点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 于是解得 m ＝－ 2. 故选 D. √ 解析 答案 解析　 方法一　 ( 特殊值法 ) 不具备在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上单调递增，排除 A ， B ， D. 故选 C. 方法二　 ( 综合法 ) 3. 函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a ， b ) ，导函数 f ′ ( x ) 在 ( a ， b ) 内的图象如图所示，则函数 f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内的极小值点有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 √ 解析 答案 解析 　 由极小值的定义及导函数 f ′ ( x ) 的图象可知， f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内有 1 个极小值点 . 4. 若直线 y ＝ a 分别与直线 y ＝ 2( x ＋ 1) ，曲线 y ＝ x ＋ ln x 交于点 A ， B ，则 | AB | 的最小值为 ____. 解析 答案 设方程 x ＋ ln x ＝ a 的根为 t ( t ＞ 0) ，则 t ＋ ln t ＝ a ， 令 g ′ ( t ) ＝ 0 ，得 t ＝ 1. 当 t ∈ (0 ， 1) 时， g ′ ( t ) ＜ 0 ， g ( t ) 单调递减； 当 t ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， g ′ ( t ) ＞ 0 ， g ( t ) 单调递增， 解题秘籍 　 (1) 对于未知切点的切线问题，一般要先设出切点 . (2) f ( x ) 递增的充要条件是 f ′ ( x ) ≥ 0 ，且 f ′ ( x ) 在任意区间内不恒为零 . (3) 利用导数求解函数的极值、最值问题要利用数形结合思想，根据条件和结论的联系灵活进行转化 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 1. 已知函数 y ＝－ xf ′ ( x ) 的图象如图所示 ( 其中 f ′ ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数 ) ，下面四个图象中， y ＝ f ( x ) 的图象可能是 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由函数 y ＝－ xf ′ ( x ) 的图象知，当 x < － 1 时， f ′ ( x )>0 ， f ( x ) 为增函数 ； 当 － 1< x <0 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 为减函数 ； 当 0< x <1 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 为减函数 ； 当 x >1 时， f ′ ( x )>0 ， f ( x ) 为增函数 . 故选项 B 的图象符合 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 函数 f ( x ) ＝ ( x － 3)e x 的单调递增区间是 A.( － ∞ ， 2 ) B.(0 ， 3 ) C.(1 ， 4 ) D.(2 ，＋ ∞ ) √ 解析 答案 解析　 函数 f ( x ) ＝ ( x － 3)e x 的导函数为 f ′ ( x ) ＝ [( x － 3)·e x ] ′ ＝ e x ＋ ( x － 3)e x ＝ ( x － 2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当 f ′ ( x )>0 时，函数 f ( x ) 单调递增， 此时由不等式 f ′ ( x ) ＝ ( x － 2)e x >0 ，解得 x >2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.4 ≤ m ≤ 5 B.2 ≤ m ≤ 4 C. m ≤ 2 D. m ≤ 4 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可得 x 2 － mx ＋ 4 ≥ 0 在区间 [1 ， 2] 上恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 若函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ 1)·e x ，则下列命题正确的是 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 ∵ f ′ ( x ) ＝ ( x ＋ 2)·e x ， ∴ 当 x > － 2 时， f ′ ( x )>0 ， f ( x ) 为增函数； 当 x < － 2 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 为 减函 数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.{ x | x ＞－ 2 013} B.{ x | x ＜－ 2 013} C.{ x | － 2 013 ＜ x ＜ 0} D.{ x | － 2 018 ＜ x ＜－ 2 013} √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 　 构造函数 g ( x ) ＝ x 2 f ( x ) ，则 g ′ ( x ) ＝ x [2 f ( x ) ＋ xf ′ ( x )]. 当 x ＞ 0 时， ∵ 2 f ( x ) ＋ xf ′ ( x ) ＞ 0 ， ∴ g ′ ( x ) ＞ 0 ， ∴ g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增 . ∴ 当 x ＋ 2 018 ＞ 0 ，即 x ＞－ 2 018 时 ， ( x ＋ 2 018) 2 f ( x ＋ 2 018) ＜ 5 2 f (5) ， 即 g ( x ＋ 2 018) ＜ g (5) ， ∴ 0< x ＋ 2 018 ＜ 5 ， ∴ － 2 018 ＜ x ＜－ 2 013 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 函数 y ＝ 与 y ＝ x 2 所围成的封闭区域的面积为 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.[1 ，＋ ∞ ) B .(1 ，＋ ∞ ) C.[2 ，＋ ∞ ) D .(2 ，＋ ∞ ) √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令 h ( x ) ＝ ( x ＋ 2)[1 － ln(1 ＋ x )]( x >0) ， 所以 h ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，所以当 x >0 时， h ( x )< h (0) ＝ 2 ， 所以 a 的取值范围是 [2 ，＋ ∞ ). 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为 f (1) ＝ 0 ，由题意可知 f (1) 为极小值， ∴ f ′ (1) ＝ a ＋ 2 － b ＝ 0 ， b ＝ a ＋ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x <0 时， f ( x ) ＝ ln( － x ) ＋ 3 x ，则曲线 y ＝ f ( x ) 在 点 ( 1 ，－ 3) 处的切线方程是 ____________. 解析 答案 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 解析　 当 x >0 时，－ x <0 ，则 f ( － x ) ＝ ln x － 3 x . 因为 f ( x ) 是偶函数，所以 f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ ln x － 3 x ， 所以切线方程为 y ＋ 3 ＝－ 2( x － 1) ，即 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2018· 全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ，则 f ( x ) 的最小值是 ________. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 f ′ ( x ) ＝ 2cos x ＋ 2cos 2 x ＝ 2cos x ＋ 2(2cos 2 x － 1) ＝ 2(2cos 2 x ＋ cos x － 1) ＝ 2(2cos x － 1)(cos x ＋ 1). ∵ cos x ＋ 1 ≥ 0 ， 又 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ＝ 2sin x (1 ＋ cos x ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 已知函数 f ( x ) ＝ 若 f ( x )<0 的解集中只有一个正整数，则实数 k 的取值范围为 _________________. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 x <1 时， g ′ ( x )>0 ，当 x >1 时， g ′ ( x )<0 ， 所以 g ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 上单调递增，在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12