2013-2017高考数学分类汇编-第3章 导数与定积分-1 导数的概念与运算（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第3章 导数与定积分-1 导数的概念与运算（理科）

第三章 导数与定积分 第一节 导数的概念与运算 题型30 导数的定义——暂无 题型31 求函数的导数 ‎1．（2013江西理13）设函数在内可导，且，则 ．‎ ‎2.（2016全国丙理21）21.设函数，其中，记 的最大值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）证明 ‎2.解析 (1).‎ ‎（2）当时，.‎ 因此.当时，将变形为.‎ 令，则是在上的最大值，，‎ ‎，且当时，取得极小值，极小值为.‎ 令，解得且，所以.‎ ‎（i）当时，在内无极值点，，，，所以.‎ ‎（ii）当时，在同一坐标中画出函数，，在 上的图像.‎ 由上图，我们得到如下结论当时，.‎ 综上，.‎ ‎（3）由（1）得.‎ 当时，；‎ 当时，，所以；‎ 当时，.所以；‎ 综上所述，有.‎ 题型32 导数的几何意义 ‎1.(2013广东理10）若曲线在点处的切线平行于轴，则 ．‎ ‎2.（2014 大纲理 7） 曲线在点处切线的斜率等于（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（2014 新课标2理8）设曲线在点处的切线方程为，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014 江苏理 11）在平面直角坐标系中，若曲线 （为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是 ．‎ ‎5.（2014 江西理 13）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是 .‎ ‎6.（2015陕西理15）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．‎ ‎6. 解析 因为在上，所以在处切线的斜率.‎ 设，则在处的切线斜率.‎ 因为，所以.又因为，所以，.‎ ‎7.（2015四川理15）已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，，现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数，都有；‎ ‎②对于任意的及任意不相等的实数，都有；‎ ‎③对于任意的，存在不相等的实数，使得；‎ ‎④对于任意的，存在不相等的实数，使得.‎ 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).‎ ‎7. 解析①.由得.‎ 令，则，故不单调.‎ 当时，为单调递减函数，不符合题意.‎ 当时，,由于是值域为的单调递增函数，‎ 故必存在一个，使得.且当时，.当时，‎ ‎.即不单调.所以①正确.‎ ‎②.由得.‎ 令，则，‎ 即对任意的，不单调.取，则。此时对任意的，都不单调.所以不一定有.②错误.‎ ‎③.若，则，即.‎ 令，则不单调.‎ 令，得要有根.‎ 令则，是值域为的增函数.‎ 所以存在，使得.‎ 所以在单调递减，在上单调递增，存在最小值.因此，对于任意的，不一定有根.所以③错误.‎ ‎④.若，则，即.‎ 令,则不单调.‎ 令，得要有根.而是值域为 的减函数，所以一定会有根.‎ 所以对任意的，存在不相等的实数，使得.④正确.‎ 所以真命题为①，④.‎ ‎8.（2015安徽理18（1））设，是曲线在点处的切线与 轴交点的横坐标．求数列的通项公式；‎ ‎9.（2015北京理18（1））已知函数.求曲线在点处的切线方程；‎ ‎9. 解析 由题可知函数的定义域是，则，，，‎ 从而曲线在点处的切线方程为.‎ ‎10.（2015全国1理21（1））（本小题满分12分）已知函数， ‎ 当为何值时，轴为曲线的切线；‎ ‎10. 解析 设曲线与轴相切于点，则，，‎ 即，解得，，‎ 所以当时，轴为曲线的切线．‎ ‎11.（2015重庆理20（1））设函数.若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎11. 解析 对求导得， ‎ 因为在处取得极值，所以，即．‎ 经检验，为的极小值点.当时，， ，‎ 故，．‎ 从而在点处的切线方程，化简得．‎ ‎12.（2016山东理10）若函数 的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎12.A 解析 因为函数，的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；‎ 函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质.利用排除法. 故选A.‎ ‎13.（2016全国丙理15）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________.‎ ‎13. 解析 解法一：先求函数在上的解析式，再求切线方程.‎ 设，则，又，所以，，所以在点处的切线方程为，即.‎ 解法二：由函数性质来求切线方程.因为为偶函数，所以若在点处的切线方程为，则在点处的切线方程为.因此，先求出在点处的切线方程.‎ 又，得，所以在点处的切线方程为，所以在点处的切线方程为，即.‎ ‎14.（2016全国甲理16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .‎ ‎14. 解析 的切点为，则它的切线为.的切点为，则它的切线为：，‎ 所以，解得，，所.‎ ‎15.（2016北京理18）设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；（2）求的单调区间.‎ ‎15. 解析 （1）由题可得. 再由题设，可得，解得.‎ ‎（2）由（1）的解答及题设，可得，的导函数.‎ 所以函数在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以，即对恒成立，‎ 所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间.‎ ‎16.(2017北京理19)已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16.解析 （1）因为，所以，.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）‎ 设，则.‎ 当时，，所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意，有，即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎