2018届二轮复习　点直线平面之间的位置关系课件（全国通用）

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第 2 讲　点、直线、平面之间的位置关系 热点突破 高考导航 备选例题 阅卷评析 高考导航 演真题 · 明备考 高考体验 1 .(2015 · 全国 Ⅰ 卷 , 文 18) 如图 , 四边形 ABCD 为菱形 ,G 为 AC 与 BD 的交点 ,BE⊥ 平面 ABCD. (1) 证明 : 平面 AEC⊥ 平面 BED; (1) 证明 : 因为四边形 ABCD 为菱形 , 所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥ 平面 ABCD, 所以 AC⊥BE. 故 AC⊥ 平面 BED. 又 AC⊂ 平面 AEC, 所以平面 AEC⊥ 平面 BED. 2. (2013 · 全国 Ⅱ 卷 , 文 18) 如图所示 , 直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中 ,D,E 分别是 AB,BB 1 的中点 . (1) 证明 :BC 1 ∥ 平面 A 1 CD; (1) 证明 : 连接 AC 1 交 A 1 C 于点 F, 则 F 为 AC 1 中点 . 又 D 是 AB 中点 , 连接 DF, 则 BC 1 ∥DF. 因为 DF⊂ 平面 A 1 CD,BC 1 ⊄ 平面 A 1 CD, 所以 BC 1 ∥ 平面 A 1 CD. (2) 设 AA 1 =AC=CB=2,AB=2 , 求三棱锥 C - A 1 DE 的体积 . 3. (2015 · 全国 Ⅱ 卷 , 文 19) 如图 , 长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,AB=16,BC=10,AA 1 =8, 点 E,F 分别在 A 1 B 1 ,D 1 C 1 上 ,A 1 E=D 1 F=4. 过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交 , 交线围成一个正方形 . (1) 在图中画出这个正方形 ( 不必说明画法和理由 ); 解 : (1) 交线围成的正方形 EHGF 如图所示 . (2) 求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值 . 4. (2016 · 全国 Ⅲ 卷 , 文 19) 如图 , 四棱锥 P - ABCD 中 ,PA⊥ 底面 ABCD,AD∥BC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点 ,AM=2MD,N 为 PC 的中点 . (1) 证明 MN∥ 平面 PAB; (2) 求四面体 N - BCM 的体积 . 高考感悟 1. 考查角度 (1) 线面平行、垂直的证明 . (2) 根据题中条件求几何体体积 . (3) 平面基本性质的应用 . 2. 题型及难易度 选择题、解答题 , 中档 . 热点突破 剖典例 · 促迁移 空间线线、线面关系的证明 热点一 【 例 1】 (2016 · 山东卷 , 文 18) 在如图所示的几何体中 ,D 是 AC 的中点 ,EF∥DB. (1) 已知 AB=BC,AE=EC. 求证 :AC⊥FB; 证明 : (1) 因为 EF∥DB, 所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF. 如图 (1), 连接 DE. 因为 AE=EC,D 为 AC 的中点 , 所以 DE⊥AC. 同理可得 BD⊥AC. 又 BD∩DE=D, 所以 AC⊥ 平面 BDEF. 因为 FB⊂ 平面 BDEF, 所以 AC⊥FB. (2) 已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点 . 求证 :GH∥ 平面 ABC. 证明 : (2) 如图 (2), 设 FC 的中点为 I, 连接 GI,HI. 在△ CEF 中 , 因为 G 是 CE 的中点 . 所以 GI∥EF, 又 EF∥DB, 所以 GI∥DB. 在△ CFB 中 , 因为 H 是 FB 的中点 , 所以 HI∥BC. 又 HI∩GI=I, 所以平面 GHI∥ 平面 ABC, 因为 GH⊂ 平面 GHI. 所以 GH∥ 平面 ABC. 【 方法技巧 】 (1) 证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的判定定理 , 把证明线面平行转化为证线线平行 ; ② 利用面面平行的性质定理 , 把证明线面平行转化为证面面平行 . (2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直 , 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 . 因此 , 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 . (3) 在求体积时 , 要注意等积法 ( 转换几何体的顶点位置 ) 的应用 , 避免思维障碍 . 热点训练 :(1) (2016 · 湖南联考 ) 如图 , 在斜三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中 , 侧面 ACC 1 A 1 与侧面 CBB 1 C 1 都是菱形 ,∠ACC 1 =∠CC 1 B 1 =60°,AC=2. ① 求证 :AB 1 ⊥CC 1 ; (1)① 证明 : 连接 AC 1 ,CB 1 , 则△ ACC 1 和△ B 1 CC 1 都为正三角形 . 取 CC 1 的中点 O, 连接 OA,OB 1 , 则 CC 1 ⊥OA,CC 1 ⊥OB 1 , 则 CC 1 ⊥ 平面 OAB 1 , 则 AB 1 ⊥CC 1 . (2) (2016 · 贵州贵阳联考 ) 如图 , 在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中 ,∠BAC=90°,D,E 分别为 CC 1 和 A 1 B 1 的中点 , 且 A 1 A=AC=2AB=2. ① 求证 :C 1 E∥ 平面 A 1 BD; ② 求点 C 1 到平面 A 1 BD 的距离 . 空间面面位置关系的证明 热点二 【 例 2】 (2015 · 山东卷 , 文 18) 如图 , 三棱台 DEF - ABC 中 ,AB=2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点 . (1) 求证 :BD∥ 平面 FGH; (1) 证明 : 法一 　 连接 DG,CD, 设 CD∩GF=M, 连接 MH. 在三棱台 DEF - ABC 中 ,AB=2DE, G 为 AC 的中点 , 可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形 , 则 M 为 CD 的中点 , 又 H 为 BC 的中点 , 所以 HM∥BD. 又 HM⊂ 平面 FGH,BD ⊄ 平面 FGH, 所以 BD∥ 平面 FGH. 法二 　 在三棱台 DEF - ABC 中 , 由 BC=2EF, H 为 BC 的中点 , 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 HBEF 为平行四边形 , 可得 BE∥HF. 在△ ABC 中 ,G 为 AC 的中点 ,H 为 BC 的中点 , 所以 GH∥AB. 又 GH∩HF=H, 所以平面 FGH∥ 平面 ABED. 因为 BD⊂ 平面 ABED, 所以 BD∥ 平面 FGH. (2) 若 CF⊥BC,AB⊥BC, 求证 : 平面 BCD⊥ 平面 EGH. (2) 解 : 连 接 HE, 因为 G,H 分别为 AC, BC 的中点 , 所以 GH∥AB, 由 AB⊥BC, 得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点 , 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形 , 所以 CF∥HE. 又 CF⊥BC, 所以 HE⊥BC. 又 HE,GH⊂ 平面 EGH,HE∩GH=H, 所以 BC⊥ 平面 EGH. 又 BC⊂ 平面 BCD, 所以平面 BCD⊥ 平面 EGH. 【 方法技巧 】 面面垂直的关键是线面垂直 , 线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法 ( 若两条平行线中的一条垂直于一个平面 , 则另一条也垂直于这个平面 ) 、面面垂直性质定理法 , 面面垂直性质定理是证明线面垂直的一种核心方法 . 立体几何中的折叠问题 热点三 (2) 当平面 A 1 BE⊥ 平面 BCDE 时 , 四棱锥 A 1 - BCDE 的体积为 36 , 求 a 的值 . 【 方法技巧 】 平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化 , 根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量 , 这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征 . 备选例题 挖内涵 · 寻思路 【 例题 】 (2015 · 湖北卷 , 文 20) 《 九章算术 》 中 , 将底面为长方形且有一条侧棱与面垂直的四棱锥称之为阳马 , 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 . 在如图所示的阳马 P - ABCD 中 , 侧棱 PD⊥ 底面 ABCD, 且 PD=CD, 点 E 是 PC 的中点 , 连接 DE,BD,BE. (1) 证明 :DE⊥ 平面 PBC. 试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑 . 若是 , 写出其每个面的直角 ( 只需写出结论 ); 若不是 , 请说明理由 ; (1) 证明 : 因为 PD⊥ 底面 ABCD, 所以 PD⊥BC. 由底面 ABCD 为长方形 , 有 BC⊥CD, 而 PD∩CD=D, 所以 BC⊥ 平面 PCD, 因为 DE⊂ 平面 PCD, 所以 BC⊥DE. 又因为 PD=CD, 点 E 是 PC 的中点 , 所以 DE⊥PC. 而 PC∩BC=C, 所以 DE⊥ 平面 PBC. 由 BC⊥ 平面 PCD,DE⊥ 平面 PBC, 可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形 , 即四面体 EBCD 是一个鳖臑 , 其四个面的直角分别是∠ BCD,∠BCE,∠DEC, ∠DEB. (2) 记阳马 P - ABCD 的体积为 V 1 , 四面体 EBCD 的体积为 V 2 , 求 的值 . 阅卷评析 抓关键 · 练规范 立体几何证明的严谨性 (2016 · 全国 Ⅰ 卷 , 文 18,12 分 ) 如图 , 已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形 ,PA= 6, 顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E, 连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (1) 证明 G 是 AB 的中点 ; 评分细则 : (1) 证明 : 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D, 所以 AB⊥PD. …… 1 分 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E, 所以 AB⊥DE. ……………… 2 分 又 PD∩DE=D, 所以 AB⊥ 平面 PED, 故 AB⊥PG. ………………… 3 分 又由已知可得 PA=PB, 从而 G 是 AB 的中点 . …………………… 4 分 注 : 判断线面垂直 , 应满足以下条件 , 一直线垂直于该平面内的两相交直线 , 两直线相交的条件 “ PD∩DE=D ” 不能漏 . (2) 作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F( 说明作法及理由 ), 并求四面体 PDEF 的体积 . 评分细则 : (2) 解 : 在平面 PAB 内 , 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 . ……………………………………………… 5 分 理由如下 : 由已知可得 PB⊥PA,PB⊥PC, 又 EF∥PB, 所以 EF⊥PA,EF⊥PC, 又 PA∩PC=P, 因此 EF⊥ 平面 PAC, 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 . ……………………………… 7 分 连接 CG, 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D, 所以 D 是正三角形 ABC 的中心 . 【 答题启示 】 1. 在应用平行、垂直的判定定理与性质定理时 , 所满足的条件应尽量列举齐全 , 切不可随意省略造成失分 . 2. 在求体积时 , 必要的证明过程不能省略 , 否则也易造成失分 . 3. 计算要准确 , 计算失误 , 而思路和公式正确 , 可得部分分 . 点击进入 限时训练